2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式及其應(yīng)用（十八大題型）（講義）（解析版）

第04講基本不等式及其應(yīng)用

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：基本不等式...........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................4

題型一：基本不等式及其應(yīng)用....................................................................5

題型二：直接法求最值..........................................................................8

題型三：常規(guī)湊配法求最值......................................................................9

題型四：化為單變量法..........................................................................11

題型五：雙換元求最值.........................................................................12

題型六：“1”的代換求最值......................................................................15

題型七：齊次化求最值.........................................................................17

題型八：利用基本不等式證明不等式.............................................................19

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題...........................................................22

題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問(wèn)題的最值....................................................25

題型十一：三角換元法.........................................................................28

題型十二：多次運(yùn)用基本不等式.................................................................32

題型十三：待定系數(shù)法.........................................................................34

題型十四：多元均值不等式.....................................................................36

題型十五：萬(wàn)能K法...........................................................................37

題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問(wèn)題...................................................41

題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題.................................................42

題型十八：整體配湊法.........................................................................44

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................47

05課本典例?高考素材...........................................................49

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................51

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視基本不等式應(yīng)用條件...............................................................51

答題模板：利用基本不等式求最值（和定或積定）.................................................51

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)了解基本不等式的

推導(dǎo)過(guò)程.高考對(duì)基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)

2022年H卷第12題，5分

(2)會(huì)用基本不等式解容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利

2021年乙卷第8題，5分

決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的

2020年天津卷第14題，5分

(3)理解基本不等式在問(wèn)題.

實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、掌握基本不等式的內(nèi)容.

2,會(huì)用基本不等式解決常考的最大值或最小值問(wèn)題.

3、會(huì)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:基本不等式

如果°>0力>0,那么向W竺^,當(dāng)且僅當(dāng)4=6時(shí)，等號(hào)成立.其中，巴吆叫作a”的算術(shù)平均

22

數(shù)，J法叫作a2的幾何平均數(shù).即正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,beR,則片+廿22而，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；

基本不等式2：若a,beR+,則巴心》/石（或a+b22疝），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積

為定值，“三相等”指滿(mǎn)足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

解題方法總結(jié)

1、幾個(gè)重要的不等式

2

（1）a>0（aG>0（tz>0）,|?|>0（d;GR）.

（2）基本不等式：如果a,beR+,則但上加（當(dāng)且僅當(dāng)“a=3”時(shí)取“+'）.

2

特例：6Z>0,6Z+->2；-+->2（。力同號(hào)）.

aba

（3）其他變形：

①/+從士（"+"）一（溝通兩和a+b與兩平方和/+/的不等關(guān)系式）

2

②必《勺主絲（溝通兩積乃與兩平方和的不等關(guān)系式）

2

③mw［一］（溝通兩積與兩和a+〃的不等關(guān)系式）

④重要不等式：

ab

即調(diào)和平均值W幾何平均值4算數(shù)平均值V平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

2、均值定理

已矢口x,yGR*?

（1）如果x+y=S（定值），則^?亨］=。（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y，，時(shí)取“=，，）.即“和為定值，積有

最大值

（2）如果移=P（定值），貝hr+y22歷=2赤（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積為定值，和有最

小值”.

3、常見(jiàn)求最值模型

模型一：ax+->2^b（a>0,b>0），當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立.

xVa

模型二：一…J（m+i）2上（…“>0,。0<勺,當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)

mm24mm2m

等號(hào)成立.

模型三：———=-1——（G>0,C>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立.

ax+bx+c依+"￡lyjac+b

x

模型四：mx-\——--=m（x-b）-\——-——I-mb>2y/mn+mb（jn>0,n>0）?當(dāng)且僅當(dāng)x—Z?=時(shí)等號(hào)成立.

x—bx—bNm

題型洞察

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

【典例1一1】下列不等式證明過(guò)程正確的是（）

A.若“,beR,則2+旦22、2?色=2

ab\ab

B.若x>0,y>0,則1g元+1gy之2Jigx?1gy

C.若x<0,則x+3N-2、］3=-4

xVx

D.若x<Q,則2X+2~x>2j2,-2r=2

【答案】D

【解析】???2,/可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，y=-2,，A錯(cuò)誤；

ababab

lgx,lgy可能為負(fù)數(shù)，如lg%=lgy=-l時(shí)，Igx+lgy=_2,2,lgx」gy=2,錯(cuò)誤；

444

x<0,—<0,如x=—1,—=—4時(shí)，xH—=—5<—4,，C錯(cuò)誤；

xxx

,??x<0,2，e（0,l）,2—>1,，2，+2T>2"手=2，當(dāng)且僅當(dāng)2*=2-'，即x=0等號(hào)成立，，D正確.

故選：D.

【典例1-2】（2024?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖

所示圖形，在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)。為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

設(shè)=BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

B.a<4ab(^>0,Z?>0)

C.哈尼全>0力>0）

D.a2+Z?2>2\/^&(<2>0,&>0)

【答案】C

【解析】由圖知：OC=^AB=^,OD=\OB-BD\=^-b

在用△08中，CD=^OC-+OD-=-

所以O(shè)CWOD,即等wJt|^（a>0,6>0）,

故選：C

【方法技巧】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)

證.

