2025屆上海市上海師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆上海市上海師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖1所示，拋物面天線(xiàn)是指由拋物面（拋物線(xiàn)繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于其焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線(xiàn)）組成的單反射面型天線(xiàn)，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為.焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離與口徑的比為拋物面天線(xiàn)的焦徑比，它直接影響天線(xiàn)的效率與信噪比等.若饋源方向角滿(mǎn)足，則該拋物面天線(xiàn)的焦徑比為（）A. B.C. D.22．我們知道∶用平行于圓錐母線(xiàn)的平面（不過(guò)頂點(diǎn)）截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn)是拋物線(xiàn)一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線(xiàn)PB的中點(diǎn)，已知過(guò)CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn)是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線(xiàn)的一部分，則該圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于（）A. B.C. D.13．已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.4．現(xiàn)有60瓶飲料，編號(hào)從1到60，若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進(jìn)行檢驗(yàn)，則所抽取的編號(hào)可能為（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，305．校慶當(dāng)天，學(xué)校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個(gè)面積為200平方米的矩形場(chǎng)地.用來(lái)展示校友的書(shū)畫(huà)作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長(zhǎng)最小需要（）米A.20 B.40C. D.6．已知是拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，記線(xiàn)段的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.7．等差數(shù)列中，，，則（）A.6 B.7C.8 D.98．?dāng)?shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.9．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使10．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)PF交x軸于Q點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為（）A.4 B.5C.6 D.712．設(shè)，則“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是，則實(shí)數(shù)___________.14．在學(xué)習(xí)《曲線(xiàn)與方程》的課堂上，老師給出兩個(gè)曲線(xiàn)方程；，老師問(wèn)同學(xué)們：你想到了什么？能得到哪些結(jié)論？下面是四位同學(xué)的回答：甲：曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；乙：曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；丙：曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積；?。呵€(xiàn)與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積；四位同學(xué)回答正確的有______（選填“甲、乙、丙、丁”）15．不等式的解集是________16．設(shè)函數(shù)，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18．（12分）已知圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線(xiàn)與圓相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求所得弦長(zhǎng)的值.19．（12分）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求.20．（12分）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上不同于A(yíng)，B的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)AP與直線(xiàn)（m為常數(shù)）交于點(diǎn)Q，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)OQ的斜率為，直線(xiàn)BP的斜率為．求證：為定值；②過(guò)Q與PB垂直的直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.22．（10分）圓與軸的交點(diǎn)分別為，且與直線(xiàn)，都相切（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點(diǎn)滿(mǎn)足？若存在，求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用題設(shè)條件得到得點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程化簡(jiǎn)即可求解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為（）在中，則所以則所以，所以將代入拋物線(xiàn)方程中得所以或即或（舍）當(dāng)時(shí)，故選：B2、C【解析】由圓錐的底面半徑和高及E的位置可得，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可得C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線(xiàn)的方程，將C的坐標(biāo)代入求出拋物線(xiàn)的方程，進(jìn)而可得焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離【詳解】設(shè)AB，CD的交點(diǎn)為，連接PO，由題意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由題意OB=OP=OC=2，因?yàn)镋是母線(xiàn)PB的中點(diǎn)，所以，由題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以BP為y軸以O(shè)E為x軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示∶可得∶，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2=mx，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為∶，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為故選：C3、C【解析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點(diǎn)和定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，利用直線(xiàn)和圓相切，即可求出的最小值；【詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線(xiàn)和圓相切時(shí)，有，可得，，的最小值為：，故選：4、A【解析】求得組距，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】，即組距為，A選項(xiàng)符合，其它選項(xiàng)不符合.故選：A5、B【解析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長(zhǎng)為因?yàn)椋傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即圍欄總長(zhǎng)最小需要米.