結(jié)構(gòu)力學(xué)教案

《結(jié)構(gòu)力學(xué)》課程教學(xué)大綱第一章

緒論學(xué)習(xí)目的和要求目的要求：明確結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象，掌握結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)，掌握桿系結(jié)構(gòu)的類型。重

點(diǎn)：結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象和任務(wù)。難

點(diǎn)：如何對實(shí)際結(jié)構(gòu)選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算簡圖。學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象和任務(wù)、荷載的分類、結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡圖、支座和結(jié)點(diǎn)的類型、結(jié)構(gòu)的分類。§1-1研究對象和任務(wù)

1．結(jié)構(gòu)在建筑物（或構(gòu)筑物）中，能支承一定的荷載并起骨架作用的部分，稱為結(jié)構(gòu)。

2．結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象結(jié)構(gòu)力學(xué)是以桿系結(jié)構(gòu)為研究對象，薄壁結(jié)構(gòu)與實(shí)體結(jié)構(gòu)則為彈性力學(xué)的研究對象。結(jié)構(gòu)力學(xué)與材料力學(xué)有著密切的聯(lián)系，材料力學(xué)是以研究單根桿件為主。3．結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)

(1)強(qiáng)度和剛度計(jì)算計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動(dòng)等因素影響下的內(nèi)力與位移。

(2)穩(wěn)定性計(jì)算分析結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載下的反應(yīng)。

(3)研究結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律討論結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律及其合理形式。4．結(jié)構(gòu)力學(xué)與其他課程之間的聯(lián)系結(jié)構(gòu)力學(xué)是一門技術(shù)基礎(chǔ)課，它不但要用到數(shù)學(xué)、理論力學(xué)、材料力學(xué)的知識(shí)，而且也為后續(xù)課程如結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理、橋梁、隧道、房建、水工結(jié)構(gòu)及工程施工課程提供了必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法?！?-2荷載的分類

荷載是作用在結(jié)構(gòu)上的主動(dòng)力，在交通土建工程中常見的荷載有：1．按荷載作用時(shí)間的久暫分（1）恒載

恒載是長期作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，如自重、土壓力等。（2）活載

活載是短期作用在結(jié)構(gòu)上的荷載。2．按荷載位置是否變化分（1）固定荷載

如風(fēng)荷載、雪荷載等。（2）移動(dòng)荷載

如各種行駛的車輛、人群、吊車等。3．按荷載產(chǎn)生的動(dòng)力效應(yīng)可分為（1）靜力荷載

靜力荷載是緩慢作用在結(jié)構(gòu)上，不使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的加速度，因而其慣性力可以忽略。（2）動(dòng)力荷載

動(dòng)力荷載其大小、方向或作用點(diǎn)都隨時(shí)間迅速發(fā)生變化，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著加速度，由此產(chǎn)生的慣性力是不可忽略的。在工程計(jì)算中，車輛、風(fēng)載等均為動(dòng)力荷載，但仍按靜力荷載進(jìn)行計(jì)算，然后乘以動(dòng)力系數(shù)，這樣可以使計(jì)算得到簡化。4．其它因素

溫度變化、支座移動(dòng)、混凝土收縮、制造誤差等，也會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形或內(nèi)力，廣義地講上述各因素也都可視為靜力荷載?！?-3結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡圖

1.計(jì)算簡圖

實(shí)際結(jié)構(gòu)是很復(fù)雜的，如果完全按照實(shí)際結(jié)構(gòu)去進(jìn)行力學(xué)分析，一方面是不可能，另一方面也是沒有必要的，因此在計(jì)算前總要把實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，忽略一些次要因素的影響，保留其基本特點(diǎn)，用一個(gè)簡化圖形(也叫力學(xué)模型)代替實(shí)際結(jié)構(gòu)，從而簡化了計(jì)算，又使其誤差在工程允許范圍之內(nèi)，這種簡化的圖形叫做結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡圖。

2.簡化工作的內(nèi)容

嚴(yán)格地講，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)都是空間結(jié)構(gòu)，可以承受來自各方面的荷載，在多數(shù)情況下常略去一些次要的空間約束，簡化為平面結(jié)構(gòu)，再經(jīng)過桿件、結(jié)點(diǎn)、支座的簡化才能得到計(jì)算簡圖。但需說明的是并非所有的空間結(jié)構(gòu)均可簡化為平面結(jié)構(gòu)。

結(jié)構(gòu)的簡化包括下述三個(gè)方面：（1）荷載的簡化；（2）桿件的簡化；（3）支座和結(jié)點(diǎn)的簡化；(4)體系的簡化；將某些空間結(jié)構(gòu)簡化為平面結(jié)構(gòu)在桿系結(jié)構(gòu)中常用桿件截面形心聯(lián)線所形成的桿軸線表示實(shí)際桿件。

圖1-1

圖1-2

對鋼筋混凝土屋架的結(jié)點(diǎn)，計(jì)算時(shí)可將各桿之間的聯(lián)結(jié)均假定為鉸結(jié)（圖1-2a)。這雖然與實(shí)際情況不符，但可使計(jì)算大為簡化，計(jì)算誤差在工程上是容許的。如果將各桿聯(lián)結(jié)處均視為剛結(jié)（圖1-2b)，則可得到較精確的計(jì)算簡圖，但是計(jì)算就比鉸結(jié)的要復(fù)雜的多。

在結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中所示結(jié)構(gòu)，均為結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡圖?！?-4支座和結(jié)點(diǎn)的類型1．支座的類型把結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)或其它支承物聯(lián)結(jié)的裝置叫支座。支座的作用一方面是傳遞荷載，另一方面是固定結(jié)構(gòu)的位置。根據(jù)實(shí)際構(gòu)造所起的約束作用的區(qū)別可分為下列幾種：

（1）活動(dòng)鉸支座

允許結(jié)構(gòu)繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，又允許結(jié)構(gòu)沿支承平面m-n移動(dòng)，但不能有沿垂直于支承面方向的移動(dòng)，所以它只承受豎直方向的反力?；顒?dòng)鉸支座的計(jì)算簡圖可用圖1-3c表示。

圖1-3（2）固定鉸支座這種支座的構(gòu)造如圖1-4a所示，它只允許結(jié)構(gòu)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，而限制其它方向的位移，其計(jì)算簡圖用兩根相交于一點(diǎn)的鏈桿表示如圖1-4b所示，其反力通常用平行和垂直于桿軸線的兩個(gè)分力FAx、FAy表示。

（3）固定支座

圖1-4

這種支座不允許結(jié)構(gòu)在該處發(fā)生任何方向的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，它的反力用兩個(gè)分力FAx、FAy及力矩MA表示，見圖1-5a、b所示。

圖1-5

圖1-6

（4）定向支座(滑動(dòng)支座)這種支座只允許結(jié)構(gòu)沿一個(gè)方向平行移動(dòng)，限制另一個(gè)方向移動(dòng)和繞支座轉(zhuǎn)動(dòng)，計(jì)算簡圖上只有力FAx(或FAy)及MA，如圖1-6所示。

2.結(jié)點(diǎn)的類型

桿件之間互相聯(lián)結(jié)的地方稱為結(jié)點(diǎn)。在計(jì)算簡圖中，將結(jié)點(diǎn)簡化為鉸結(jié)點(diǎn)和剛結(jié)點(diǎn)兩種。

(1)鉸結(jié)點(diǎn)其特征是各桿繞結(jié)點(diǎn)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖1-2a所示。(2)剛結(jié)點(diǎn)其特征是各桿繞結(jié)點(diǎn)無相對線位移及角位移。在實(shí)際工程中如鋼筋混凝土的結(jié)點(diǎn)，上、下柱與橫梁在該處澆成整體，鋼筋的布置使各桿端能抵抗彎矩，這種結(jié)點(diǎn)就可以簡化為剛結(jié)點(diǎn)，如圖1-2b所示。(3)組合接點(diǎn)部分剛結(jié)、部分鉸結(jié)的結(jié)點(diǎn)。如圖1-11所示。

圖1-11§1-5

結(jié)構(gòu)的分類

1．根據(jù)幾何外形，結(jié)構(gòu)可分為：桿件結(jié)構(gòu)、薄壁結(jié)構(gòu)和實(shí)體結(jié)構(gòu)

（1）桿系結(jié)構(gòu)這種結(jié)構(gòu)是由若干根桿件組成的，每根桿件沿桿軸線方向的長度要比其橫截面的尺寸大得多，如簡支梁、桁架、剛架等。

（2）薄壁結(jié)構(gòu)當(dāng)某一部件一個(gè)方向的尺度遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的尺度就稱為薄板及薄殼。若干個(gè)薄板及薄殼所組成的結(jié)構(gòu)叫薄壁結(jié)構(gòu)，如圖1-12、1-13所示。

（3）實(shí)體結(jié)構(gòu)這種結(jié)構(gòu)在三個(gè)方向的尺度大體相近，如圖1-14所示。

圖1-12

圖1-13

圖1-14桿系結(jié)構(gòu)按其受力特性不同又可分為以下幾種：1）梁

梁是一種受彎桿件，其軸線通常為直線。如圖1-15所示。

圖1-15

圖1-162）拱

拱的軸線為曲線，且在豎向荷載作用下有水平反力。如圖1-16所示。3）剛架

剛架由直桿組成并具有剛結(jié)點(diǎn)。如圖1-17所示。

圖1-17

圖1-184）桁架

桁架也是由直桿組成，其結(jié)點(diǎn)均為鉸結(jié)點(diǎn)，其上所承受的荷載均為結(jié)點(diǎn)集中荷載，故各桿只有軸力。如圖1-18所示。

