第13章立體幾何初步過關(guān)練習(xí)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)

第13章立體幾何初步過關(guān)練習(xí)20232024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下學(xué)期蘇教版（2019）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在正方體中，二面角的大小是（

）A． B． C． D．2．設(shè)α是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．在正方體中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是（）．A．截面與截面 B．截面與截面C．截面與截面 D．截面與截面4．已知棱長為1的正方體分別是AB和BC的中點，則MN到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（

）A． B．1 C．8 D．6．如圖，在四面體中作截面，若，的延長線交于點，，的延長線交于點，，的延長線交于點則下列四個選項中正確的個數(shù)是（

）（1），，三點共線；（2），，，四點共面；（3）.A． B． C． D．7．故宮角樓的屋頂是我國十字脊頂?shù)牡湫痛恚鐖D1，它是由兩個完全相同的直三棱柱垂直交叉構(gòu)成，將其抽象成幾何體如圖2所示.已知三樓柱和是兩個完全相同的直三棱柱，側(cè)棱與互相垂直平分，交于點I，，，則點到平面的距離是（

）

A． B． C． D．8．某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的.如圖所示，已知正方體邊長為6，則該石凳的體積為（

）A．180 B．36 C．72 D．216二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知直線，，平面，，則下列說法錯誤的是（）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，，，則10．如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，D'是中B'C'邊上的一點，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'軸，那么原的AB、AD、AC三條線段中（）

A．最長的是AB B．最長的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD11．正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是（）A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐側(cè)面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．定義兩個相交平面夾角為兩個平面所組成的四個二面角的最小值．已知平面與所成的角為，為外一定點，過點的一條直線與所成的角都是，則這樣的直線有.13．已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一個球面上，若該球的體積為，則該正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的正弦值為.14．已知正四面體的棱長為2，為的中點，為中點，是棱上的動點，是平面內(nèi)的動點，則當(dāng)取得最小值時，線段的長度等于．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖所示，是四邊形所在平面外的一點，G為邊中點，四邊形是且邊長為的菱形．為正三角形，且平面⊥平面.求證：(1)⊥平面；(2).16．如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側(cè)棱的中點.

(1)求證：平面；(2)若為側(cè)棱的中點，求證：平面；(3)設(shè)平面平面，求證：.17．如圖所示，底面邊長為的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為，高為4的正四棱錐.(1)求棱臺的體積；(2)求棱臺的表面積.18．在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，分別為線段的中點.

(1)證明：；(2)證明：平面//平面；(3)若，當(dāng)與平面所成角的正弦值最大時，求四棱錐的體積．19．如圖，四棱錐為正四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，四棱錐的高為1，點E在棱AB上，且．(1)若點F在棱PC上，是否存在實數(shù)滿足，使得平面PDE？若存在，請求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．(2)在第（1）問的條件下，當(dāng)平面PDE時，求三棱錐的體積．參考答案：1．B【分析】作出圖形，根據(jù)二面角的定義，結(jié)合正方體的線面關(guān)系判斷出待求二面角的平面角即可求解.【詳解】如圖，由正方體的性質(zhì)易知平面，平面，平面，則，而平面平面，則為二面角的平面角，又因為四邊形為正方形，所以，即二面角的大小是.故選：B.2．B【分析】選項A和D，通過舉出例子判斷正誤；選項B，由線面垂直的判定定理得結(jié)果正確；選項C，利用線面垂直的性質(zhì)，可得，從而判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】對于選項A，如圖1，當(dāng)，滿足時，與可以斜交，故選項A錯誤，對于選項B，因為，所以，因為，則由線面垂直的判定定理得，故選項B正確，對于選項C，因為，所以，因為，所以，故選項C錯誤，對于選項D，若，則與可以相交、平行或異面，如圖2，滿足，而與異面，故選項D錯誤，故選：B.3．B【分析】根據(jù)面面平行的判定并結(jié)合圖形判斷各選項．【詳解】如圖，選項A、B、C、D分別對應(yīng)圖1、圖2、圖3、圖4．對于A，與相交，截面與相交，A不是；對于B，截面與平行．由，得四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面，同理可證平面，，平面，所以平面平面，B是；對于C，截面與有公共點D，截面與相交，C不是；對于D，與相交，截面與相交，D不是.故選：B4．C【分析】延長交延長線于點，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；【詳解】延長交延長線于點，連接，，因為分別是AB和BC的中點，則，由正方體的性質(zhì)可得，所以，又平面，平面，所以平面，所以MN到平面的距離即點到平面的距離，設(shè)為，則，因為正方體的棱長為1，所以，，，所以，即，故選：C.5．B【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖還原，平面圖是一個直角三角形，從而可求出其面積.【詳解】由直觀圖還原平面圖形可知，在中，，，,所以故選：B．6．B【分析】證明，，三點都在平面與平面的交線上，可判斷（1）；由平面，可判斷（2）；由，可判斷（3）.【詳解】因為，直線平面，，直線平面，所以是平面與平面的一個公共點，所以在平面與平面的交線上，同理可證，也在平面與平面的交線上，所以三點共線，所以（1）正確；平面，所以（2）錯誤；由于，所以（3）錯誤.故選：B.7．B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間總直線與平面的位置關(guān)系，先確定點到平面的垂線段，在根據(jù)已知條件得，解方程求出即可.【詳解】取中點，連接，過作的垂線交的延長線于點，