故選：B.6、C【解析】設(shè)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，進(jìn)而得，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解：設(shè)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)，所以根據(jù)梯形中位線(xiàn)定理得點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合拋物線(xiàn)的定于與余弦定理得，，再求最值.7、C【解析】由等差數(shù)列的基本量法先求得公差，然后可得【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，所以故選：C8、B【解析】根據(jù)給定數(shù)列，結(jié)合選項(xiàng)提供通項(xiàng)公式，將n代入驗(yàn)證法判斷是否為通項(xiàng)公式.【詳解】A：時(shí)，排除；B：數(shù)列，，，，…滿(mǎn)足.C：時(shí)，排除；D：時(shí)，排除；故選：B9、B【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題即可得正確答案【詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱(chēng)量詞，并把后面的結(jié)論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.10、C【解析】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，改量詞，且否定結(jié)論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項(xiàng).11、C【解析】根據(jù)題干條件得到相似，進(jìn)而得到，求出點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離.【詳解】由題意得：，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為.故選：C12、A【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以?xún)芍本€(xiàn)平行；若兩直線(xiàn)平行，則且，解得或，所以，“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的充分不必要條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其準(zhǔn)線(xiàn)方程即可求得實(shí)數(shù).【詳解】拋物線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其準(zhǔn)線(xiàn)方程是，而所以，即，故答案為：14、甲、乙、丙、丁【解析】結(jié)合對(duì)稱(chēng)性判斷甲、乙的正確性；通過(guò)對(duì)比和與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積來(lái)判斷丙丁的正確性.【詳解】對(duì)于甲：交換方程中和的位置得，所以曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，甲回答正確.對(duì)于乙：和兩個(gè)點(diǎn)都滿(mǎn)足方程，所以曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，乙回答正確.對(duì)于丙：直線(xiàn)與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為，，，在第一象限，直線(xiàn)與曲線(xiàn)都滿(mǎn)足，，，所以在第一象限，直線(xiàn)的圖象在曲線(xiàn)的圖象上方，所以，丙回答正確.對(duì)于丁：圓與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為，在第一象限，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)都滿(mǎn)足，，，，所以在第一象限，曲線(xiàn)的圖象在曲線(xiàn)的圖象下方，所以，丁回答正確.故答案為：甲、乙、丙、丁15、【解析】先將分式不等式化為一元二次不等式，再根據(jù)一元二次不等式的解法解不等式即可【詳解】∵，∴（x﹣2）（x+4）＜0，∴-4＜x＜2，即不等式的解集為{x|-4＜x＜2}故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式及一元二次不等式的解法，比較基礎(chǔ)16、【解析】由的導(dǎo)數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，所以是首?xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列（2）由（1）可知，所以因?yàn)?，所以……，，各式相加得：，又，所以，又?dāng)n=1時(shí)，滿(mǎn)足上式，所以18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件可以確定圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出圓的方程；（2）先求圓心到直線(xiàn)的距離，結(jié)合勾股定理可求弦長(zhǎng).【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.【點(diǎn)睛】圓的方程求解方法：（1）直接法：確定圓心，求出半徑，寫(xiě)出方程；（2）待定系數(shù)法：設(shè)出圓的方程，可以是標(biāo)準(zhǔn)方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.19、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，若成等比?shù)列，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列的裂項(xiàng)法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項(xiàng)：觀(guān)察數(shù)列的通項(xiàng)，將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式；累加：將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加；消項(xiàng)：將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消，將剩余的有限項(xiàng)相加，得到數(shù)列的前項(xiàng)和.2、消項(xiàng)的規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).20、（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；【解析】（1）依題意得到方程組，解得，即可求出橢圓方程；（2）①由（1）可得，，設(shè)，，表示出直線(xiàn)的方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到、，即可求出；②在直線(xiàn)方程中令，即可得到的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)的斜率，即可得到直線(xiàn)的方程，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo)；【小問(wèn)1詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】解：①由（1）可得，，設(shè)，，則直線(xiàn)的方程為，令則，所以，，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，即為定值；②因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，令則，因?yàn)?，所以，所以直線(xiàn)的方程為，即又，所以，令，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得為的中點(diǎn)，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（3）設(shè)，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長(zhǎng)度，即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，故，因?yàn)椋?，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；【小?wèn)2詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；【小?wèn)3詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，?/p>