5）組合結(jié)構(gòu)

它是由梁、桁、拱或剛架組合在一起的結(jié)構(gòu)，其中有些桿件只承受軸力，另一些桿件還同時(shí)承受彎矩和剪力。如圖1-19所示。

圖1-192．按桿軸線和外力的空間位置，結(jié)構(gòu)可分為：平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)（1）平面結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)的各桿軸線及外力（包括荷載及反力）均在同一平面內(nèi)。如圖1-18所示。（2）空間結(jié)構(gòu)

與上述不符的其它結(jié)構(gòu)。如圖1-21所示。3．按內(nèi)力是否靜定，結(jié)構(gòu)又可分為：靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)（1）靜定結(jié)構(gòu)其所有反力及內(nèi)力均可用三個(gè)靜力平衡方程求得的結(jié)構(gòu)。（2）超靜定結(jié)構(gòu)單用靜力平衡方程無法確定其全部反力及內(nèi)力，還必須考慮變形條件，這樣的結(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)。第二章

平面體系的機(jī)動(dòng)分析學(xué)習(xí)目的和要求目的要求：明確機(jī)動(dòng)分析的目的，領(lǐng)會(huì)幾何不變體系、幾何可變體系、瞬變體系和剛片、約束、自由度等概念。掌握幾何不變體系的簡單組成規(guī)則，能靈活運(yùn)用三個(gè)規(guī)則對平面體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。重

點(diǎn)：幾何不變體系的簡單組成規(guī)則難

點(diǎn)：如何正確應(yīng)用幾何不變體系的簡單組成規(guī)則對平面體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析，二元體的概念。學(xué)習(xí)內(nèi)容幾何不變體系、幾何可變體系和瞬變體系的概念；自由度、剛片、聯(lián)系的概念；無多聯(lián)系的幾何不變體系的組成規(guī)則；體系幾何組成分析舉例；結(jié)構(gòu)的幾何組成與靜定性的關(guān)系?！?-1

引

言

桿系結(jié)構(gòu)是由若干桿件互相聯(lián)結(jié)所組成的體系,并與地基相聯(lián)用來承受荷載。在不考慮材料應(yīng)變的情況下，應(yīng)保持幾何形狀和位置均不改變。1．幾何不變體系

體系受到任意荷載作用后，在不考慮材料應(yīng)變的情況下，若能保持原有的幾何形狀和位置，這樣的體系稱為幾何不變體系。如圖2-1(a)所示的三角形體系，在任意荷載P的作用下，都能維持幾何形狀及位置不變。2．幾何可變體系

還有另外一類體系，如圖2-1(b)所示，即使受到很小的外力P，也能引起其形狀的改變，這類體系稱為幾何可變體系。顯然幾何可變體系是不能作為工程結(jié)構(gòu)使用的。

圖2-13．機(jī)動(dòng)分析對體系幾何組成進(jìn)行的分析稱為機(jī)動(dòng)分析。4．機(jī)動(dòng)分析的目的

(1)判定某一體系是否幾何不變，從而決定能否作為工程結(jié)構(gòu)。

(2)研究幾何不變體系的組成規(guī)律，以保證設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)能承受任意荷載而維持平衡。

(3)區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)及超靜定結(jié)構(gòu)，以便確定相應(yīng)的計(jì)算方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。

本章僅討論平面體系的機(jī)動(dòng)分析?！?-2

平面體系的計(jì)算自由度1．平面體系的自由度

為了便于對體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析，首先要了解幾何可變體系的運(yùn)動(dòng)方式，即要討論平面體系自由度的概念。所謂平面體系的自由度，是指體系運(yùn)動(dòng)時(shí)用來確定其位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目。

（1）一個(gè)自由點(diǎn)

平面內(nèi)一個(gè)自由點(diǎn)有兩個(gè)自由度（圖2-2a）。

（2）一個(gè)自由剛片

平面內(nèi)一個(gè)自由剛片有三個(gè)自由度（圖2-2b）。圖2-22．聯(lián)系限制體系運(yùn)動(dòng)的裝置稱為聯(lián)系(也叫約束)。聯(lián)系能減少體系運(yùn)動(dòng)的自由度，凡能減少一個(gè)自由度的裝置稱為一個(gè)聯(lián)系。常見的聯(lián)系有：

（1）鏈桿一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)聯(lián)系（圖2-3a）。

（2）單鉸

聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的鉸稱為單鉸（圖2-3b）。一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)聯(lián)系，因而也相當(dāng)于兩根鏈桿的作用。換句話講，兩根鏈桿也相當(dāng)于一個(gè)單鉸的作用。圖2-3（3）復(fù)鉸

聯(lián)結(jié)兩個(gè)以上剛片的鉸稱為復(fù)鉸（圖2-3c）。聯(lián)結(jié)三個(gè)剛片的復(fù)鉸具有四個(gè)聯(lián)系作用，它相當(dāng)于兩個(gè)單鉸的聯(lián)系。推廣可知，聯(lián)結(jié)n個(gè)剛片的復(fù)鉸，相當(dāng)于(n-1)個(gè)單鉸的作用，可減少2(n-1)個(gè)自由度。3．平面體系的計(jì)算自由度（1）一般體系平面體系通常是由若干個(gè)剛片彼此用鉸相聯(lián)并用支座鏈桿與基礎(chǔ)箱聯(lián)而組成的。設(shè)其剛片數(shù)為m，單鉸數(shù)為h，支座鏈桿數(shù)為r,則體系的自由度為

W=3m-(2h+r)

(2-1)實(shí)際上每一個(gè)聯(lián)系不一定都能減少一個(gè)自由度，W不一定能反映體系真實(shí)的自由度。為此，把W稱為體系的計(jì)算自由度。例如圖2-4所示體系，W=3m-(2h+r)=3×8-（2×10+4）=0。又如圖2-5所示體系，W=3×9-（2×12+3）=0。（2）鉸結(jié)鏈桿體系

完全由兩端鉸結(jié)的桿件所組成的體系，稱為鉸結(jié)鏈桿體系。體系的自由度除能用式（2-1）計(jì)算外，還可用下面簡便公式來計(jì)算。設(shè)j表示結(jié)點(diǎn)數(shù)，b表示桿件數(shù)，r表示支座鏈桿數(shù)，則體系的自由度為

圖2-4

圖2-5

W=2j-(b+r)

(2-2)例如圖2-5所示體系，W=2×6-(9+3)=0。與上面結(jié)果相同。（3）計(jì)算自由度與幾何組成的關(guān)系任何平面體系的計(jì)算自由度，有以下三種情況：1)

W>0，表明體系缺少足夠的聯(lián)系，是幾何可變的。2)

W=0，表明體系具有成為幾何不變所必需的最少聯(lián)系數(shù)目。3)

W<0，表明體系具有多余聯(lián)系。因此，W≤0僅是幾何不變體系的必要條件，并不是充分條件。僅考慮體系本身，幾何不變體系的必要條件是W≤3。當(dāng)一個(gè)體系的計(jì)算自由度W≤0（或W≤3）時(shí)，為了判定體系是否幾何不變，還須進(jìn)一步進(jìn)行幾何組成分析?！?-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則為了確定平面體系是否幾何不變，須研究幾何不變體系的組成規(guī)則。本節(jié)介紹幾個(gè)簡單組成規(guī)則。1．三剛片規(guī)則

三個(gè)剛片用不在一直線上的三個(gè)鉸兩兩相聯(lián)，組成的體系是幾何不變的。

圖2-7所示體系，剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用不在一直線上的三個(gè)鉸A、B、C兩兩相聯(lián)，形成的三角形是幾何不變的。

圖2-7

圖2-8又如圖2-8所示的三鉸拱，組成的體系亦是幾何不變的。2．二元體規(guī)則在幾何不變體系上增加(或拆除)二元體，得到的體系仍是幾何不變體系。

用兩根不在一直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)的裝置稱為二元體，如圖2-9所示。將其加在一個(gè)剛片上，形成的三角形體系是幾何不變的。二元體規(guī)則是三剛片規(guī)則的推廣，之所以當(dāng)作一個(gè)規(guī)則提出，是為了在鉸結(jié)體系的幾何組成

圖2-9

圖2-11分析中應(yīng)用方便。如可用二元體規(guī)則分析圖2-10所示的桁架。

3．兩剛片規(guī)則

兩個(gè)剛片用不全交于一點(diǎn)也不完全平行的三根鏈桿相聯(lián)，所組成的體系是幾何不變的。圖2-11所示剛片Ⅰ、Ⅱ僅用兩根鏈桿1、2相聯(lián)，若固定剛片Ⅰ，則剛片Ⅱ可繞1、2兩桿延長線形成的虛交點(diǎn)O1發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)后兩鏈桿又形成新的交點(diǎn)，故交點(diǎn)O1稱為此瞬時(shí)的相對轉(zhuǎn)動(dòng)中心，簡稱為瞬心。交點(diǎn)O1的作用與一個(gè)單鉸的作用相同，但與前述的單鉸(位置固定不變)又有所不同，故稱為虛鉸。若再加上不通過虛鉸O1的鏈桿3后，此時(shí)鏈桿3可與原有鏈桿中的任一根又可形成另外的虛鉸，如虛鉸O2，如圖2-12所示。此時(shí)若剛片Ⅱ相對于剛片Ⅰ運(yùn)動(dòng)，則也應(yīng)繞虛鉸O2發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，但一個(gè)剛片不可能同時(shí)繞兩個(gè)虛鉸作轉(zhuǎn)動(dòng)，所

