浙江省2024-2025學(xué)年高三年級上冊8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時.將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合2=何—2<x<3},5={xeN|—l<x<3},則4口8=()

A.{051}B.{152}c.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)?z=1+3i,則z=()

A.2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

3.“左二3”是"C：=C濘”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

X

e

4.己知函數(shù)/(x)=-----------為偶函數(shù)，則a=()

2x

A.1B.-1C.0D.2

5.己知等差數(shù)列{%}的前〃項和為?

=2嗎=1,則%=()

A.4B.5C.6D.7

6.在△45C中，角4民。的對邊分別為凡瓦,c.已矢口acosB+bcosA=2ccosC,b1+c2

則()

A.15°B.45°C.75°D.90°

ln3

7.a=e-,Z)=log2|-,c=A/2-1,則a,仇c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

8.P,。分別是邊長為1的正方形4BCD的邊上一點(diǎn)，ZPAQ=45°,則()

A.△CP。的面積為定值B.△CP。的周長為定值

C.△4P。的面積為定值D.△4PQ的周長為定值

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某運(yùn)動制衣品牌為了成衣尺寸更符合大眾所需，現(xiàn)選擇15名志愿者對其身高和臂展（單位：厘米）進(jìn)

行測量，圖1為15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖2為身高與臂展所對應(yīng)的散點(diǎn)圖，并求得其回歸直線

方程為5=1.16x-30.75,以下結(jié)論正確的是（）

90

K5

80

75

70

65

60外

50

45

A.15名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B.15名志愿者的身高和臂展具有正相關(guān)關(guān)系

C.可估計身高為190厘米的人臂展大約為180.65厘米

D.身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米

10.已知函數(shù)〃x）=Gsin2x-2COS2JC+1,下列說法正確的是（）

A./（x）的最小正周期為兀

57r

B.直線X=不是/（X）圖象的一條對稱軸

7171

C.

D.是/（x）圖象的一個對稱中心

11.已知四面體Z—=—也,48,平面BCRBELZC,垂足為垂足為少，則

下列結(jié)論正確的是（

A.若8C_LCD,則NCLEE

B.若8cLCD,則40,平面跳產(chǎn)

C.若BC=BD.則跖〃CD

D.若BC=BD=2,則四面體N-BE/體積的最大值為其'

27

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量5=（2,機(jī)）,3=（—1,2）,滿足（5_則m的值為

-4

4—xx>0

13.函數(shù)/（x）=1x'5的最大值為.

x+6x+9x+l,x<0

14.橢圓G：三+4=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片,鳥，拋物線。2：/=28（P〉0）的焦點(diǎn)為

8,GC在第一象限的交點(diǎn)為尸.若|「用=|甲訃則橢圓G的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中6個紅球，3個白球.

（1）從袋中任意取出3個球（不放回取球），求這3個球中至少有1個紅球的概率；

（2）從袋中有放回地取3次球，每次取一個球，記X為取出的3個球中紅球的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)

學(xué)期望.

16.（15分）

如圖，正四棱錐尸-ABCD所有棱長為2,E,F分別為邊4B,8C的中點(diǎn)，點(diǎn)Q分別在側(cè)棱PB,PD上,

—■3—■—■1—-

PM=—PB,PQ=—PD,N為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且平面QEF.

（1）證明：直線尸8〃平面。ER.

（2）求直線MN與底面48CD所成角的大小.

17.（15分）

已知雙曲線C的兩個焦點(diǎn)為「祀,0）,（、歷,0）,點(diǎn)幺（3,2后）在雙曲線C上，過點(diǎn)N作圓

E:（x—2）2+/=1的兩條切線與雙曲線C交于點(diǎn)M和點(diǎn)N.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求的面積.

