江蘇省揚州市儀征中學2025屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題含解析

江蘇省揚州市儀征中學2025屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A. B.C. D.2．下列命題錯誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件3．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.164．設為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點，它們在第一象限內交于點是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.5．如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，則線段的中點到坐標原點的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.146．在數(shù)列中，已知，則“”是“是單調遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．過拋物線的焦點作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.648．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，若（），則n的值為（）A.15 B.14C.13 D.129．天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：同一平面內到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標系中，設定點為，，，點O為坐標原點，動點滿足(且為常數(shù))，化簡得曲線E：.當，時，關于曲線E有下列四個命題：①曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個數(shù)為（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個10．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形11．已知等差數(shù)列滿足，則其前10項之和為（）A.140 B.280C.68 D.5612．在正方體中，下列幾種說法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．長方體中，，已知點與三點共線且，則點到平面的距離為________14．四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，，則四棱錐體積為_______15．已知隨機變量，且，則______.16．若，則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在2016珠海航展志愿服務開始前，團珠海市委調查了北京師范大學珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數(shù)據(jù)如下表：單位：人參加志愿服務禮儀培訓未參加志愿服務禮儀培訓參加賽會應急救援培訓88未參加賽會應急救援培訓430（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；（2）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的8名同學中，有5名男同學A，A，A，A，A名女同學B，B，B現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點是線段上的動點（1）證明：；（2）設平面與平面的夾角為，求的最小值19．（12分）中，三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分線交于D，，求a20．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）已知，為直線上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.21．（12分）已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標為2.（1）求拋物線的標準方程；（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.22．（10分）圓心為的圓經(jīng)過點,，且圓心在上，（1）求圓的標準方程；（2）過點作直線交圓于且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】取中間值，化成同底利用單調性比較可得.【詳解】,，，故，故選：C2、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.3、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.4、A【解析】設橢圓的標準方程為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關系，再根據(jù)橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設橢圓的標準方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因為，解得故選：A.5、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點到坐標原點的距離.【詳解】因為橢圓，，所以，結合得，，取的中點，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.6、C【解析】分別求出當、“是單調遞增數(shù)列”時實數(shù)的取值范圍，利用集合的包含關系判斷可得出結論.【詳解】已知，若，即，解得.若數(shù)列是單調遞增數(shù)列，對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，故，因此，“”是“是單調遞增數(shù)列”充要條件.故選：C.7、B【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標，分別設出，所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線的焦點，設直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.故選：B8、B【解析】由已知條件列方程組求出，再由列方程求n的值【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，因為，所以，即，解得或（舍去），故選：B9、D【解析】①：根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的方程特征進行判斷即可；②：結合兩點間距離公式、曲線方程特征進行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結合基本不等式進行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結合三角形面積公式進行判斷即可.【詳解】當，時，.①：因為以代方程不變，以代方程不變，同時代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當時成立，因此本命題正確；③：因為，所以，當且僅當時，取等號，因此本命題正確；④：，因為，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點睛】關鍵點睛：利用方程特征進行求解判斷是解題的關鍵.10、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，所以數(shù)列的前10項和為.故選：A.12、D【解析】在正方體中，利用線面關系逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，連接AC，則AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正確；對于B，∵B1C∥D，即B1C與BD所成的角為∠DB，連接△DB為等邊三角形，∴B1C與BD所成的角為60°，故B正確；對于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B?平面A1BC，AB?平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正確；對于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D錯誤故選D【點睛】本題考查了線面的空間位置關系及空間角，做出圖形分析是關鍵,考查推理能力與空間想象能力二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用坐標法，利用向量共線及垂直的坐標表示可求，即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，因為點與三點共線且，，設，即，∴，∴，∴，即，∴點到平面的距離為.故答案為：.14、【解析】計算，，得到底面，計算，，計算體積得到答案.【詳解】由，，所以底面，，故，體積為.故答案為：16.15、【解析】根據(jù)二項分布的均值與方差的關系求得,再根據(jù)方差的性質求解即可.【詳解】,所以,又因為,所以故答案為：12【點睛】本題主要考查了二項分布的均值與方差的計算,同時也考查了方差的性質,屬于基礎題.16、【解析】先求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出，即可得出答案.【詳解】解：由，得，則，所以，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，列出其一切可能的結果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個培訓的概率為；從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：，，，共15個，根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個，被選中且未被選中的概率為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結論.（2）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系寫出點與點的坐標由于軸，可設，可得出與的坐標設為平面的法向量，求出法向量.是關于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則，因為軸，可設，可求得，設為平面的法向量則令，解得，所以又因為是平面的法向量所以，因為，所以所以當時，取到最小值19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一三角函數(shù)化簡即可求解；（2）根據(jù)角平分線建立三角形面積方程求出b,再由余弦定理求解即可.【小問1詳解】由及正弦定理，得∵，∴∵，∴∵，∴【小問2詳解】∵，∴，解得由余弦定理，得，∴.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由可證得平面，根據(jù)線面平行的性質可證得結論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，利用線面角的向量求法可表示出，分別在、和三種情況下，結合基本不等式求得所求最大值.【小問1詳解】四邊形為正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小問2詳解】以為坐標原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，由（1）知：，則可設，，，，設平面的法向量，則，令，則，，，設直線與平面所成角為，；當時，；當時，（當且僅當，即時取等號）；當時，；綜上所述：直線與平面所成角正弦值的最大值為.21、(1);(2)見解析.【解析】(1)涉及中點弦,用點差法處理即可求得,進而求得拋物線方程;(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設,直線,則直線分別和拋物線方程聯(lián)立,解得利用,結合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.【詳解】(1)設,則,兩式相減,得:由弦中點縱坐標為2,得,故.所以拋物線的標準方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設直線由得由點在拋物線上,可知上述方程的一個根為.即,同理.直線的斜率為定值.【點睛】本題考查應用點差法處理中點弦問題,直線與拋物線中,斜率為定值問題,考查分析問題的能力,考查學生的計算能力,難度較難.22、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段的垂直平分線方程，求出此直線與