以剛片Ⅰ、Ⅱ組成的體系是幾何不變的。圖2-12

圖2-13

由于兩個(gè)鏈桿的作用相當(dāng)于一個(gè)單鉸，故兩剛片規(guī)則也可如下敘述：兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸和不通過該鉸的一根鏈桿相聯(lián)，組成的體系是幾何不變的。如圖2-13所示

體系是幾何不變的。按簡單組成規(guī)則組成的幾何不變體系，其均為W=0（或W=3），因而都是沒有多余聯(lián)系的。§2-4瞬變體系值得指出，在上述規(guī)則中，都提出了一些限制條件，如聯(lián)結(jié)兩剛片的三根鏈桿不能全交于一點(diǎn)也不能全平行；聯(lián)結(jié)三剛片的三個(gè)鉸不能在同一直線上等。下面討論如果出現(xiàn)上述情況時(shí)，結(jié)果又會(huì)怎樣。首先看三個(gè)剛片用位于一直線上的三個(gè)鉸兩兩相聯(lián)的情形(圖2-15)。此時(shí)C點(diǎn)位于以AC、BC為半徑的兩個(gè)圓弧的公切線上，故在該瞬時(shí)C點(diǎn)可沿公切線作微小的移動(dòng)，移動(dòng)發(fā)生后三鉸不再在一直線上，運(yùn)動(dòng)也不再發(fā)生。這種在某一瞬時(shí)可以產(chǎn)生微小運(yùn)動(dòng)的體系稱為瞬變體系。

盡管瞬變體系只是在某一瞬時(shí)產(chǎn)生微小的相對運(yùn)動(dòng)，隨后變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，但由圖2-16圖2-15

圖2-16所示瞬變體系的受力分析可知，在外力P作用下，C點(diǎn)移動(dòng)至C′點(diǎn)，由結(jié)點(diǎn)C′的平衡條件ΣFy=0，可得FN=F/2sinφ由于φ是一無窮小量，所以FN→∞?？梢?，桿AC和BC將產(chǎn)生很大的內(nèi)力和變形。故瞬變體系或接近于瞬變的體系在工程中是絕對不能采用的。

現(xiàn)在再看圖2-17(a)所示兩剛片用三根相互平行且等長的鏈桿相聯(lián)，兩剛片發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)后，三根鏈桿仍相互平行，故運(yùn)動(dòng)將繼續(xù)發(fā)生，直到體系倒塌，這樣的體系稱為常變體系。圖2-17又如圖2-17(b)所示體系，兩個(gè)剛片用三根平行但不等長的鏈桿相聯(lián)，此時(shí)兩剛片可以沿與鏈桿垂直的方向發(fā)生相對移動(dòng)，但在發(fā)生微小移動(dòng)后，三根鏈桿不再相互平行，從而不再發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)。該體系是一個(gè)瞬變體系。再如圖2-17(c)所示兩剛片，用三根延長線相交于一點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，此時(shí)兩剛片將以交點(diǎn)O作相對轉(zhuǎn)動(dòng)，但發(fā)生微小運(yùn)動(dòng)后，三鏈桿不再交于同一點(diǎn)，因此該體系也是一個(gè)瞬變體系?！?-5機(jī)動(dòng)分析示例1.機(jī)動(dòng)分析的步驟

幾何組成分析的依據(jù)是前述三個(gè)簡單組成規(guī)則。分析時(shí)，宜先把能直接觀察出的幾何不變部分作為剛片，再以此剛片為基礎(chǔ)依次分析其余各部分，判定是否幾何不變?；虿鸪w，使體系的幾何組成簡化，再分析剩余的部分，根據(jù)簡單組成規(guī)則作出結(jié)論，則原體系的幾何組成也就確定了。

2.示例

例2-1對圖2-18所示體系進(jìn)行幾何組成分析。解：把地基看作剛片Ⅰ，AB部分為剛片Ⅱ，則Ⅰ、Ⅱ之間由三根不平行也不交于一點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，符合兩片規(guī)則，為幾何不變部分，將該部分看成擴(kuò)大的剛片Ⅲ。BC部分為剛片Ⅳ，則Ⅲ、Ⅳ兩剛片之間又圖用鉸B和不通過B點(diǎn)的鏈桿2相聯(lián)，符合兩剛片規(guī)則，同理為幾何不變部分，看作更擴(kuò)大的剛片Ⅴ。CD為剛片Ⅵ，則剛片Ⅴ、Ⅵ之間符合兩剛片規(guī)則，則大剛片擴(kuò)大到CD梁，同理，DE梁可作同樣分析。故知整

個(gè)體系是幾何不變的，且無多余聯(lián)系。圖2-18

例2-2

對圖2-19所示體系進(jìn)行幾何組成分析。圖2-19

圖2-20解：體系與地基用三根不完全平行也不完全交與一點(diǎn)的鏈桿相連聯(lián)，只需分析體系本身即可。首先從左右兩邊按結(jié)點(diǎn)1、2、3、……的順序依次拆除二元體，當(dāng)拆到結(jié)點(diǎn)6時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩桿在一直線上，故知原體系是瞬變的。

例2-3

對圖2-20所示體系進(jìn)行幾何組成分析。

解：將ADCF、ECGB和地基分別看作剛片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。剛片Ⅰ和Ⅱ用鉸C相聯(lián)，剛片Ⅱ和Ⅲ用虛鉸O相聯(lián)(鏈桿1、2延長線的交點(diǎn))，剛片Ⅰ和Ⅲ用虛鉸O’相聯(lián)(鏈桿3、4延長線的交點(diǎn))，三鉸不在一直線上，符合三剛片規(guī)則，故該體系是幾何不變的，且無多余聯(lián)系。例2-4

對圖2-21所示體系進(jìn)行幾何組成分析。

解：桿AB和地基之間用三根不完全平行也不交于一點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，符合兩剛片規(guī)則，組成幾何不變的部分。在此基礎(chǔ)上再增加二元體A-C-E和B-D-F，體系仍為幾何不變，后又增加一鏈桿CD。故知該體系是具有一個(gè)多余聯(lián)系的幾何不變體系。圖2-21

圖2-22

例2-5

對圖2-22所示體系進(jìn)行幾何組成分析。解：將地基看成剛片Ⅰ(固定鉸支座A和B看作剛片Ⅰ的一部分)，DEC部分為剛片Ⅱ。折線桿AD和BE由于進(jìn)行幾何組成分析時(shí)不考慮桿件彈性變形，故折線桿兩鉸間距離不改變，所以可以用虛線所示的兩鏈桿2和3來代替。則剛片Ⅰ、Ⅱ之間用三鏈桿1、2、3相聯(lián)，但三鏈桿延長線全交于同一點(diǎn)O，不符合兩剛片規(guī)則。故知該體系是瞬變體系。例2-6對圖2-23所示體系進(jìn)行幾何組成分析。

圖2-23解：計(jì)算自由度：j=6，b=8，r=4。則，W=2j-(b+r)=2×6-(8+4)=0。分析：（注意：與基礎(chǔ)4個(gè)鏈桿相聯(lián)，用三剛片規(guī)則）左邊兩鏈桿支座，視為增加在基礎(chǔ)上的二元體，與基礎(chǔ)同屬于剛片3所有桿件中，那個(gè)視為剛片呢？

找：地基視為剛片Ⅲ，剛片Ⅲ上引出的桿件：AB、AD、CH、FG這4桿視為聯(lián)系，其余DF桿為剛片Ⅰ，BCE為剛片Ⅱ，Ⅰ和ⅡDB、FE兩根鏈桿聯(lián)結(jié)，虛鉸在無窮遠(yuǎn)處；Ⅱ和Ⅲ用AB、CH兩根鏈桿聯(lián)結(jié)，虛鉸在C點(diǎn)；Ⅲ和Ⅰ用AD、FG兩根

鏈桿聯(lián)結(jié)，虛鉸在F點(diǎn)。因?yàn)镃、F連線與DB、FE兩根鏈桿平行，認(rèn)為三鉸共線。結(jié)論：瞬變體系。§2-7幾何構(gòu)造與靜定性的關(guān)系

1.靜定結(jié)構(gòu)及超靜定結(jié)構(gòu)

如前所述，用來作為結(jié)構(gòu)的桿件體系必須是幾何不變的。而幾何不變體系又分為無多余聯(lián)系(例2-1至例2-3)和有多余聯(lián)系(例2-4)兩類。

對于無多余聯(lián)系的結(jié)構(gòu)，如圖2-25(a)所示簡支梁，它的全部支座反力和內(nèi)力都可由靜力平衡條件(ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0)求得，且為確定的值，這類結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。圖2-25但是對于具有多余聯(lián)系的結(jié)構(gòu)，卻不能由靜力平衡條件求得其全部反力和內(nèi)力的確定值。如圖2-25(b)所示連續(xù)梁，共有四個(gè)支座反力，而靜力平衡條件只有三個(gè)，故無法由平衡條件確定出全部反力的確定值，從而也無法求得內(nèi)力的確定值，把這類結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。

