第二節(jié)常用邏輯用語答案

第二節(jié)常用邏輯用語課程目標課程目標1.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充要條件、充分條件、必要條件的關(guān)系.2.通過已知的數(shù)學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.基礎知識基礎知識1.充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題“若p，則q”和“若q，則p”都是真命題推出關(guān)系p?qpqp?q條件關(guān)系p是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件p是q的充分必要條件，簡稱充要條件提醒（1）A是B的充分不必要條件?A?B且BA；（2）A的充分不必要條件是B?B?A且AB.2.全稱量詞和存在量詞類別全稱量詞存在量詞量詞所有的、任意一個存在一個、至少有一個符號??命題含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題類別全稱量詞存在量詞命題形式“對M中任意一個x，p（x）成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p（x）”“存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p（x）”3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡記?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）否定?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）提醒對沒有量詞的命題否定時，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞.基礎知識基礎知識1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.（√）（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.（√）（3）“至少有一個三角形的內(nèi)角和為π”是全稱量詞命題.（×）（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.（√）2.已知命題p：?x∈R，x＞sinx，則p的否定為（）A.?x∈R，x＜sinx B.?x∈R，x≤sinxC.?x∈R，x≤sinx D.?x∈R，x＜sinx解析：C對全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結(jié)論，p：?x∈R，x＞sinx，則p的否定為：?x∈R，x≤sinx.故選C.3.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論正確的是().A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要條件B.設M?N,則“x?M”是“x?N”的必要不充分條件C.“a,b都是偶數(shù)”是“a+b是偶數(shù)”的充分不必要條件D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要條件解析對于選項A,x2>1?/x>1,x>1?x2>1,所以“x2>1”是“x>1”的必要不充分條件,故A錯誤;對于選項B,由M?N得?RN??RM,則x?N?x?M,x?M?/x?N,所以“x?M”是“x?N”的必要不充分條件,故B正確;對于選項C,由“a,b都是偶數(shù)”可以得到“a+b是偶數(shù)”,但是當a+b是偶數(shù)時,a,b可能都是奇數(shù),所以“a,b都是偶數(shù)”是“a+b是偶數(shù)”的充分不必要條件,故C正確;對于選項D,“a>1且b>1”?“a+b>2且ab>1”,而由“a+b>2且ab>1”?/“a>1且b>1”,比如a=3,b=12,所以“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要條件,故D錯誤4.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.故命題的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要條件，則m的取值范圍是（2，＋∞）.解析：因為“x＞m”是“x＞2”的充分不必要條件，所以（m，＋∞）是（2，＋∞）的真子集，由圖可知m＞2.常用結(jié)論1.充分（必要、充要）條件與集合間的包含關(guān)系設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若A?B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；（3）若A＝B，則p是q的充要條件.2.命題p和p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.結(jié)論運用1.(多選)下列說法正確的是()A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要條件B．“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”是“a<b”的既不充分也不必要條件C．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A?BD．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要條件解析：c＝0時，由ac＝bc不能得出a＝b，A錯；eq\f(1,a)>eq\f(1,b)與a<b相互不能推導，如a＝2，b＝－1時，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，但不滿足a<b，反之，若a＝－1，b＝2，滿足a<b，但不滿足eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”是“a<b”的既不充分也不必要條件，B正確；由充分必要條件與集合之間的包含關(guān)系可知，C正確；a>b>0能得出an>bn，當a＝－4，b＝－2時，a2>b2，但a<b，D錯．故選B.C2.若“?x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（－∞，－8]∪[0，＋∞）.解析：由結(jié)論2得?x∈R，x2－ax－2a≤0為真命題，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.聚焦考點課堂演練聚焦考點課堂演練考點1全稱量詞命題和存在量詞命題考點1全稱量詞命題和存在量詞命題考向1含量詞命題的否定及真假判定【例1】（1）已知命題p：?x∈R，x＝－1或x＝2，則（）A.p：?x∈R，x＝－1且x＝2B.p：?x∈R，x≠－1且x≠2C.p：?x?R，x≠－1或x≠2D.p：?x?R，x＝－1或x＝2（2）(多選)下列命題中是存在量詞命題且為真命題的有().A.中國所有的江河都流入太平洋B.有的四邊形既是矩形,又是菱形C.存在x∈R,使得x2+x+1=0D.有的數(shù)比它的倒數(shù)小答案：（1）B（2）BD解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命題p的否定是“?x∈R，x≠－1且x≠2”.