19.（17分）

對于給定的正偶數(shù)2Mg2）,若非零數(shù)列｛%｝滿足。/用%+2…%+2I%+2/T=（%+"4-），則稱數(shù)列

｛4｝是“〃（2左）數(shù)列”；對于給定的正奇數(shù)2k-l（k＞2）,若數(shù)列｛4｝滿足

%。〃+四+2…aS2k-2=（%T廣T，則稱數(shù)列｛%｝是“〃（2左T數(shù)列”.

（1）若數(shù)列｛%｝是"“（3）數(shù)列"，/+%=2,%+。4=3.求。5-。6的值.

（2）若數(shù)列｛%｝既是（6）數(shù)列”，又是“〃（5）數(shù)列”，證明：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列.

（3）若數(shù)列｛4｝是“8（4）數(shù)列”，且滿足％〉0,已＜上+上＜三，則是否存在正整數(shù)J使得

%%%a2

（左〉i）成等差數(shù)列成立的整數(shù)上有無窮多個？若存在，請求出z?的最小值若不存在，請說明理

由.

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年8月高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

12345678

CAABDCBB

1.解：?.?8={0,1,2,3},；.Zn8={0J2},答案為C.

l+3i_(l+3i)(l—i)_4+2i

解：z==2+i,答案為A.

1+i(l+i)(l-i)

3.???Cf=C；"3,.?.左=2左一3或左+2左一3=9,得左=3或左=4,二.“左一3”是“C；=C；>3”的充

分不必要條件，答案為A.

4.解：：y=2x為奇函數(shù)，；.g(x)=e*+aef也為奇函數(shù)，得

g(x)-g(-x)=e*+ae"+e'+ae*=(a+1)(e*+e*)=0,a=-1,答案為B.

5.解：?.,等差數(shù)列{%}的前〃項和為S〃，公差為是公差為g的等差數(shù)列.又

————d—2,囚=1,.*.a=2n—1,6/=7,答案為D.

424

6.解：acosB+bcosA=2ccosC,由正弦定理可知sim4cos8+sin5cos4=sin(4+8)=sin。=

2sinCcosC,/.cosC=—C=60°.又b2+c2-a2=41bc,由余弦定理可知

2

cosA="+°2—”=—,:.A=10°,，8=75°,

2bc2

答案為C.

7.解：a=e"3=—I)—log—>—,一<V2—1<一，.<Q<c<b,答案為B.

3229232

TTTTJT

8.解：設(shè)BPf,DQ=t,,則tanZBAPu/iJanNDZOuJ，又NR4P+ND4Q=萬一^=3，

...112=1,...尸°=](1_療+(]_幻2=J&+幻2=4+",又PC=l-tl,QC=l-t2,:.=角形

CP0的周長為定值2,答案為B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，分選對的得部分分，有選錯的得0分.

91011

ABABCBCD

9.解：對于A,身高的極差大約為21厘米，臂展的極差大約為26厘米，故A正確；對于B,由散點(diǎn)圖以

及回歸直線知，身高矮一些，臂展就會短一些，身高高一些，臂展就會長一些，故B正確；對于C,身高

為190厘米，從圖象上明顯得到臂展大于180.65厘米，故C錯誤對于D,身高相差10厘米的兩人臂展的

估計值相差11.6厘米，但并不是準(zhǔn)確值，回歸直線上的點(diǎn)并不都是準(zhǔn)確的樣本點(diǎn)，故D錯誤.答案為AB

10.解/（X）=V5sin2x-2cos2x+l=V5sin2x-cos2x=2sin|2%-巴].對于A,T='=兀，故A

正確；對于B,當(dāng)時，2%一二=型一二=型，故B正確；對于C,/(x)在(―3二］上單調(diào)遞增，

66362163J

n7i7i7r/兀1//兀、4-丁/a-r-571._715兀兀11兀

—<—<—<—,z/—</—,故C正確；對于D,當(dāng)工=----時，2x----=--------=-----，

6873舊U)66366

故D不正確.答案為ABC.