2.靜定結(jié)構(gòu)在幾何組成方面及靜力解答方面的特征靜定結(jié)構(gòu)在幾何組成方面的特征是幾何不變且無多余聯(lián)系；在靜力解答方面的特征是用平衡條件即可確定出全部反力及內(nèi)力。按前述簡單組成規(guī)則組成的體系，都是靜定結(jié)構(gòu)。

第三章

靜定梁與靜定剛架目的要求：熟練掌握靜定梁和靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制方法，熟練掌握繪制彎矩圖的疊加法及內(nèi)力圖的形狀特征，掌握繪制彎矩圖的技巧。掌握多跨靜定梁的幾何組成特點(diǎn)和受力特點(diǎn)。能恰當(dāng)選取隔離體和平衡方程計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。重

點(diǎn)：截面法、微分關(guān)系的應(yīng)用、簡直梁疊加法。難

點(diǎn)：簡直梁疊加法，繪制彎矩圖的技巧§3-1

單跨靜定梁

1．反力

常見的單跨靜定梁有簡支梁、伸臂梁和懸臂梁三種，如圖3-1(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三個(gè)，可取全梁為隔離體，由三個(gè)平衡條件求出。圖3-１2．內(nèi)力

截面法是將結(jié)構(gòu)沿所求內(nèi)力的截面截開，取截面任一側(cè)的部分為隔離體，由平衡條件計(jì)算截面內(nèi)力的一種基本方法。

（1）內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定軸力以拉力為正；剪力以繞隔離體有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢者為正；彎矩以使梁的下側(cè)纖維受拉者為正，如圖3-2(b)所示。（2）梁的內(nèi)力與截面一側(cè)外力的關(guān)系

圖3-21)

軸力的數(shù)值等于截面一側(cè)的所有外力(包括荷載和反力)沿截面法線方向的投影代數(shù)和。

2)

剪力的數(shù)值等于截面一側(cè)所有外力沿截面方向的投影代數(shù)和。3)

彎矩的數(shù)值等于截面一側(cè)所有外力對截面形心的力矩代數(shù)和。3．利用微分關(guān)系作內(nèi)力圖

表示結(jié)構(gòu)上各截面內(nèi)力數(shù)值的圖形稱為內(nèi)力圖。內(nèi)力圖常用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示截面位置(此坐標(biāo)軸常稱為基線)，而用垂直于桿軸線的坐標(biāo)(亦稱豎標(biāo))表示內(nèi)力的數(shù)值而繪出的。彎矩圖要畫在桿件的受拉側(cè)，不標(biāo)注正負(fù)號(hào)；剪力圖和軸力圖將正值的豎標(biāo)繪在基線的上方，同時(shí)要標(biāo)注正負(fù)號(hào)。繪內(nèi)力圖的基本方法是先寫出內(nèi)力方程，即以變量x表示任意截面的位置并由截面法寫出所求內(nèi)力與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后由方程作圖。但通常采用的是利用微分關(guān)系來作內(nèi)力圖的方法。

（1）荷載與內(nèi)力之間的微分關(guān)系在荷載連續(xù)分布的直桿段內(nèi)，取微段dx為隔離體，如圖3-3所示。若荷載以向下為正，x軸以向右為正，則可由微段的平衡條件得出微分關(guān)系式

（3-1）

（2）內(nèi)力圖形的形狀與荷載之間的關(guān)系由上述微分關(guān)系的幾何意義可得出以下對應(yīng)關(guān)系：

圖3-31)

在均布荷載作用的梁段，q(x)=q(常數(shù))，F(xiàn)S圖為斜直線，M圖為二次拋物線，其凸向與q的指向相同。在FS=0處，彎矩圖將產(chǎn)生極值。2)

無荷載的梁段，q(x)=0，F(xiàn)S=常數(shù)，F(xiàn)S圖為矩形，當(dāng)FS=0時(shí)，F(xiàn)S圖與基線重合。

彎矩圖為斜直線。3)

在集中力F作用處，F(xiàn)S圖有突變，突變值等于F；彎矩圖在該處出現(xiàn)尖角，且尖角的方向與F的指向相同。在FS圖變號(hào)處，M圖中出現(xiàn)極值。4)

在集中力偶Me作用處，F(xiàn)S圖無變化；M圖有突變，突變值等于力偶Me的大小。

4.用疊加法作彎矩圖當(dāng)梁同時(shí)受幾個(gè)荷載作用時(shí)，用疊加法作彎矩圖很方便。此時(shí)可不必求出支座反力。如要作圖3-4所示簡支梁的彎矩圖，可先繪出梁兩端力偶MA、MB和集中力F分別作用時(shí)的彎矩圖，再將兩圖的豎標(biāo)疊加，即可求得所求的彎矩圖，如圖3-4所示。實(shí)際作圖時(shí)，先將兩端彎矩MA、MB繪出并聯(lián)以直線，如圖中虛線所示，再以

圖3-4

此虛線為基線繪出簡支梁在荷載F作用下的彎矩圖。值得注意的是豎標(biāo)Fab/l仍應(yīng)沿豎向量取(而不是從垂直于虛線的方向量取)。最后所得的圖線與水平基線之間的圖形即為疊加后所得的彎矩圖。

上述疊加法對直桿的任何區(qū)段都是適用的。只需將直桿段的兩端彎矩求出并連以直線（虛線），然后在此直線上再疊加相應(yīng)簡支梁在荷載下的彎矩圖，這種方法稱為區(qū)段疊加法或簡支梁疊加法，也簡稱疊加法。

5．繪制內(nèi)力圖的一般步驟

(1)

求支座反力。

(2)

求控制截面的內(nèi)力（分段、定點(diǎn)）。所謂控制截面是指集中力和集中力偶作用的兩側(cè)截面、均布荷載的起點(diǎn)及終點(diǎn)等外力不連續(xù)點(diǎn)所在的截面。用截面法求出控制截面的內(nèi)力值后在內(nèi)力圖的基線上用豎標(biāo)標(biāo)出。

(3)連線。利用微分關(guān)系，將各控制截面之間內(nèi)力圖的形狀繪出。

例3-1

試作圖3-5(a)所示梁的內(nèi)力圖。

解：1.求支座反力

ΣMB=0,

FA=16kN(↑)；ΣMA=0,

FB=40kN(↑)校核：

ΣFy=16+40-8-8×4-16=02.繪FS圖

(1)求控制截面的FS值。

FSAR=FSCL=16kN；FSCR=FSD=8kN；FSGL=FSBR=16kN；FSBL=FSE=-24kN

(2)求出上述各控制截面的剪力后，按微分關(guān)系聯(lián)線即可繪出FS圖，如圖3-5(b)所示。3.繪M圖

(1)求控制截面的M值MA=0；

MC=16×1=16kN·m；MD=16×2-8×1=24kN·m；MG=0，MB=-16×1=-16kN·m

MFR=-16×2+40×1=8kN·m

MFL=-16×2+40×1-40=-32kN·m

ME=-16×3+40×2-40=-8kN·m

圖3-5(2)根據(jù)微分關(guān)系，可繪出M圖如圖3-4(c)

所示。在均布荷載作用區(qū)段DE，剪力圖有變號(hào)處，

在FS=0處對應(yīng)截面M值應(yīng)有極值，必須求出。欲求M的最大值，可由圖3-5(b)中求出截面所在位置x值，由得，x=1m。取AI段為隔離體，由ΣMI=0，可得：MI=16×3-8×2-8×1×1/2=28kN·m?！?-2

多跨靜定梁1.多跨靜定梁的組成多跨靜定梁是由若干根梁用鉸相聯(lián)，并通過若干支座與基礎(chǔ)相聯(lián)而組成的靜定結(jié)構(gòu)。圖3-7(a)為用于公路橋的多跨靜定梁，其計(jì)算簡圖如圖3-7(b)所示。從幾何組成看，多跨靜定梁各部分可分為基本部分和附屬部分。如上述多跨靜定梁中的AB和CD部分均直接用三根鏈桿與基礎(chǔ)相聯(lián)，它們不依賴于其他部分的存在而能獨(dú)立維持幾何不變性，稱為基本部分。而BC梁必須依賴AB、CD部分才能維持幾何不變。必須依賴其他部分才能維持幾何不變的部分，稱為附屬部分。為了清晰地表示各部分之間的支承關(guān)系，可將基本部分畫在下層，而將附屬部分畫在上層，這樣得到的圖形稱為層疊圖，如圖3-7(c)所示。圖3-72.多跨靜定梁的傳力關(guān)系從受力分析看，當(dāng)荷載作用在基本部分上時(shí)，該部分能將荷載直接傳向地基，而當(dāng)荷載作用在附屬部分上時(shí)，則必須通過基本部分才能傳向地基。故當(dāng)荷載作用在基本部分上時(shí)，只有該部分受力，附屬部分不受力。而當(dāng)荷載作用在附屬部分上時(shí)，除該部分受力外，基本部分也受力。3.多跨靜定梁的計(jì)算步驟由上述傳力關(guān)系可知，計(jì)算多跨靜定梁的順序應(yīng)該是先附屬部分，后基本部分。即由最上層的附屬部分開始，利用平衡條件求出約束反力后，將其反向作用在基本部分上，如圖3-7(d)所示。這樣便把多跨靜定梁拆成了若干根單跨梁，按單跨梁作內(nèi)力圖的方法，即可得到多跨靜定梁的內(nèi)力圖，從而可避免解聯(lián)立方程。例3-2

