初中數學九年級復習：最優(yōu)化

專題10最優(yōu)化

閱讀與思考

數學問題中常見的一類問題是：求某個變量的最大值或最小值；在現實生活中，我們經常碰到一些

帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等，這類問題我們稱之

為最值問題，解最值問題的常見方法有：

1.配方法

由非負數性質得［±匕，之0.

2.不等分析法

通過解不等式（組），在約束條件下求最值.

3.運用函數性質

對二次函數y=ax2+bx+cQ/0）,若自變量為任意實數值，則取值情況為:

b4ac-Z?2

(1)當x=———時,y

2a最小值4a

_b4ac-b2

(2)當。＜0,x=———時,y

2a最大值4a

4.構造二次方程

利用二次方程有解的條件，由判別式A20確定變量的取值范圍，進而確定變量的最值.

例題與求解

3x2+6x+5

【例1】當尤變化時，分式可----------的最小值是.

一X2+X+1

2

（全國初中數學聯(lián)賽試題）

解題思路：因分式中分子、分母的次數相等，故可將原分式用整式、真分式的形式表示，通過配方

確定最小值.

【例2】已知且2x+y=l,貝?。?x2+16x+3y2的最小值為（）

1927

A.■—B.3C.--D.13

77

（太原市競賽試題）

解題思路：待求式求表示為關于尤（或y）的二次函數，用二次函數的性質求出最小值，需注意的是變

量無、y的隱含限制.

【例3】f（x）=-y+y,在的范圍內最小值2a,最大值2b,求實數對（a,b）.

解題思路:本題通過討論a,b與對稱軸x=0的關系得出結論.

【例4】（1）已知y=Jl—x+,X—2的最大值為最小值b，求Q2+Z;2的值.

（“《數學周報》杯”競賽試題）

（2）求使J無2+4+*—J+16取得最小值的實數X的值.

（全國初中數學聯(lián)賽試題）

（3）求使,9x2+4+J9x2—12盯+4y2+1+J4y2—16y+20取得最小值時x,y的值.

（“我愛數學”初中生夏令營數學競賽試題）

解題思路：解與二次根式相關的最值問題，除了利用函數增減性、配方法等基本方法外，還有下列

常用方法：平方法、判別式法、運用根式的幾何意義構造圖形等.

【例5】如圖，城市A處位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)8需從A市購進大量生活、生產用品,

如果鐵路運費是公路運費的一半，問：該如何從8修筑一條公路到鐵路邊，使從A到8的運費最低？

（河南省競賽試題）

解題思路：設鐵路與公路的交點為C,4。=%千4千米〃千米，機千米，又設

鐵路每千米的運費為a元，則從A到8的運費S=a'—Jy2—也2,2紗,通過有理化，將式子整理

為關于y的方程.

【例6】(1)設x,x，…，x(%>-)，為％—r+1個互不相同的正整數，JUx+x.H----1-

rr+lkrr-ti

%=2003,求A的最大可能值.

’(香港中學競賽試題)

(2)a,b,c為正整數，且。2+加=04,求c的最小值.

(全國初中數學聯(lián)賽試題)

解題思路：對于(1),因廠=1,對左一r+1=%—1+1=左個正整數XI,%2，…，X,不妨設入<九2<…

<,=2013,可見，只有當各項外,%，…，々的值愈小時，才能使左愈大(項數愈多)，通過放縮求人

的最大值；對于(2),從(2+。)=匕2入手.

能力訓練

A級

1.已知三個非負數a,b,c,滿足3a+26+c=5和2a+6—3c=l,若機=3a+b—7c,則的最

小值為，最大值為.

2.多項式°=2/—4移+5y2—12y+13的最小值為.

3.已知x,y,z為實數，且x+2y—z=6,x—y+2z=3,那么N+y2+z2的最小值為.