11.解對于A與B,BC1CD,CD±AB,CD±平面ABC，即CO，BE,即BE±平面ACD,BE±AD,

由題意得8/，40,.,.40，平面5￡尸,，40，￡7"即ZC與￡尸不開直，故A不正確，B正確；對于

C,BC=BD,AABC咨AABD,——=—,EF//CD,故C正確；對于D,在△48C中，可求

ACAD

ApAp11

得——=—=-,--ViBEF=~VABCD,又當(dāng)且僅當(dāng)NZ）BC=90。時，匕BCD有最大值

Lx^x2x2x&=迪,.?.四面體Z—5EF體積的最大值為冬E,故D正確.答案為BCD.

32327

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.613.114.

3

12.解：N—2占二(4,加一4),(2—2行)=—4+2加一8=0,...加=6.

13.解：當(dāng)x>0時，f(x)=<1-1=0；當(dāng)x<0時，/'(x)=3—+12x+9=3(x+1)

?(x+3)J(x)在(-*-3),(-1,0)上單調(diào)遞增，在(-3,-1)上單調(diào)遞減，

/(x)max=max{/(-3)?/(0)}=1.綜上所述，“X)的最大值為1.

14.解：如圖，由題意得片g=2c,PF2=2a—2c=PQ,FXM=PQ=2a—2c,F2M=4c—2a,

PF：-MF^=PF；-MF；，即(2c)2-(2a-2c)2=(2a-2c)2-(4c-2a)2，化簡得/=3c2,即

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

「3QQ

15.解：(1)0=1—二=吆

Cl84

(2)X的取值為0,1,2,3,由題意得X?5

X的分布列為

X0123

16128

P

27272727

16.(1)證明：連接AD,交￡廠于點(diǎn)G,交NC于點(diǎn)。.

???￡,廠分別為的中點(diǎn)，=

又?.?網(wǎng)=1而,PB//GQ.

4一

又???PB＜z平面EFQ,GQu平面EFQ.

.?.P5〃平面ER。.

（2）解：?.?四棱錐尸-48CO為正四棱錐，。為底面中心，以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

^（0,-A/2,0）,5（A/2,0,0）,C（0,V2,0）,D）（-V2,0,0）,P（0,0,V2）,

則BP=(-V2,0,V2),ZC=(0,272,0).

設(shè)平而E77。的法向量為為=（x,y,z）,

BP-n=0,-A/SX+yf^,z—0,,、

由＜_得L，得元=1,0,1).

AC-n=0,26y=0,

平面ABCD的一個法向量為m=（0,0,1）.

又?：MN工平百EFQ,n//MN,設(shè)MV與平面ABCD所成的角為8,

則sm"cos伉網(wǎng)=需=+=*

MN與平百ABCD所成的角為45。.

V22Hia=\,

17.解：(1)設(shè)C：———V=1,由題意可得＜/b2'解得＜

abb=l,

a2+b2=2,

二雙曲線C的方程為黃=1.

（2）當(dāng)過點(diǎn)N所作圓E:（x—2）2+J?=1的切線斜率不存在時,

不妨設(shè)切線ZN的斜率不存在，則直線/N的方程為》=3,

:.xN=3,yN=-2y/2,故|ZN|=4VL

當(dāng)過點(diǎn)/所作圓E:(x—2)2+/=1的切線斜率存在時，

設(shè)切線AM的方程為y—2后=左(x—3),

\—k+2V2I7V2

則圓心E到直線AM的距離d=?/?=1,解得左=.

V17F8

故直線AM的方程為j=予x-半.

聯(lián)立｛>一88'整理得17——70X+57=0,解得X/=—.

22-I17

[%-y=L

故AAMN的面積S^AMN=|K|XM-3|=1X4V2X||=^1.

18.解：(1)/'(x)=2---------------H—?

V7_(x+l)2x2JX

31

???在點(diǎn)處的切線為歹=—%+1,.../'(I)=--+a=-1.:.a=-.