作圖3-10(a)所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。

解：(1)

畫層疊圖。ABC與DEF部分為基本部分，CD部分為附屬部分。將附屬部分畫在上層，基本部分畫在下層，得到圖3-10(b)所示的層疊圖。

(2)

求反力。先求附屬部分BC的反力，將其反向作用在基本部分上，然后再求基本部分的反力，如圖3-10(c)所示。

(3)

作內(nèi)力圖。首先求出各單跨梁控制截面的M、FS值，然后按微分關(guān)系聯(lián)線，也可用疊加法作彎矩圖。其內(nèi)力圖如圖3-10(d)、(e)所示。

圖3-10

例3-3

如圖3-11(a)所示為一兩跨靜定梁，承受均布荷載q，試確定鉸D的位置，使梁內(nèi)正、負(fù)彎矩峰值相等。

解：(1)

畫層疊圖，如圖3-11(b)所示。

(2)

求各單跨梁的反力。

由本題題意可看出，只需求出FDy便可得出鉸D的位置。設(shè)鉸D距B支座的距離為x，由ΣMA=0，可得出FDy=q(l-x)/2，如圖3-11(c)所示。

(3)

繪M圖。如圖3-11(d)所示，從圖中可以看出，全梁的最大正彎矩發(fā)生在AD梁跨中截面，其值為q(l-x)2/8；最大負(fù)彎矩發(fā)生在B支座處，其值為q(l-x)x/2+qx2/2。依題意，令正負(fù)彎矩峰值相等，即

可得

x=0.172鉸D的位置確定后，可作出彎矩圖，如圖3-11(e)所示，正負(fù)彎矩的峰值為0.0857q2。圖3-11如果改用兩個(gè)跨度為的簡支梁，彎矩圖如圖3-11(f)所示。比較可知，多跨靜定梁的彎矩峰值比兩跨簡支梁的要小，是簡支梁的68.6%。一般而言，在荷載與跨度總長相同的情況下，多跨靜定梁與一系列簡支梁相比，材料用料較省，但由于有中間鉸，使得構(gòu)造上要復(fù)雜一些。例3-4試作圖3-12所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖，并求出各支座的反力。解：按一般步驟是先求出各支座反力及鉸結(jié)處的約束力，然后作梁的剪力圖和彎矩圖。但是，如果能熟練地應(yīng)用彎矩圖的形狀特征以及疊加法，則在某些情況下也可以不計(jì)算反力而首先繪出彎矩圖。有了彎矩圖，剪力圖即可根據(jù)微分關(guān)系或平衡條件求得。對于彎矩圖為直線的區(qū)段，可利用彎矩圖的斜率來求剪力，如CE段梁的剪力值為至于剪力的正負(fù)號(hào)，看按以下方法確定：若彎矩圖是從基線順時(shí)針方向轉(zhuǎn)的（以小于90°的轉(zhuǎn)角），則剪力為正，反之為負(fù)。據(jù)此可知，應(yīng)為正。對于彎矩圖為曲線的區(qū)段，可利用桿段的平衡條件來求得其兩端剪力。例如BC段梁，取BC梁為隔離體，由和可分別求得，剪力圖作出后，可由結(jié)點(diǎn)平衡來求支座反力。取結(jié)點(diǎn)為隔離體，由可得圖3-12§3-3

靜定平面剛架

1.剛架的組成及其特征剛架是由直桿組成的具有剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。靜定平面剛架常見的形式有懸臂剛架（如圖3-13所示站臺(tái)雨棚）、簡支剛架（如圖3-14所示渡槽）及三鉸剛架（如圖3-15所示屋架）等。

當(dāng)剛架受力變形時(shí)，匯交于該結(jié)點(diǎn)的各桿端的夾角保持不變。這種結(jié)點(diǎn)稱為剛結(jié)點(diǎn)，具有剛結(jié)點(diǎn)是剛架的特點(diǎn)。從變形角度看，在剛結(jié)點(diǎn)處各桿不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。從受力角度看，剛結(jié)點(diǎn)可以承受和

傳遞彎矩，因而在剛架中彎矩是其主要的內(nèi)力。

圖3-13

圖3-14

圖3-15

2.剛架的內(nèi)力計(jì)算

在靜定剛架的受力分析中，通常是先求支座反力，再求控制截面的內(nèi)力，最后利用微分關(guān)系或疊加法再作內(nèi)力圖。

(1)支座反力的計(jì)算

當(dāng)剛架與地基之間是按兩剛片規(guī)則組成時(shí)，支座反力有三個(gè)，可取整個(gè)剛架為隔離體，由平衡條件求出反力；當(dāng)剛架與地基之間是按三剛片規(guī)則組成時(shí)，支座反力有四個(gè)，除三個(gè)整體平衡方程外，還可利用中間鉸處彎矩為零的條件建立一個(gè)補(bǔ)充方程，從而可求出四個(gè)支座反力；而當(dāng)剛架是由基本部分和附屬部分組成時(shí)，應(yīng)先計(jì)算附屬部分的反力，再計(jì)算基本部分的反力。(2)剛架中各桿的桿端內(nèi)力剛架中控制截面大多即是各桿的桿端截面，故作內(nèi)力圖時(shí)，首先要用截面法求出各桿端內(nèi)力。在剛架中，剪力和軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定與梁相同，剪力圖和軸力圖可繪在桿件的任一側(cè)，但必須注明正負(fù)號(hào)；彎矩則不規(guī)定正負(fù)號(hào)，但彎矩圖應(yīng)繪在桿件的受拉側(cè)而不注正負(fù)號(hào)。為了明確地表示剛架上不同截面的內(nèi)力，尤其是區(qū)分匯交于同一結(jié)點(diǎn)的各桿端截面的內(nèi)力而不致于混淆，在內(nèi)力符號(hào)后引用兩個(gè)下標(biāo)：第一個(gè)下標(biāo)表示內(nèi)力所在的截面，第二個(gè)下標(biāo)表示該截面所屬桿件的另一端。例如MAB表示AB桿A端截面的桿端彎矩，F(xiàn)SCA表示AC桿C端截面的剪力。例3-5

試作圖3-16(a)所示剛架的內(nèi)力圖。

解：1.求支座反力。

ΣFx=0,

5+FBx=0，

FBx=-5kN(←)負(fù)號(hào)表示與FBx的假設(shè)方向相反，即向左。

ΣMB=0,

4×FAy+5×2-16×4×2+8×1=0，F(xiàn)Ay=27.5kN(↑)

同理，

由ΣMA=0，得：FBy=44.5kN(↑)校核：ΣFy=27.5+44.5-16×4-8=0故知反力計(jì)算無誤。

圖3-16

2.繪內(nèi)力圖。

(1)

作M圖。求各桿端彎矩(控制截面的彎矩)

MAE=MEA=MEC=0，

MCE=5×2=10kN·m(左側(cè)受拉)

MCD=5×2=10kN·m(上側(cè)受拉)，MDC=8×1-(-5)×4=28kN·m(上側(cè)受拉)

MDB=5×4=20kN·m(右側(cè)受拉)，MDF=8×1=8kN·m(上側(cè)受拉)，MBD=MFD=0求得上述各控制截面的彎矩后，對無荷桿段，直接聯(lián)線即可得彎矩圖，對受均布荷載的區(qū)段，將桿端彎矩聯(lián)以虛直線后，再疊加上相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖。如CD桿中點(diǎn)的彎矩為：16×42/8-(10+28)/2=13kN·m(下側(cè)受拉)。整個(gè)剛架的彎矩圖如圖3-16(b)所示。(2)

作FS圖及FN圖。

作剪力圖時(shí)同樣應(yīng)逐桿考慮。根據(jù)荷載和已求出的反力，用截面法求得各控制截面(桿端)的剪力如下：

FSAE=FSEA=0；FSEC=-5kN；

FSCD=27.5kN

FSDC=8-44.5=-36.5kN；FSDF=FSFD=8kN；FSBD=FSDB=5kN據(jù)此，可繪出剪力圖，如圖3-16(d)所示。

用同樣的方法可繪出軸力圖，如圖3-16(c)所示。

在CD桿剪力為零處，彎矩圖有極值，一般應(yīng)求出。由圖3-16(d)可知

解得：

x=1.72m故有：

MG=27.5×1.72-5×2-16×1.722/2=13.6kN·m

(3)

校核。內(nèi)力圖作出后，應(yīng)進(jìn)行校核，可取剛架的任一部分為隔離體，看其是否滿足平衡條件。一般取剛結(jié)點(diǎn)為隔離體進(jìn)行分析，如取結(jié)點(diǎn)D為隔離體，有ΣFx=5-5=0；ΣFy=44.5-36.5-8=0；ΣMD=8+20-28=0可見，結(jié)點(diǎn)D的三個(gè)平衡條件均能滿足。對其他剛結(jié)點(diǎn)，也可按同樣的方法進(jìn)行校核，讀者可自行校核結(jié)點(diǎn)C的平衡條件是否滿足。例3-6

試作圖3-17(a)所示三鉸剛架的內(nèi)力圖。

解：(1)

