2025屆新疆庫車縣烏尊鎮(zhèn)烏尊中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆新疆庫車縣烏尊鎮(zhèn)烏尊中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標(biāo)系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.104．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點，，，，若，則（）A. B.C. D.5．已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.6．已知點分別是橢圓的左、右焦點,點P在此橢圓上,,則的面積等于A. B.C. D.7．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點，且其“歐拉線”與圓相切，則：①．圓M上的點到原點的最大距離為②．圓M上存在三個點到直線的距離為③．若點在圓M上，則的最小值是④．若圓M與圓有公共點，則上述結(jié)論中正確的有（）個A.1 B.2C.3 D.48．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點到焦點的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線(，)的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.4C.6 D.99．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)中相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)10．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題11．等差數(shù)列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.12．觀察數(shù)列，（），，（）的特點，則括號中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓錐的側(cè)面積為，若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線的長為___________.14．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個數(shù)為____________.15．=______.16．如圖所示，高爾頓釘板是一個關(guān)于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時，將隨機的向兩邊等概率的落下．當(dāng)有大量的小球都落下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現(xiàn)有5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過點的直線與相切，求的方程.18．（12分）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，且該橢圓的離心率為，（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（Ⅱ）求過點的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若，求的面積.19．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求曲線過點的切線方程.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，橢圓E的一個焦點為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于A，B兩點.求的最大值21．（12分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點，M為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知直線方程為（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最小值及此時直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C2、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因為，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因為，所以可設(shè)，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A3、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C4、C【解析】建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示向量，求出點坐標(biāo)，進而求出結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨令，則，，，，，.因為，所以，則，，，，則解得，，，故.故選：C5、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D6、B【解析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，結(jié)合定義及余弦定理可求得值，由及三角形面積公式即可求解.【詳解】橢圓則，所以，則由余弦定理可知代入化簡可得，則，故選：B.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用，正弦定理與余弦定理的簡單應(yīng)用，三角形面積公式的用法，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由題意求出的垂直平分線可得△的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點的距離，加上半徑判斷A；求出圓心到直線的距離判斷B；再由的幾何意義，即圓上的點與定點連線的斜率判斷C；由兩個圓有公共點可得圓心距與兩個半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍判斷D【詳解】由題意，△的歐拉線即的垂直平分線，，，的中點坐標(biāo)為，，則的垂直平分線方程為，即由“歐拉線”與圓相切，到直線的距離，，則圓的方程為：，圓心到原點的距離為，則圓上的點到原點的最大距離為，故①錯誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個點到直線的距離為，故②正確；的幾何意義：圓上的點與定點連線的斜率，設(shè)過與圓相切的直線方程為，即，由，解得，的最小值是，故③錯誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點，則圓心距的范圍為，，，解得，故④錯誤故選：A8、A【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點到焦點的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C的離心率.故選：A.9、C【解析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的波動情況，可直接判斷方差不同；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別計算極差、中位數(shù)、平均數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】由莖葉圖可得：甲的數(shù)據(jù)更集中，乙的數(shù)據(jù)較分散，所以甲與乙的方差不同；甲的極差為；乙的極差為，所以甲與乙的極差不同；甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，所以中位數(shù)不同；甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲、乙的平均數(shù)相同；故選：C.10、B【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B11、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結(jié)果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B12、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項公式為，∴.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征及側(cè)面積公式即得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線為l,又圓錐過軸的截面為正三角形，圓錐的側(cè)面積為，∴，∴.故答案為：.14、【解析】通過觀察、分析、歸納，找出規(guī)律運算求解即可【詳解】前行共有正整數(shù)個，即個，因此第行第個數(shù)是全體正整數(shù)中第個，即為故答案為：15、【解析】根據(jù)被積函數(shù)（）表示一個半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數(shù)（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分，在用該方法求解時需注意被積函數(shù)的在給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值符號，本題屬于中檔題.16、【解析】先研究一個小球從正上方落下的情況，從而可求出一個小球從正上方落下落到2號位置的概率，進而可求出5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號位置的有4種，所以每個球落入2號位置的概率為，所以5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【小問1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，圓心為由圓心在直線上，得.所以，圓的方程為：【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即由于直線和圓相切，得解得：所以，直線方程為：或.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意可以求出橢圓的焦點，再根據(jù)橢圓的離心率公式，求出的值，然后結(jié)合橢圓的關(guān)系求出，最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)平面向量共線定理可以得出A，B兩點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再設(shè)出直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出直線AB的斜率，最后根據(jù)三角形面積結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出的面積.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，又，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，，由得：，驗證易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立橢圓方程，得：，整理得：，得：，將代入得，所以的面積.【點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求直線斜率和三角形面積問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力.19、（1）；（2）.【解析】（1）首先求導(dǎo)函數(shù)，計算，接著根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率，最后根據(jù)點斜式寫出直線方程即可;（2）因為點不在曲線上，所以設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線的方程，代入點求解，最后寫出切線方程即可.【詳解】（1）.，.所以曲線在處的切線方程為，即（2）設(shè)切點為，則曲線在點處的切線方程為，代入點得，，.所以曲線過點的切線方程為，即.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)，，由得由得．由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立當(dāng)直線l的斜率不存在時，，∴的最大值為21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為O為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設(shè)CD的中點為P，連接BP，因為，，，所以，且，則.因為，所以，易知，所以.因為平面，平面，，所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，所以可以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內(nèi)過點O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以,,，，設(shè)平面的法向量為，，，則可取平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，，，則令，得平面