(2),函數(shù)歹=/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

.\ff(x)=2—二—4+巴40在、￡(0,+8)上恒成立，

(X十1)XX

2

即a(x+1)2-4——40在xw(0,+°o)上恒成立.

x

2

令g(x)=Q(x+ly-4——,

x

當(dāng)Q>0時，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，Xoo,g(x)->+00,不滿足題意.

2

當(dāng)QWO時，在XE(0,+OO)上，tz(x+l)2<0,-4——40,「.g(x)<0成立.

綜上所述，a的取值范圍為(-oo,0].

(3)=?.由(2)可知，當(dāng)aWO時，/(x)只有一個零點(diǎn).

11actx(x+Ip-2(2x+1)

當(dāng)Q>0時，/'(x)=2-——H——---------------

x+1)Xxx2(x+l)2

令"(X)=QX(X+1)2-2(2x-1),得d(x)=a(3x2+4工+1)-4在(0,+00)上單調(diào)遞增.

3

當(dāng)Q=5時，0(1)-4。一6-0,則當(dāng)xe(0,l)時，o(x)<0,即/'(x)<0,當(dāng)XE(1,+8)時,

0(x)>0,即/'(">0,「./(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

又???/(1)=0,.?./(%)有一個零點(diǎn).

當(dāng)0<Q<|■時，0(1)<0,「.存在唯一的x0e(1,+00),0(%0)=0，

.,.當(dāng)工￡(0,x0)時，"(x)<0,即/'(x)<0,當(dāng)x￡(%o，+oo)時，/(x)>0,即/'(x)>0.

二./(%)在%￡(0,%)上單調(diào)遞減，在x￡(%,+8)上單調(diào)遞增.

又???/(1)=0,.?./(%)有兩個零點(diǎn).

3

當(dāng)a>萬時，c(l)>0,.,.存在唯一的/e(0,1),^(x0)=0,

二當(dāng)xe(0,/)時，9(x)<0,即/'(x)<0,當(dāng)xe(xo，+oo)時，0(x)>0,即/'(x)>0,

/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(為,+8)上單調(diào)遞增.

又???/(1)=0,二/(力有兩個零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)ae(—oo,0]u1,卜寸，/(x)有一個零點(diǎn)；當(dāng)a40，K|,+，|時，/(x)有兩個零點(diǎn).

19.⑴解：“⑶數(shù)列滿足嫉1=4%+2,即{%}是等比數(shù)列，

,9

/.%+。2，。3+。4，。5+牝成等比數(shù)列，。5+。5=5.

3

(2)證明：理6)數(shù)列滿足anan+lan+2an+ian+,an+5=(a?+2a?+3)，

H(5)數(shù)列滿足4""+W”+2%+3?！?4=a：+2，

,(\3{anan+ian+2an+3an+4}[an+ian+2an+3an+4an+5)an+2an+3

??(4+24+3)=4%+1%+2%+3a“+44+5=---------------------------------------------------'=-------—'

an+ian+2an+3an+4%+14”+24〃+34+4

化簡得見,+14+4=4,+2%+3,

%+14+2)2(4+24+32

-%+2—anan+\an+2an+3an+4

an+ian+2an+3an+\an+2an+3

化簡得a"=%a“+3｛%｝是等比數(shù)列.

（3）解：7/（4）數(shù)列滿足=a“+M“+2即與也=&±1

a?限

即4〃+4=4〃+2

H(4)數(shù)列滿足％%+4=an+2an+3

an?！?1

.?.4衛(wèi)=4曲,，｛出"｝是等比數(shù)列.同理｛出"+1｝也是等比數(shù)列，且公比相同?

a,%+2

不妨設(shè)此公比為q,則數(shù)列｛&"｝可以表示為。2"-1?

由題意得知>0,—<———<—,得<7］〉0,出〉°,q〉1」+工〈--1--

a3axa3aqa2

假設(shè)存在，滿足題意，

當(dāng)i=l時，5W=上L(l+q)〉_l(l+q)1+-L不成等差數(shù)列，

2a2a24q)

./1Ar\

絲口=」