求支座反力。

本題計(jì)算特點(diǎn)：（1）反力計(jì)算；（2）斜桿內(nèi)力計(jì)算及內(nèi)力圖

取整體為隔離體，由ΣMB=0，得：FAy=6×6×9/12=27kN(↑)由ΣMA=0，得：

FBy=6×6×3/12=9kN(↑)由ΣFx=0，得：

FAx=FBx再取剛架右半部分為隔離體，由ΣMC=0，得

FBx=9×6/9=6kN(←)故知：

FAx=6kN(→)校核：ΣFy=27+9-6×6=0?？芍戳τ?jì)算無誤。(2)

作彎矩圖。

首先求出各桿端彎矩，畫在受拉側(cè)并聯(lián)以直線，再疊加同跨度簡支梁在荷載作用下的彎矩圖?，F(xiàn)以斜桿DC為例說明彎矩圖的作法。

MDC=6×6=36kN·m(外側(cè)受拉)

MCD=0DC桿中點(diǎn)彎矩為：36/2-×6×62/8=-9kN·m(內(nèi)側(cè)受拉)。內(nèi)側(cè)最大彎矩所在截面由剪力圖確定，其值為11.9kN·m。M圖如圖3-17(b)所示。

(3)

作剪力圖。

取豎桿AD和BE為隔離體，由平衡條件可得

FSDA=FSAD=-6kN；

FSEB=FSBE=6kN

但對于斜桿CD和CE，可分別取這兩桿為隔離體，如圖3-17(c)、(d)所示。對桿件兩端截面中心取矩即可求出桿件兩端剪力。圖3-17

FSDC=（36+6×6×3）/6.71=21.5kN

FSCD=（36-6×6×3）/6.71=-10.7kN

FSCE=FSEC=-36/6.71=-5.37kNFS圖如圖3-17(e)所示。

(4)

作軸力圖。

仍取AD和BE兩桿為隔離體，利用平衡條件即可求出桿端軸力為

FNDA=FNAD=-27kN；

FNEB=FNBE=-9kN對于兩斜桿的軸力，則可取剛結(jié)點(diǎn)為隔離體，由平衡條件求出。例如，取結(jié)點(diǎn)D為隔離體，如圖3-17(g)所示。由ΣFx=0，得

；FNDC=-17.5kNFNCD的計(jì)算是取CD桿為隔離體，如圖3-17(c)所示。沿軸線DC方向列投影方程

；

FNCD=1.41kN

同理可求出斜桿CE的桿端軸力。隔離體圖如圖3-17(g)所示。

FNCE=FNEC=-9.39kN軸力圖如圖3-17(f)所示。凡只有兩桿匯交的剛結(jié)點(diǎn)，若結(jié)點(diǎn)上無外力偶作用，則兩桿端彎矩大小相等且同側(cè)受拉（即同使剛架外側(cè)或同使剛架內(nèi)側(cè)受拉）。例3-7（講解）

p.41§3-4

少求或不求反力繪制彎矩圖1．掌握基本技巧（1）懸臂部分和簡支部分的彎矩圖可直接繪出。（2）充分利用彎矩圖的形狀特征（鉸處彎矩為零、無荷直桿段彎矩圖為直線，剪力相同區(qū)段彎矩圖斜率相同等）。（3）剛結(jié)點(diǎn)處的力矩平衡條件。（4）疊加法做彎矩圖。（5）對稱性的利用。2．由彎矩圖繪剪力圖，再由剪力圖繪軸力圖，以及求反力。3.舉例例3-8；例3-9

（講解）

p.42-44§3-5

靜定結(jié)構(gòu)的特性（1）

靜力解答的唯一性（2）

荷載以外因素的影響（3）

平衡力系的影響當(dāng)由平衡力系所組成的荷載作用于靜定結(jié)構(gòu)的某一本身為幾何不變的部分上時(shí)，則只有此部分受力，其余部分的反力和內(nèi)力均為零。（4）

荷載等效變換的影響合力相同（主矢和主矩均相等）的各種荷載稱為靜力等效的荷載。等效變換是指將一種荷載變換為另一種靜力等效的荷載。當(dāng)作用于靜定結(jié)構(gòu)的某一本身為幾何不變的部分上的荷載在該范圍內(nèi)作等效變換時(shí)，則只有此部分的內(nèi)力發(fā)生變化，其余部分的內(nèi)力保持不變。第四章

靜定拱本章內(nèi)容三鉸拱的組成特點(diǎn)及其優(yōu)缺點(diǎn)；三鉸拱的反力和內(nèi)力計(jì)算及內(nèi)力圖的繪制；三鉸拱的合理拱軸線。目的要求1.熟練掌握三鉸拱的反力和內(nèi)力計(jì)算。2.了解三鉸拱的內(nèi)力圖繪制的步驟。3.掌握三鉸拱合理拱軸線的形狀及其特征。

§4-1

概

述

1．拱的組成及受力性能

桿軸線是曲線且在豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平反力(推力)的結(jié)構(gòu)，稱為拱。拱的基本形式有三鉸拱、兩鉸拱和無鉸拱，分別如圖4-1(a)、(b)、(c)所示。前一種是靜定拱，后兩種是超靜定拱。本節(jié)僅討論靜定拱的內(nèi)力計(jì)算。

圖4-1如果桿軸線雖然是曲線，但在豎向荷載作用下不產(chǎn)生水平支座反力的結(jié)構(gòu)不是拱，而稱為曲梁。在豎向荷載作用下，是否產(chǎn)生水平推力，是拱與梁的基本區(qū)別。拱與梁相比，由于推力的存在，減小了各截面的彎矩。這就有可能使處

圖4-2圖4-3

于壓彎組合應(yīng)力狀態(tài)的拱截面，只承受壓應(yīng)力，從而可采用抗壓性能好的廉價(jià)材料，如磚、石及混凝土等來建造。但是，推力的存在又反過來作用于基礎(chǔ)，因而要求比梁具有更堅(jiān)固的地基或支承結(jié)構(gòu)。所以作屋蓋承重用的拱，一般要加拉桿，以承擔(dān)拱對墻的水平推力。如圖4-2(a)所示，稱為帶拉桿的三鉸拱。為了獲得較大的凈空，有時(shí)也將拉桿做成折線形狀，如圖4-2(b)所示。2．名詞解釋拱的各部分名稱如圖4-3所示。拱身各截面形心的聯(lián)線稱為拱軸線。拱與基礎(chǔ)聯(lián)結(jié)處稱為拱趾(或拱腳)。兩拱趾間的水平距離稱為跨度。兩拱趾的聯(lián)線稱為起拱線。拱軸上距起拱線最遠(yuǎn)的一點(diǎn)稱為拱頂。三鉸拱通常在拱頂處設(shè)有中間鉸(或稱為頂鉸)。拱頂至起拱線之間的豎直距離稱為拱高。拱高與跨度之比f/l稱為高跨比。兩拱趾在同一水平線上的叫平拱，不在同一水平線上的叫斜拱。本節(jié)只討論平拱的計(jì)算?！?-2

三鉸拱的計(jì)算

下面以豎向荷載作用下的三鉸拱為例，討論其反力及內(nèi)力的計(jì)算方法。

1.支座反力的計(jì)算三鉸拱共有四個(gè)支座反力，如圖4-4(a)所示。除了取全拱為隔離體可建立三個(gè)整體平衡方程外，還可利用中間鉸C處彎矩為零(MC=0)的條件建立一個(gè)補(bǔ)充方程，從而可求出所有支座反力。

首先考慮整體平衡

ΣMB=0,

(a)

ΣMA=0,

(b)

ΣFx=0,

FAH=FBH=FH

(c)

其次，取左半拱為隔離體，由ΣMC=0，

(d)

考察(a)、(b)兩式的右邊，恰好等于相應(yīng)簡支梁(如圖4-4(b)所示)的支座反力F0AV和F0BV，而式(d)的右邊分子等于相應(yīng)簡梁上與中間鉸C相應(yīng)的截面C的彎矩M0C。所以，(a)、(b)、(d)式又可寫為

FAV=F0AV

FBV=F0BV

(4-1)

FH=M0C/f式(4-1)表明，三鉸拱的豎向支座反力與相應(yīng)簡支梁的相同，而其推力等于相應(yīng)簡支梁截面C的彎矩M0C除以拱高f。推力FH與拱的軸線形狀無關(guān)，只與荷載及三個(gè)鉸的位置有關(guān)。當(dāng)荷載與跨度一定時(shí)，M0C為定值，推力FH與拱高f成反比。f愈小，拱愈平坦，推力FH則愈大。若f=0，則FH=∞，此時(shí)三鉸位于同一直線上，拱成為瞬變體系。

圖4-4圖4-52.內(nèi)力的計(jì)算反力求出后，可用截面法求出拱內(nèi)任一截面的內(nèi)力。任一截面K的位置可由其形心坐標(biāo)、和該處拱軸線的傾角確定，如圖4-5(a)所示。截面內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：因拱常受壓，故軸力以使拱截面受壓為正，剪力以繞隔離體有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢者為正，彎矩以使拱內(nèi)側(cè)受拉為正。截取截面K左部分為隔離體，為便于計(jì)算，沿FNK及FSK方向建立輔助坐標(biāo)系ξKη。如圖4-5(b)所示。由ΣMK=0，得

M=〔FAVx-F1(x-a1)-FHy由于FAV=F0AV，上式方括號(hào)內(nèi)的數(shù)值等于相應(yīng)簡支梁截面K的彎矩M0，故上式可寫為M=M0-FHy

