人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重難考點(diǎn)專題05最短路徑問題(將軍飲馬)(知識串講+4大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題05最短路徑問題（將軍飲馬）考點(diǎn)類型知識串講（一）將軍飲馬模型①兩定一動②一定兩動③兩定兩動考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：兩定一動典例1：（2022秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P為AC邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則A．154 B．245 C．5 【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點(diǎn)，E是AC邊上動點(diǎn)，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【變式2】（2022秋·全國·八年級期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，P是GH上的動點(diǎn)，連接AP，BP，則AP+BP的值最小時，BP與HG的夾角（銳角）度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式3】（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線a是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)計劃在直線a上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)2：一定兩動典例2：（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南育英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分別找到一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長最小，則∠AMN+

A．100° B．110° C．120° D．130°【變式1】（2019秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級校考期中）如圖，OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E，再爬到OB邊上任意一點(diǎn)FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【變式2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，若∠AOB=44°，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【變式3】（2022秋·重慶·八年級重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點(diǎn)O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.5考點(diǎn)3：兩定兩動典例3：（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，則四邊形BEFG周長的最小值為______．【變式1】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點(diǎn)時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．考點(diǎn)4：造橋選址典例4：（2023秋·七年級單元測試）如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知村莊A和B分別在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN(假定河的兩岸彼此平行，且橋與河岸互相垂直)，下列示意圖中，橋的建造位置能使從村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短的是(

)A． B．C． D．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條橋梁連接P，Q兩鎮(zhèn)，已知相同長度造橋總價遠(yuǎn)大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應(yīng)該選擇方案（

）A．B．C．D．同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D分別在AB、AC的延長線上，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE=BC，PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥DA交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正確的結(jié)論有（A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動點(diǎn)，若三角形CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（

）A．78 B．39 C．42 D．303．（2023秋·廣東江門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．4.84．（2022秋·八年級單元測試）如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點(diǎn)O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.55．（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期中）如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．二、填空題6．（2020秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,AB⊥AC,EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△ABP周長的最小值是________．7．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝_______°．8．（2023秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB=22°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OA，OB上的動點(diǎn)，記∠MQP=α，∠OPN=β，當(dāng)MQ+QP+PN最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．三、解答題9．（2023秋·吉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平面上有五個點(diǎn)A，B，C，D，E．按下列要求畫出圖形．（1）連接BD；（2）畫直線AC交線段BD于點(diǎn)M；（3）請在直線AC上確定一點(diǎn)N，使B，E兩點(diǎn)到點(diǎn)N的距離之和最?。?0．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）請畫出ΔABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的ΔA（2）在x軸上求作一點(diǎn)P，使ΔPAB的周長最小，請畫出ΔPAB，并直接寫出P的坐標(biāo)．11．（2022秋·北京·八年級北京市第一六六中學(xué)校考期中）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的位置如圖所示．(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'（其中A'，B'，(2)直接寫出A'，B'，C'三點(diǎn)的坐標(biāo)：A'（

），B'（

(3)在x軸上找出點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短（保留作圖痕跡）(4)點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點(diǎn)有__________個．