取中點，連接，由已知，、分別為、中點，因為是直三棱柱，所以，且，所以其，所以四邊形為平行四邊形，又，所以為矩形，所以，又，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因為，平面，平面，，所以平面，所以點到平面的距離等于線段的長度，設(shè)為；，在中，，所以，設(shè)角，則有，因為四邊形為平行四邊形，所以，又因為因為是直三棱柱，所以，且，所以，，又因為平面，平面，所以，所以，即，解得，所以點到平面的距離是，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)空間中點、線、面的位置關(guān)系，確定點到平面的垂線段.8．A【分析】利用多面體的體積公式計算即可.【詳解】根據(jù)題意可知該石凳的體積為.故選：A9．ABC【分析】結(jié)合空間中點、線、面的位置關(guān)系與面面平行的判定定理逐項判斷即可得.【詳解】選項A中，若，，則可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯誤；選項B中，若，，，，則與也可能相交，故B錯誤；選項C中，若，，，則與也可能相交，故C錯誤；選項D中，若，，，，，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確．故選：ABC．10．AD【分析】根據(jù)題意，作出原的平面圖，結(jié)合勾股定理分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，原的平面圖如圖，其中，，，則有，故的AB、AD、AC三條線段中最長的是AB，最短的是AD；故選：AD

11．AB【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD的正誤.【詳解】設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點，連接，則為正三棱錐的高，為斜高，又，，，，故，故AB正確.而正三棱錐的體積為，側(cè)面積，故CD錯誤.故選：AB.

12．4【分析】過點作平面垂直于平面的交線，并且交直線于點，連接，則，過點在平面內(nèi)作的平分線，以為軸在的角平分面內(nèi)轉(zhuǎn)動，根據(jù)題意可得出有兩條直線滿足題意；以為軸在平面內(nèi)前后轉(zhuǎn)動，根據(jù)題意可得出有兩條直線滿足題意，綜合可得結(jié)果.【詳解】解：首先給出下面兩個結(jié)論：①兩條平行線與同一個平面所成的角相等；②與二面角的兩個面成等角的直線在二面角的平分面內(nèi)或平行于角平分面.（1）如圖1，過二面角內(nèi)任一點作棱的垂面，交棱于點，與兩半平面交于，因為平面，平面，所以，則為二面角的平面角，則，設(shè)為的平分線，則，與平面所成的角都是，此時過點且與平行的直線符合要求，當(dāng)以為定點，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動時，與兩平面的夾角會變小，會對稱地出現(xiàn)兩條符合成的情形；此時過點且與平行的直線符合條件，有2條，

（2）如圖2，設(shè)為的補角的平分線，

則，與平面所成的角都是，當(dāng)以為定點，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動時，與兩平面夾角變小，對稱地在圖2中的兩側(cè)會出現(xiàn)的情形，有兩條，此時，過點且與平行的直線符合要求，有兩條.綜上所述，符合條件的直線有4條.故答案為：4.13．【分析】根據(jù)已知條件求得正四棱錐的底面邊長和高，結(jié)合線面角的知識求得正確答案.【詳解】如圖所示正四棱錐，，則平面.設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，則R=2，設(shè)正四棱錐底面邊長為，高為，則①，由整理得②，由①②解得，由于平面，所以正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，.故答案為：14．【分析】取中點，先由平面，得在線段上，再把沿翻折到平面上，得到取得最小值時，由此求出結(jié)果.【詳解】取中點，連接，

由正四面體性質(zhì)可得，，因為，所以平面因為，所以平面，當(dāng)取得最小值時，平面，所以在線段上，由平面，得，，，所以，將沿翻折到平面上，如圖

由題意知，，，則，所以當(dāng)取得最小值時，即，所以故答案為：15．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）由線面垂直判定定理和性質(zhì)定理證明即可.【詳解】（1）如圖，連接，∵四邊形是菱形且，∴△是正三角形，∵G為的中點，∴.又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，∴平面.（2）由（1）可知，∵△為正三角形，為的中點，∴，又平面，∴平面，又平面，∴.16．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)，再證明即可；（2）根據(jù)線面平行與面面平行的判定證明平面平面即可；（3）根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)證明即可.【詳解】（1）設(shè)，連接，因為是平行四邊形，故，又為側(cè)棱的中點，故.又平面，平面，故平面.（2）若為側(cè)棱的中點，，則，又平面，平面，故平面.又，平面，平面，故平面.又，平面，故平面平面.又平面，故平面.（3）因為，平面，平面，故平面.又平面平面，平面，故

17．(1)(2)【分析】（1）借助正四棱錐于棱臺的性質(zhì)可得棱臺的高，結(jié)合棱臺體積公式計算即可得；（2）求出棱臺各個面的面積后相加即可得.【詳解】（1）過點作底面于點，交平面于點，由正四棱錐及棱臺的性質(zhì)可知，為底面的中心，則，即棱臺的高，，（2）連接，則，則，作于點，則，故.18．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，設(shè)，連接，通過證明以及得到為等腰三角形，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）結(jié)交于，連結(jié)，通過證明平面以及平面可得面面平行；（3）利用體積法求點到平面的距離，設(shè)與平面所成的角為，表示出，求其最值，進(jìn)而可得體積.【詳解】（1）如圖，連接，設(shè)，連接.

因為，平面，平面，故，而，，平面，故平面，而平面，故，由四邊形為平行四邊形可得，故為等腰三角形，即；（2）延長交于，連結(jié)，由中位線性質(zhì)可得，且，所以，因為平面平面，所以平面，可得為中點，所以，因為平面平面，所以平面，因為平面平面，所以平面//平面；.

（3）設(shè)，，由（1）可得平面，而平面，故，故四邊形為菱形，而，故.因為平面，平面，故，故，同理.而，故.設(shè)為點到平面的距離，與平面所成的角為，故.又，而，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故此時.【點睛】方法點睛：線面角可以通過體積法求出點到面的距離后，利用（為斜線段的長度）來表示，可以避免建系產(chǎn)生的復(fù)雜計算.19．(1)存在；(2)【分析】（1）先由線面平行的判定定理證明平面PDE，得到