(e)由ΣFξ=0，得

FS=(FAV-F1)cosφ-FHsinφ上式中(FAV-F1)等于相應(yīng)簡支梁截面K的剪力FS0，故又可寫為

FS=FS0cosφ-FHsinφ

(f)

由ΣFη=0，得

FN=FS0sinφ+FHcosφ

(g)在式(f)及(g)中，φ的符號(hào)在圖示坐標(biāo)系中左半拱取正，右半拱取負(fù)。

綜上所述，三鉸拱在豎向荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算公式為

M=M0-Hy

FS=FS0cosφ-FHsinφ

(4-2)

FN=FS0sinφ+FHcosφ

由式(4-2)可知，三鉸拱的內(nèi)力不僅與三個(gè)鉸的位置有關(guān)，而且還與拱的軸線形狀有關(guān)。例4-1試作圖4-6(a)所示三鉸拱的內(nèi)力圖。拱軸線方程為。

解：1.反力計(jì)算。

由式(4-1)可知

FAV=F0AV=(40×4+10×8×12)/16=70kN(↑)

FBV=F0BV=(10×8×4+40×12)/16=50kN(↑)

FH=M0C/f=(50×8-40×4)/4=60kN

圖4-62．

內(nèi)力計(jì)算。為繪內(nèi)力圖，將拱沿跨度方向分成8等分，分別計(jì)算出各等分點(diǎn)截面處的內(nèi)力值，現(xiàn)以距左支座x=12m的截面6為例，說明計(jì)算步驟。

(1)

截面的幾何參數(shù)。拱軸線方程：=4×4/162×(16-x)x=x(1-x/16)

tanφ=dy/dx=1-x/8故有

y6=x6(1-x6/16)=12(1-12/16)=3m

tanφ6=1-x6/8=1-12/8=-0.5,

φ6=-26°34′,

sinφ6=-0.447,

cosφ6=0.894

(2)

計(jì)算截面6的內(nèi)力。由式(4-2)，得：

M6=M06-FHy6=50×4-60×3=20kN·m

由于等分點(diǎn)6在集中力作用處，故該截面剪力、軸力均有突變，應(yīng)分別計(jì)算出左、右兩邊的剪力和軸力。

FS6L=FS06Lcosφ6-FHsinφ6=(-10)×0.894-60×(-0.447)=17.9kN

FS6R=FS06Rcosφ6-FHsinφ6=(-50)×0.894-60×(-0.447)=-17.9kN

FN6L=FS06Lsinφ6+FHcosφ6=(-10)×(-0.447)+60×0.894=58.1kNFN6R=FS06Rsinφ6+FHcosφ6=(-50)×(-0.447)+60×0.894=76.0kN

同理可計(jì)算出其他各截面的內(nèi)力，具體計(jì)算時(shí)，可列表進(jìn)行。根據(jù)表中計(jì)算出的數(shù)值，即可繪出M、FS、FN圖，分別如圖4-6(c)、(d)、(e)所示?！?-3三鉸拱的合理拱軸線1．壓力曲線

拱式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是承受較大的壓力，除此之外，各截面還有剪力和彎矩，由這三個(gè)分力可求出合力，如圖4-7(a)、(b)所示。合力與分力之間的關(guān)系為：

上式中e是由截面形心到合力R作用

圖4-7線的垂直距離，α是合力R與該截面拱軸切線之間的夾角。對于拱內(nèi)各截面來說，一般是處于偏心受壓狀態(tài)，如圖4-7(b)所示。如各截面彎矩越小，則偏心距e越小。當(dāng)M=0時(shí)，則e=0，這對截面受力而言是比較理想的。各截面合力R作用點(diǎn)的聯(lián)線就稱為該拱的壓力曲線。

2.三鉸拱的合理拱軸線如果三鉸拱的各截面上的彎矩和剪力均為零，則各截面FN的方向與拱的軸線相切，即壓力曲線與拱軸線重合。此時(shí)拱內(nèi)各截面上正應(yīng)力均勻分布，在材料使用上最為經(jīng)濟(jì)，故稱這樣的拱軸線為合理拱軸線。合理拱軸線可由拱截面上彎矩處處為零的條件確定。在豎向荷載作用下，三鉸拱任一截面的彎矩由式(4-2)中第一式計(jì)算，故合理拱軸線由M=M0-FHy=0,可得

y=M0/FH

(4-4)上式表明，在豎向荷載作用下，合理拱軸線的豎坐標(biāo)與相應(yīng)簡支梁彎矩的豎坐標(biāo)成正比。當(dāng)荷載已知時(shí)，只需求出相應(yīng)簡支梁的彎矩方程，然后除以拱的推力FH，便可得到合理拱軸線方程。例4-2試求圖4-9(a)所示對稱三鉸拱在豎向均布荷載q作用下的合理拱軸線。

解：圖4-9(b)所示相應(yīng)簡支梁的彎矩方程為

M0=qlx/2-qx2/2=qx(l-x)/2

圖4-9由式(4-1)求得水平推力為

FH=M0C/f=ql2/(8f)根據(jù)式(4-4)，得合理拱軸線方程為

y=M0/FH=4f(l-x)x/l2可見，在豎向荷載作用下，三鉸拱的合理拱軸線是二次拋物線。圖4-10所示三鉸拱受填土荷載作用，拱上分布荷載qx=qc+γy。qc為拱頂處荷載集度，γ為填土容重。應(yīng)用式(4-2)積分(分析從略)后得合理拱軸線是一條懸鏈線。方程為

圖4-11所示三鉸拱在受徑向均布荷載(如靜水壓力)作用下，根據(jù)微段的平衡條件即可推出合理拱軸線為圓弧曲線(推導(dǎo)從略)。

圖4-10

圖4-11應(yīng)該指出，當(dāng)跨度一定時(shí)，對于不同的荷載，其合理拱軸的形式也不同。在工程實(shí)際中，結(jié)構(gòu)要承受各種不同荷載的作用。根據(jù)某種荷載確定的合理拱軸線，并不能保證其他荷載作用下，拱內(nèi)各截面都處于無彎矩狀態(tài)。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中通常是以主要荷載作用下的合理拱軸作為拱的軸線。而在其他荷截作用下產(chǎn)生的彎矩，應(yīng)控制其壓力線不超過截面核心，以保證各截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力。第五章

靜定平面桁架本章內(nèi)容桁架的特點(diǎn)及分類，結(jié)點(diǎn)法、截面法及其聯(lián)合應(yīng)用，對稱性的利用，幾種梁式桁架的受力特點(diǎn)，組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算。目的要求1.了解桁架的受力特點(diǎn)及其分類。2.熟練運(yùn)用結(jié)點(diǎn)法和截面法計(jì)算桁架內(nèi)力。3.掌握組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法?！?-1

平面桁架計(jì)算簡圖

1.特點(diǎn)及組成

所有結(jié)點(diǎn)都是鉸結(jié)點(diǎn)，在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，各桿內(nèi)力中只有軸力。截面上應(yīng)力分布均勻，可以充分發(fā)揮材料的作用。因此，桁架是大跨度結(jié)構(gòu)中常用的一種結(jié)構(gòu)形式。在橋梁及房屋建筑中得到廣泛應(yīng)用。圖5-12．計(jì)算簡圖中引用的基本假定(1)

桁架中的各結(jié)點(diǎn)都是光滑的理想鉸結(jié)點(diǎn)。(2)

各桿軸線都是直線，且在同一平面內(nèi)并通過鉸的中心。(3)

荷載及支座反力都作用在結(jié)點(diǎn)上且在桁架平面內(nèi)。上述假定，保證了桁架中各結(jié)點(diǎn)均為鉸結(jié)點(diǎn)，各桿內(nèi)只有軸力，都是二力桿。符合上述假定的桁架，是理想桁架。實(shí)際桁架與上述假定是有差別的。如鋼桁架及鋼筋混凝土桁架中的結(jié)點(diǎn)都具有很大的剛性。此外，各桿軸線也不可能絕對平直，也不一定正好都過鉸中心，荷載也不完全作用在結(jié)點(diǎn)上等等。但工程實(shí)踐及實(shí)驗(yàn)表明，這些因素所產(chǎn)生的應(yīng)力是次要的，稱為次應(yīng)力。按理想桁架計(jì)算的應(yīng)力是主要的，稱為主應(yīng)力。本節(jié)只討論產(chǎn)生主應(yīng)力的內(nèi)力計(jì)算。3．名詞解釋桁架的桿件按其所在位置分為弦桿和腹桿。弦桿又分為上弦桿和下弦桿。腹桿也分為斜桿和豎桿，如圖5-3所示。兩支座之間的水平距離l稱為跨度，支座聯(lián)線至桁架最高點(diǎn)的距離H稱為桁高。弦桿上相鄰兩結(jié)點(diǎn)之間的區(qū)間稱為節(jié)間，其間距d稱為節(jié)間長度。