(“希望杯”邀請賽試題)

4.若實數a,b,c,滿足成+6+c2=9,則代數式(a—6)2+(b-c)2+(c—a)2的最大值為()

(全國初中數學聯(lián)賽試題)

5.已知兩點4(3,2)與8(1,—1),點尸在y軸上且使B4+PB最短，則尸的坐標是()

1111

A.(0,--)B.(0,0)C.(0,―)D.(0,--)

(鹽城市中考試題)

6.正實數x,y滿足q=l,那么L+7J—的最小值為()

%44y4

155

A.-B.-C.1D.-E.Jr2

284

(黃岡市競賽試題)

7.某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不

高于800元/件，經試銷調查，發(fā)現銷售量y（件）與銷售單價X（元/件）可近似看作一次函數y=履+6的

關系（如圖所不）.

（1）根據圖象，求一次函數y=的解析式;

（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S元.

①試用銷售單價X表示毛利潤；

②試問：銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷量是多

少？

（南通市中考試題）

8.方程X2+（2〃?—Lk+Cw—6）=0有一根不大于—1,另一根不小于1,

（1）求加的取值范圍;

（2）求方程兩根平方和的最大值與最小值.

（江蘇省競賽試題）

9.已知實數b滿足Q2+=1,求Q2-+匕2的最大值與最小值.

（黃岡市競賽試題）

10.已知a,b,c是正整數，且二次函數y=a%2+bx+c的圖象與X軸有兩個不同的交點A,B,若

點A,B到原點的距離都小于1,求a+b+c的最小值.

（天津市競賽試題）

11.某單位花50萬元買回一臺高科技設備，根據對這種型號設備的跟蹤調查顯示：該設備投入使

用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結論：第x天應付的養(yǎng)護與維修費為［卜-1）+5。。

兀.

（1）如果將設備從開始投入使用到報廢所需的養(yǎng)護與維修費及購買設備費用的總和均攤到每一天,

叫作每天的平均損耗，請你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數x（天）的函數.

（2）按照此行業(yè)的技術和安全管理要求，當此設備的平均損耗達到最小值時，就應當報廢，問：

該設備投入使用多少天應當報廢？

（河北省競賽試題）

B級

1.a,b是正數，并且拋物線y=%2+ax+2b和y=X2+2bx+a都與*軸有公共點，則以+加的

最小值是.

2.設x,y,z都是實數，且滿足x+y+z=l,xyz=2,則|%|+卜|+上|的最小值為

3.如圖，B船在A船的西偏北45°處，兩船相距10、笈物7,若A船向西航行，8船同時向南航行,

且8船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離為km.

（全國初中數學競賽試題）

北

4.若a,b,c,d是乘積為1的四個正數，貝U代數式a2+b2+c2+d2+ab+bc+ac+ad+bd+cd的

最小值為（）

A.0B.4C.8D.10

（天津市競賽試題）

5.已知x,y,z為三個非負實數，且滿足3x+2y+z=5,x+y-z=2.若s=2x+y-z,貝!]s的最大

值與最小值的和為（）

（天津市選拔賽試題）

6.如果拋物線yx2klxk1與X軸的交點為A,B,頂點為C,那么AABC的面積的最

小值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.某商店將進貨價每個10元的商品按每個18元售出時，每天可賣出60個，商店經理到市場上做

了一番調查后發(fā)現，若將這種商品的售價（在每個18元的基礎上）每提高1元，則日銷售量就減少5

個；若符這種商品的售價（在每個18元的基礎上）每降低1元，則日銷量就增加10個，為獲得每日最

大利潤，此商品售價應定為每個多少元？

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

8.有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是P（萬元）和q（萬元），它們

與投入資金x（萬元）的關系有經驗公式：P1x,q（6.今有3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品,

55

為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得多大的利潤？

（紹興市競賽試題）

9.已知為x,y,z為實數，且xyz5,xyyzzx3,試求z的最大值與最小值.

bc

10.已知三個整數a,b,c之和為13,且一二不，求〃的最大值和最小值，并求出此時相應的b與

ab

c值.

（四川省競賽試題）

11.設乙,%,…，x是整數，并且滿足：

12n

①一lWxi.W2,i—1,2,…，n

②x,+x_H--------\-x—19

12n

③x,2+x2+***+x2=99

12n

求X3+x3H----------\~X3的最大值和最小值.