專題05最短路徑問題（將軍飲馬）考點(diǎn)類型知識串講（一）將軍飲馬模型①兩定一動②一定兩動③兩定兩動考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：兩定一動典例1：（2022秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P為AC邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則A．154 B．245 C．5 【答案】B【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，過點(diǎn)B'作B'D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，此時PB+PD有最小值，連接AB'，根據(jù)對稱性的性質(zhì)，可知：BP=B【詳解】解：如下圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，過點(diǎn)B'作B'D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，連接AB根據(jù)對稱性的性質(zhì)，可知：BP=B在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，∴AB=A根據(jù)對稱性的性質(zhì)，可知：△ABC?△AB∴S即12∴5B∴B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點(diǎn)，E是AC邊上動點(diǎn)，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【答案】C【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接CF，根據(jù)垂線段最短可知此時EF+CF取得最小值，再利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接CF，根據(jù)垂線段最短可知此時EF+CF取得最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴AE＝EC，AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ECF＝30°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題——垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短找到點(diǎn)E、F是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·全國·八年級期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，P是GH上的動點(diǎn)，連接AP，BP，則AP+BP的值最小時，BP與HG的夾角（銳角）度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】連接PF，BF，BF交GH于點(diǎn)P'，連接AP'，首先證明當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時，【詳解】解：如圖，連接PF，BF，BF交GH于點(diǎn)P'，連接AP'．∵正六邊形ABCDEF中，G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，∴GH所在直線是正六邊形的對稱軸，∴PA=PF，∴PA+PB=PB+PF，∵PB+PF?BF，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時，PA+PB的值最小，∵∠BAF=120°，AB=AF，∴∠ABF=∠AFB=30°，∵∠FGP'=90°，∴∠FP'G=60°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與軸對稱的最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用三角形的性質(zhì)以及三邊關(guān)系解決最短問題，屬于中考常考題型．【變式3】（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線a是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)計劃在直線a上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）B．C．D．【答案】C【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)M'，連接M'N交直線a根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)C修建的管道，則所需管道最短．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題．這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．考點(diǎn)2：一定兩動典例2：（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南育英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分別找到一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長最小，則∠AMN+

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A'，A''，即可得出∠A【詳解】解：作A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A'，A''，連接A'，A''，交BC于M，交ED于N，則A'，A''即為

∵∠BAE=120°，∴∠HAA∴∠A∵∠A'=∠MA且∠A'+∠MA∴∠A故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式1】（2019秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級校考期中）如圖，OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E，再爬到OB邊上任意一點(diǎn)FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【答案】B【分析】由題意可知CD與OA的交點(diǎn)為E，與OB的交點(diǎn)為F，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)計算即可；【詳解】由題意可知CD與OA的交點(diǎn)為E，與OB的交點(diǎn)為F．∵OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線，∴ME=CE,MF=DF，∴小螞蟻爬行的最短路徑為ME+EF+FM=CE+EF+FD=CD=10cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線問題和垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，若∠AOB=44°，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【答案】D【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周長的最小值為P1P【詳解】解：如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2交OA于M∴OP1=OP=OP2根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得MP=P1M∴△PMN的周長的最小值為P1由軸對稱的性質(zhì)可得∠P∴等腰△OP∠OP∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠O=∠OP=180°?2∠AOB，=92°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·重慶·八年級重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點(diǎn)O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.5【答案】A【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對稱點(diǎn)P'和P″，連接OP'、OP″、P'P″，則P'P″與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)N'，P'P″與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)M'，連接PN'、PM'【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對稱點(diǎn)P'和P″，連接OP'、OP″、P'P″，則P'P″與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)N'，P'P″與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)M'，連接PN'、由對稱性可知OP＝OP'＝OP∵∠AOB＝60°，∴∠P'O∴∠OP'P''＝∠∵OP＝2，OC⊥P'∴OC＝12OP故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：兩定兩動典例3：（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，則四邊形BEFG周長的最小值為______．【答案】24【分析】作點(diǎn)G關(guān)于CD的對稱點(diǎn)G'，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B'，連接B'G'、B'E、FG'，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得BE=B'E，F(xiàn)G=FG'，再由【詳解】解：如圖，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對稱點(diǎn)G'，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B'，連接B'G'∵BE=B'E∴BE+EF+FG+BG=B∵B'E+EF+F∴當(dāng)B'E+EF+FG'=∵BG=CG=CG'=∴BB'=AB+A∴B'∴BG+B∴四邊形BEFG的周長的最小值為24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點(diǎn)時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．【答案】(1)見解析(2)4(3)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對稱點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如圖③，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對稱點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四邊形PQNM的面積=12×PF×PH-12×PF×TM-12×QH×CN=12×8×8-【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點(diǎn)P和點(diǎn)Q位置是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：造橋選址典例4：（2023秋·七年級單元測試）如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，使EFP'P為平行四邊形即可，即P【詳解】解：作PP'垂直于河岸l2連接QP'，與另一條河岸相交于F，作FE⊥l則EF∥PP'且∴四邊形EFP∴P'根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，QP'最短，即∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對稱-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知村莊A和B分別在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN(假定河的兩岸彼此平行，且橋與河岸互相垂直)，下列示意圖中，橋的建造位置能使從村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖作AI∥MN，且AI=MN，連接BI，由兩點(diǎn)之間線段最短可知此時從A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短，所以AM∥BN.【詳解】解：如圖，作AI∥MN，且AI=MN，連接BI，∴四邊形AMNI為平行四邊形，∴AM∥BN，此時從A點(diǎn)到B點(diǎn)距離最短.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑的問題，運(yùn)用到了兩點(diǎn)之間線段最短，平行四邊形等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn).【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條橋梁連接P，Q兩鎮(zhèn)，已知相同長度造橋總價遠(yuǎn)大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應(yīng)該選擇方案（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，易證得此時PM+NQ最短.【詳解】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問題，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn).同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D分別在AB、AC的延長線上，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE=BC，PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥DA交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正確的結(jié)論有（A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷；③根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP=∠BAP，∵PG∥∴∠APG=∠CAP，∴∠APG=∠BAP，∴GA=GP，故①正確；②如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BE于M，PN⊥AD于N，PQ⊥BC于Q，∵∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，∴PM=PN，∴PN=PQ，∴點(diǎn)P也位于∠BCD的平分線上，∴∠DCP=∠BCP，故②正確；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三線合一），故③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動點(diǎn)，若三角形CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（