4．桁架的分類：

圖5-3

(1)按幾何外形分

1）平行弦桁架、2）折弦桁架、3）三角形桁架，分別如圖5-4(a)、(b)、(c)所示。

(2)按有無水平支座反力分1）

梁式桁架

如圖5-4(a)、(b)、(c)所示。2）

拱式桁架

如圖5-4(d)所示。

(3)按幾何組成分

1)簡單桁架

由一個(gè)基本鉸結(jié)三角形開始，依次增加二元體組成的桁架，如圖5-4(a)、(b)、(c)所示。

2)聯(lián)合桁架

由幾個(gè)簡單桁架按幾何不變體系的簡單組成規(guī)則而聯(lián)合組成的桁架，如圖5-4(d)、(e)所示。

3)復(fù)雜桁架

不屬前兩種方式組成的其他桁架，如圖5-4(f)所示。圖5-4§5-2

結(jié)點(diǎn)法桁架計(jì)算一般是先求支座反力后計(jì)算內(nèi)力。計(jì)算內(nèi)力時(shí)可截取桁架中的一部分為隔離體，根據(jù)隔離體的平衡條件求解各桿的軸力。如果截取的隔離體包含兩個(gè)及以上的結(jié)點(diǎn)，這種方法叫截面法。如果所取隔離體僅包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)，這種方法叫結(jié)點(diǎn)法。

當(dāng)取某一結(jié)點(diǎn)為隔離體時(shí)，由于結(jié)點(diǎn)上的外力與桿件內(nèi)力組成一平面匯交力系，則獨(dú)立的平衡方程只有兩個(gè)，即ΣFx=0，ΣFy=0?？山獬鰞蓚€(gè)未知量。因此，在一般情況下，用結(jié)點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其上的未知力數(shù)目不宜超過兩個(gè)，以避免在結(jié)點(diǎn)之間解聯(lián)立方程。結(jié)點(diǎn)法用于計(jì)算簡單桁架很方便。因?yàn)楹唵舞旒苁且来卧黾佣w組成的。每個(gè)二元體只包含兩個(gè)未知軸力的桿，完全可由平衡方程確定。計(jì)算順序按幾何組成的相反次序進(jìn)行，即從最后一個(gè)二元體開始計(jì)算。桁架桿件內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定：軸力以使截面受拉為正，受壓為負(fù)。在取隔離體時(shí)，軸力均先假設(shè)為正。即軸力方向用離開結(jié)點(diǎn)表示。計(jì)算結(jié)果為正，則為拉力；反之，則為壓力。桁架中常有一些特殊形式的結(jié)點(diǎn)，掌握這些特殊結(jié)點(diǎn)的平衡條件，可使計(jì)算大為簡化。把內(nèi)力為零的桿件稱為零桿。

(1)L型結(jié)點(diǎn)。不在一直線上的兩桿結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時(shí)，兩桿均為零桿，如圖5-5(a)所示。若其中一桿與外力F共線，則此桿內(nèi)力與外力F相等，另一桿為零桿，如圖5-5(d)所示。圖5-5

(2)T型結(jié)點(diǎn)。兩桿在同一直線上的三桿結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時(shí)，第三桿為零桿，如圖5-5(b)所示。若外力F與第三桿共線，則第三桿內(nèi)力等于外力F，如圖5-5(e)所示。

(3)X型結(jié)點(diǎn)。四桿結(jié)點(diǎn)兩兩共線，如圖5-5(c)所示，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時(shí)，則共線的兩桿內(nèi)力相等且符號(hào)相同。

(4)K型線點(diǎn)。這也是四桿結(jié)點(diǎn)，其中兩桿共線，另兩桿在該直線同側(cè)且與直線夾角相等，如圖5-5(f)所示，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時(shí)，則非共線的兩桿內(nèi)力大小相等但符號(hào)相反。

圖5-6以上結(jié)論，均可取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)由投影方程得出。應(yīng)用上述結(jié)論可判定出圖5-6(a)、(b)、(c)所示結(jié)構(gòu)中虛線各桿均為零桿。這里所講的零桿是對某種荷載而言的，當(dāng)荷載變化時(shí)，零桿也隨之變化，如圖5-6(b)、(c)所示。此處的零桿也決非多余聯(lián)系。

例5-1

用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算圖5-7(a)所示桁架各桿的內(nèi)力。

解：該桁架為簡單桁架，由于桁架及荷載都對稱，故可計(jì)算其中的一半桿件的內(nèi)力，最后由結(jié)點(diǎn)C的平衡條件進(jìn)行校核。1.

計(jì)算支座反力。

ΣFx=0,

FAx=0由對稱性可知

FAy=FBy=(2+4+2)/2=4kN(↑)2.內(nèi)力計(jì)算。(1)

取結(jié)點(diǎn)A為隔離體，如圖5-7(b)所示。

ΣFy=0,

FNAE=-4

=-5.66kN

ΣFx=0,

FNAD+FNAE×/2=0

FNAD=-(-4)×/2=4kN

圖5-7

(2)

取結(jié)點(diǎn)D為隔離體，如圖5-7(c)所示。

ΣFx=0,

FNDC=4kN；

ΣFy=0,

FNDE=2kN

(3)

取結(jié)點(diǎn)E為隔離體，如圖5-7(d)所示。

ΣFy=0,

4×/2-2-FNEC×/2=0,

FNEC=2

=2.83kN

ΣFx=0,

FNEG+FNEC×/2+4×/2=0,

FNEG=-2×/2-4=-6kN

(4)

由對稱性可知另一半桁架桿件的內(nèi)力。

(5)

校核。

取結(jié)點(diǎn)C為隔離體，如圖5-7(e)所示。

ΣFx=4+2×/2-2×/2-4=0

ΣFy=2×/2+2-4=0C結(jié)點(diǎn)平衡條件滿足，故知內(nèi)力計(jì)算無誤?！?-3截面法用截面法計(jì)算內(nèi)力時(shí)，由于隔離體上所作用的力為平面一般力系，故可建立三個(gè)平衡方程。若隔離體上的未知力數(shù)目不超過三個(gè)，則可將它們?nèi)壳蟪觯駝t需利用解聯(lián)立方程的方法才能求出所有未知力。為此，可適當(dāng)選取矩心及投影軸，利用力矩法和投影法，盡可能使建立的平衡方程只包含一個(gè)未知力，以避免解聯(lián)立方程。

例5-2

用截面法計(jì)算圖5-8(a)所示桁架中a、b、c、d各桿的內(nèi)力。解：1.求支座反力。

由對稱性可知：FA=FB=(10+20×5+10)/2=60kN(↑)

2.計(jì)算各桿內(nèi)力。(1)

作截面Ⅰ-Ⅰ，如圖5-8(a)所示，取左部分為隔離體，如圖5-8(b)所示。為求a桿內(nèi)力，可以b、c兩桿的交點(diǎn)E為矩心，由方程ΣME=0，得

60×3-10×3-FNa×3=0，

FNa=50kN

(2)求上弦桿c的內(nèi)力時(shí)，以a、b兩桿的交點(diǎn)D為矩心，

圖5-8此時(shí)要計(jì)算FNc的力臂不太方便，為此將FNc分解為水平和豎直方向的兩個(gè)分力。則各分力的力臂均為已知。由ΣMD=0，得

(FNc×1/)×3+(FNc×3/)×3+60×6-10×6-20×3=0

FNc=-20

=-63.2kN

(3)求b桿內(nèi)力時(shí)，應(yīng)以a、c兩桿的交點(diǎn)O為矩心，為此，應(yīng)求出OA之間的距離，設(shè)為x，由比例關(guān)系：

可得，

x=6m

同樣，將FNb在E點(diǎn)分解為水平和豎直方向的兩個(gè)分力，由ΣMO=0，得

(FNb×/2)×9+(FNb×/2)×3+10×6+20×9-60×6=0

FNb=10

=14.1kN

(4)

為求FNd，作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分為隔離體，如圖5-8(a)、(c)所示。因被截?cái)嗟牧韮蓷U平行，故采用投影方程計(jì)算。由ΣFy=0，得

FNd×4/5+60-10-20-20=0

FNd=-10×5/4=-12.5kN如前所述，用截面法求桁架內(nèi)力時(shí)，應(yīng)盡量使截?cái)嗟臈U件不超過三根，這樣所截桿件的內(nèi)力均可利用同一隔離體求出。特殊情況下，所作截面雖然截?cái)嗔巳陨系臈U件，但只要在被截各桿中，除一根外，其余各桿匯交于同一點(diǎn)或互相平行，則該桿的內(nèi)力仍可首先求出。例如圖5-9(a)所示桁架中，作截面Ⅰ-Ⅰ，由ΣMC=0，可求出a桿內(nèi)力。又如圖5-9(b)所示桁架中，作截面Ⅱ-Ⅱ，由ΣX=0，可求出b桿內(nèi)力。圖5-10所示的工程上多采用的聯(lián)合桁架，一般宜用截面法將聯(lián)合桿DE的內(nèi)力求出。即作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分或右部分為隔離體，由ΣMC=0求出FNDE。這樣左、右兩個(gè)簡單桁架就可用結(jié)點(diǎn)法來計(jì)算。

圖5-9

圖5-10§5-4截面法和結(jié)點(diǎn)法的聯(lián)合應(yīng)用

結(jié)點(diǎn)法和截面法是計(jì)算桁架內(nèi)力的兩種基本方法。兩種方法各有所長，應(yīng)根據(jù)具體情況靈活選用。

例5-3

試求圖5-11所示桁架中a、b及c桿的內(nèi)力。解：從幾何組成看，桁架中的AGB為基本部分，EHC為附屬部分。

(1)

作截面Ⅰ-Ⅰ，取右部分為隔離體，由ΣMC=0，得

FNa×d+F×d=0