(2)對于A,中國所有的江河都流入太平洋是全稱量詞命題,故A錯誤;對于B,有的四邊形既是矩形,又是菱形是存在量詞命題且為真命題,比如正方形,故B正確;對于C,存在x∈R,有x2+x+1=0是存在量詞命題且為假命題,因為x2+x+1=x+122+34>0恒成立,故C錯誤;對于D,有的數(shù)比它的倒數(shù)小是存在量詞命題且為真命題,比如1方法技巧1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進行否定的方法（1）改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；（2）否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法（1）全稱量詞命題：①要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p（x）成立；②要判斷一個全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.（2）存在量詞命題：要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p（x0）成立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.考向2含量詞的命題的應用【例2】已知命題“?x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（－14，0） B.（0，1C.（14，＋∞） D.（1，＋解析：C因為命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“?x∈R，ax2－x＋1＞0”是真命題，當a＝0時，得x＜1，不符合題意；當a≠0時，得a>0，Δ=1－4a<0方法技巧由命題的真假求參數(shù)的方法（1）全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；（2）存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；（3）全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.跟蹤訓練1.(多選）若“x<k或x>k+3”是“4<x<1”的必要不充分條件,則實數(shù)k的值可以是().A.8 B.5 C.1 D.4解析若“x<k或x>k+3”是“4<x<1”的必要不充分條件,則{x|x<k或x>k+3}?{x|4<x<1},所以k≥1或k+3≤4,解得k≤7或k≥1.結(jié)合選項知,實數(shù)k的值可以為8,1,4.2.若命題“?x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（）A.－1 B.1C.0 D.2解析：A由題意，?x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因為函數(shù)h（x）＝x2－2x在（－1，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是－1.考點2充要條件、必要條件的判定考點2充要條件、必要條件的判定【例3】（1）設x∈R，則“｜x－1｜＜1”是“x2－5x＜0”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件（2）（多選)對任意實數(shù)a,b,c,下列命題為真命題的是().A.“a<5”是“a<3”的必要條件B.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件C.“a=b”是“ac=bc”的充要條件D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要條件答案：（1）B（2）ABD解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，則集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分條件，故選B.（2）)對于A,因為a<5表示的范圍包含a<3表示的范圍,所以“a<5”是“a<3”的必要條件,故A正確.對于B,a+5是無理數(shù),則a是無理數(shù),反之也成立,所以“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件,故B正確.對于C,若a=b,則ac=bc,正確;取c=0,a=1,b=2,則ac=bc=0,但是a≠b,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件,故C錯誤.對于D,若a≥2且b≥2,由不等式的性質(zhì)可知a2≥4,b2≥4,則a2+b2≥8≥4成立;取a=2,b=1,a2+b2=5≥4成立,顯然a≥2不成立,b≥2也不成立,所以“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要條件,故D正確.方法技巧充分條件、必要條件的兩種判定方法（1）定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；（2）集合法：根據(jù)p，q對應的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.跟蹤訓練1.已知a，b都是實數(shù)，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”是“a＞2”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析：B方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓?方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圓?a＋1＞0?a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”的充分不必要條件.2.(多選)若p:x2+x6=0是q:ax+1=0的必要不充分條件,則實數(shù)a的值為().A.2 B.12 C.13 解析：由x2+x6=0,可得x=2或x=3.對于方程ax+1=0,當a=0時,方程ax+1=0無解;當a≠0時,解方程ax+1=0,可得x=1a.由題意知p?/q,q?p,則可得a≠0,此時應有1a=2或1a=3,解得a=12或a=13.綜上可得,a=12考點3充分、必要條件的探究與應用考點3充分、必要條件的探究與應用【例4】已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為[0，3].解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P，∴1－m≥－2，1+m≤10，1－m≤1+m，解得0≤m≤3，故0≤m≤3變式本例中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤皒∈P是x∈S的充分不必要條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍.解：由例題知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要條件，∴P?S.∴[－2，10]?[1－m，1＋m].∴1－m≤－2，1+m>10或1－m＜－2，1+m≥10，∴m≥9方法技巧應用充分、必要