12n

（國家理科實驗班招生試題）

12.已知X],叼…，工40都是正整數，且----^40=58，若X12+42d----------^4（）2的最大值為

最小值為與，求A+呂的值.

（全國初中數學競賽試題）

專題10最優(yōu)化

2

例1.4提示：原式=6--------.

（X+1）2-1

例2.B提示：由-iWyWl有0g1,則z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是開口向上，對稱軸為了=-；的拋

物線.

例3.分三種情況討論：@0<a<b,則人尤）在砂上單調遞減，.?猶a）=26,/（b）=2a,

Q213

2b=-一十一a=l

即<22解得I

b213

2。=———十——

22

②〃〈店0,貝IjAx)在爛爛b上單調遞增，.\/(a)=2a,16)二26

ca213

2cl———+

即《,22此時滿足條件的(a,b)不存在.

c,b213

2b=——+—

22

1313

③〃<0<6,此時為0在l=0處取得最大值，即26=/(0)=1,b=—，而於)在x=a或x=b處取最小值

131/13、\13八。213

2a.Va<0,則2a<0,又?.?*)或丁)=-不x(丁)2+〉0,：.f{d)=2a,即2a=,貝!1

T■乙T■乙乙乙

a=—2-JT7

<,13

b=—

I4

__13

綜上，(a,b)=(1,3)或(-2--J17,—)

11?3r3

例4.(1)—<X<1,y2=]+2j-(X—4)2+記.當4a時，尸取得最大值1,<2=1;

11723

當X或％=1時，W取得最小值2，匕=3-.故。2+匕2=].

(2)如圖，AB=8,設AC=x,貝ljBC=8-x,AD=2,CD=02+4,BE=4,CE=J(8-X)2+16

BF=AD=2.

4x2+4+J(8-x”+16=CD+CE>DE=JDF2+EF2=/82+(4+2”=10

BCEB4c

當且僅當。，C,E三點共線時，原式取最小值.此時△EBCS^/MC,有石===3=2,

188

從而x=AC=WAB=§.故原式取最小值時，x=—.

(3)如圖,

原式二jb-(-2)2]+(3x—0)2+,(1-0)2+(2y-3x)2+j(3-1"+(4-2y”

=AB+BC+CD>AD,其中A(-2,0),B(0,3無),C(l,2y)Q(3,4),并且當點2,C在線段A。上時，原式取

3x42y4

得最小值，此時z=m，-y=5.

例5.由S=a(n-Jy2-m2)+2ay,得an-S+2ay=a正—〃2,兩邊平方，經整理得

3a2y2+^a(an-S)y+(an-S)2+。2加2=0.因為關于y的一元二次方程有實數解，所以

-S)1-4x3a2\an-S”+a^m2]>0,可化為(S-a〃)2>3a21nl.

S>an,S-an>J3am,即S2a"+｛兄加，故s最小a”+招a/n.

k*+1)

例6(1)設x/l,X2>2,x注,于是1+2+...+左+…+乙=2003,即-------V2003

)t(jt+l)<4006,,,,62x63=3906<4006<4032=63x64,AK62.當兒=1,x=2,...x=61,%。二112時，原等式

126162

成立，故左的最大可能值為62.

C?—a=bZ?(b+1)b(b+1)

(2)若取〈，，貝*2=由小到大考慮b,使1為完全平方數.當b=8時，。2=36,

則c=(),從而“=28.下表說明c沒有比6更小的正整數解.顯然，表中c4.3的值均不是完全平方數，故c

的最d、值為6.