）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，可得AD⊥BC，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖：連接AD，交EF于點(diǎn)M，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，CD=1∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，AM=CM，∴此時△CDM∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13?CD=13?3=10，∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東江門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．4.8【答案】D【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到ME=MN，進(jìn)而得到CM+MN=CM+ME=CE，利用面積法求出CE=4.8，由此得到CM+MN的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，∵BD平分∠ABC，∴ME=MN，∴CM+MN=CM+ME=CE，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，CE⊥AB，∵S△ABC∴10CE=6×8，∴CE=4.8，即CM+MN的最小值是4.8故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，還考查了最短路線問題，解題的關(guān)鍵是找到使CM+MN最小時的動點(diǎn)N和M．4．（2022秋·八年級單元測試）如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點(diǎn)O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.5【答案】A【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對稱點(diǎn)P'和P″，連接OP'、OP″、P'P″，則P'P″與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)N'，P'P″與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)M'，連接PN'、PM'【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對稱點(diǎn)P'和P″，連接OP'、OP″、P'P″，則P'P″與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)N'，P'P″與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)M'，連接PN'、由對稱性可知OP＝OP'＝OP∵∠AOB＝60°，∴∠P'O∴∠OP'P''＝∠∵OP＝2，OC⊥P'∴OC＝12OP故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期中）如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．【詳解】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點(diǎn)之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短的運(yùn)用，實(shí)際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．二、填空題6．（2020秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,AB⊥AC,EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△ABP周長的最小值是________．【答案】7【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴B，C關(guān)于直線EF對稱．設(shè)AC交EF于點(diǎn)D，∴當(dāng)P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，∴△ABP周長的最小值是4+3=7．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出P的位置．7．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝_______°．【答案】105°【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時，BF＋CE的值最小，求出此時∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°?60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時，BF＋CE的值最小，此時∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案為105°.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF＋CE取得最小值時確定點(diǎn)F的位置，有難度．8．（2023秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB=22°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OA，OB上的動點(diǎn)，記∠MQP=α，∠OPN=β，當(dāng)MQ+QP+PN最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．【答案】β?α=44°【分析】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于P，交OB于Q，則MQ+QP+PN【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于P，交OB∴∠OQM=∠OQM'=∠NQP∴∠PQN=1∴β?α=44°，故答案為：β?α=44°．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱—最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．三、解答題9．（2023秋·吉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平面上有五個點(diǎn)A，B，C，D，E．按下列要求畫出圖形．（1）連接BD；（2）畫直線AC交線段BD于點(diǎn)M；（3）請在直線AC上確定一點(diǎn)N，使B，E兩點(diǎn)到點(diǎn)N的距離之和最小．【答案】