CC4x3(x3<c4)C4-%3

2161,817,8

3811,8,27,6480,73,54,17

42561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,40

56251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113

_5

A級--2.13.14提示：y=：5—x,z=4—x,原式=3(x—3)2+14.4.A提示:

~711

原式二27—(〃+加-c)2.5.D6.C7.(l)y=~x-1-1000(500^x^800)(2)?5=(x-500)(—x+1000)=

—/+150(h—500000(500WxW800);②S—(x—750)2+62500,即銷售單價定為750時，公司可獲最大毛利潤

62500元，此時銷量為250件.8.(1)—44〃W2(2)設方程兩根為x,,x,,則xf+x2=45-2)2+102,

121244

31

由此得兒2+工2最小值為10-,最大值為101.9.設展一〃匕+6=匕又“z+ab+6ui②，由①②得〃/?二一(1

1242

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—k),于是有(〃+/?)2=:(3—左)20,:?kW3,從而a+b=±J).故”，b是方程t2t+~~

的兩實根，由4三0,得;WZW3.10.設A(XpO),B(4，0),其中%],凡是方程。承+灰+(?=0的兩

根，則有x+x=-2<0,%%=￡>0,得％<0,x<0,由4=b2—^ac>0,Wb>2\[ac.VI(?AI=lxI<1,\OB\=\x\<\,

12a12a1212

—l<x2<0,于是c<a.由于q是正整數，已知拋物線開口向上，且當犬二一1時，

對應的二次函數值大于0,HPa—b+c>Ofa+c>b.又〃，b,c是正整數，有Q+C，Z?+1>2〃7+1,從而

a+c>2yfac+1,則(■7^->/C)2>[J~a-^J~c>ij~ac+1>2于是a>4-,即a25,故b>2-Jac》

2x/sTT=2>/5,即b25.因此，取a=5,b=5,c=l,y=5N+5x+l滿足條件，故a+b+c的最小值為

11.11,(1)該設備投入使用x天，每天平均損耗為

1111Y-]11xfY-1)

y=-[5000001-(-x0+500)+(-x1+500)+(-x2+500)++(——+500)]=-[500000+500x+-x——-]

x4444x42

500000x1

=---------+—+499—?

x88⑵尸”Uf+崛川等哈嗯?當且僅當T4

即x=2000時，等號成立.故這臺設備投入使用2000天后應當報廢.

B級1.20提示：a2—8620,4〃-4a>0,從而辦》64b2>64a,。24,b^4.2.4提示：構

造方程.3.2x/5提示：設經過/小時后，A,8船分別航行到A1，外設44尸，則

B^=5/110-xl2+110-2x12=^5(%-6)2+20.4.D提示：屋+房22a6,c^+d^>2cd,：,a^+c^+d^

、2(ab+cd)、4jabed=4.:.ab+cd，2,同理6c+ad22,ac+bd.^2.5.A提示：x=s—2》0,y=5一

±sNO,z=l—1s20,解得2WsW3,故s的最大值與最小值的和為5.6.A提示：148=1，2+2)+5,

33

k-1k2-\-OkA-51

C(——,----------------)，S=4*2+2k+5)3,而依+2k+5=(k+l)2+4?4.7.設此商品每個售價

24ABC8

為x元,每日利潤為S元.當x》18時，有S=[60—5(x—18)](x—10)=—5(x—20)2+500,即當商品提價

為20元時，每日利潤為500元；當xW18時，S=[60+10(18—x)](x—10)=—10(x—17)2+490,即當商品

降價為17元時，每日利潤最大，最大利潤為490元，綜上，此商品售價應定為每個20元.8.設對

甲、乙兩種商品的資金投入分別為x,(3一勸萬元,設獲取利潤為s,則s=1x+。y/n,s--x=-石二嚏，

5555

兩邊平方，經整理得無2+(9—10s)x+25s2—27=0,..?關于x的一元二次方程有實數解，；.(9-105)2-4X

1QQ

(2552-27)^0,解得嬴=1.05,進而得％=0.75(萬元)，3-x=2.25(萬元).即甲商品投入0.75萬

元，乙商品投入2.25萬元，獲得利潤1.05萬元為最大.9.y=5~x~Zf代入孫+yx+?=3,得好

1Q

+(z—5)x+(z2—5z+3)=0.Yx為實數，=(z-5)2—4(z2—5z+3)^0,解得一IWzW一，故z的最大值

3

1Qhr

為一，最小值為一1?10.設一=—=%,則c=ax2,于是，a+b+c=13,化為。(承+1+1)=13.

3ab

aWO,...N+x+l—上=0①.又0,b,c為整數，則方程①的解必為有理數，即公=8-3>0,得到

aa

1,，且