【變式1-1］下列結(jié)論正確的是（）

x+-^—>47

A.當(dāng)％<2時(shí)，B.當(dāng)x22時(shí)，x+4的最小值是20

x—2X

4x+-^=>4

C.當(dāng)%>0時(shí)，D.當(dāng)x>0時(shí)，------7的最小值為1

X+1

【答案】C

【解析】對(duì)于A,當(dāng)x=0時(shí)，x+-^—=~,故A錯(cuò)誤，

尤-22

對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，%+->2A/2,當(dāng)且僅當(dāng)丫=忘時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,當(dāng)x>0時(shí)，石+424,當(dāng)且僅當(dāng)石即X=4時(shí)等號(hào)成立，故C正確,

yjx

對(duì)于D,當(dāng)x>—1時(shí)，X+1H---------122-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)+1=------即x=0時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤,

X+lX+1

故選：C

【變式1-2]（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知x,y都是正數(shù)，且彳關(guān)1，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（

A.疝B-l+i>2

c-含〈歷D.孫+工>2

孫

【答案】D

【解析】x,y都是正數(shù)，

由基本不等式，蕓2上而，2+-^2,?.苧=再，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)

2丫%yx+y24xy

成立，而題中因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；

孫+，22中當(dāng)且僅當(dāng)孫=1時(shí)取等號(hào)，如x=2,y=2即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立.

xy2

故選：D.

【變式1-3]給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：

①骨，6為正實(shí)數(shù)，??.9+巴22、反=2；

ab\ab

其中正確的推導(dǎo)為（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】根據(jù)基本不等式的條件判斷，①。>0）>。，.?.2>0,/>。，因此2+3^2、口1=2正確;

abab\ab

②％>0,y>0時(shí)，若0<%<1.0<y<l,貝Pg%<0,Igy<0,不等式Igx+Igy22Jig、1gy錯(cuò)誤；

不等式3a”仕4

③。<0時(shí),-a=4錯(cuò)誤;

aa

④孫<0,則一:>0,-1>0,因此不等式［+從而不等式

二+，」ma-2正確.

yxLIy)vxj

故選：D.

題型二：直接法求最值

【典例2-1］若實(shí)數(shù)">滿(mǎn)足x+2y=l,則2*+4y的最小值為.

【答案】2逝

【解析】2"+4->2,2**4丫=2J2*x22y=26+2y=272，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,

即x="y=：時(shí)取到等號(hào).

24

故答案：2&.

（、

【典例2-2］（2024?湖北孝感?模擬預(yù)測(cè)）3+3（6+46）的最小值為

V.vJ

【答案】9

【解析】

當(dāng)且僅當(dāng)即x=4y>0時(shí)，等號(hào)成立,

/、

所以—尸+―7=（五+4\/^）的最小值為9.

Jy）

故答案為：9

【方法技巧】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

【變式2-1］（2024?上海崇明?三模）已知正實(shí)數(shù)以6滿(mǎn)足必=1,貝壯+46的最小值等于.

【答案】4

【解析】a+4bW244ab=24=4,當(dāng)。=4人，即。=2,b=g時(shí)等號(hào)成立,

貝iJa+46的最小值為4.

故答案為：4.

【變式2-2］（2024?天津南開(kāi)?一模）已知實(shí)數(shù)。>0*>0,。+6=1,則2"+2%的最小值為.

【答案】2A/2

【解析】a>Q,b>0,a+b=l,

2a+2b226x2"=2,2、=2夜，當(dāng)且僅當(dāng)2"=2"即。=。=g時(shí)取等號(hào).

故答案為：2日

題型三：常規(guī)湊配法求最值

亞亞0ED的最大值是（）

【典例3-1】函數(shù)〃》）=

4X2+1

7

A.2B.一cD

4-7-:

【答案】C

1(X2尤22

+1)(162+1)(x+l)(16x+1)16X4+17X2+1

函數(shù)，（無(wú)）=

【解析】由題意,2

4X2+116X4+8X2+1

(?9f

[16尤4+8/+1

16/+8+=

X

111

又由16/+=28,當(dāng)且僅當(dāng)16/=二，即》=土彳時(shí)等號(hào)成立,

x2x22

1—2—〈竺

+1

所以1648+±一16,所以+014

16無(wú)2+8+-4

XX

即函數(shù)“X）的最大值是:

故選：C.

9A1Q

【典例3-2】（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知。>0,6>0,且必=1,則的最小值為——，此

ab2a+b

時(shí)"___

【答案】12g或1

O/7AAzjA

【角窣析】因?yàn)閍b=l,所以---1—■~=4a+2b=2(2Q+/?),

ab

所以>：+捻=2（2?）+捻22屈”，當(dāng)且僅當(dāng)24人3時(shí)取到等號(hào),

9A1Q

故4+；+丁'的最小值為12，

ab2a+b

,,“f2a+b=3[a=la=—1

此時(shí)滿(mǎn)足，,，解方程得八?或2,故。=:或1.

<7*=1仍=1,_2

iv[o=2

故答案為：12；；或1

【方法技巧】

1、通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

【變式3-1]若》—2,貝|/（司=》+-^的最小值為.

【答案】0

【解析】由x>-2,得x+2>0,」一>0,

尤+2

所以/（x）=x+^—=x+2+^—-2>2,（x+2）x^--2=0,

x+2x+2vx+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+2=工即x=-1時(shí)等號(hào)成立.

x+2

故答案為：。

4

【變式3-2】函數(shù)〃x）=3x+2+-（x>0）的最小值為.

【答案】4石-1/-1+4有

【解析】因?yàn)橛?gt;0,所以彳+1>1,

44I4-l

所以y（x）=3x+2+——=3x+3+-------l>2j3（x+l）x---------1=4V3-1,

JC+1x+1yx+1

當(dāng)且僅當(dāng)3（x+l）=/時(shí)，即彳=竿-1時(shí)，等號(hào)成立，

故的最小值為46-1.

故答案為：45/3-1

【變式3-3]（2024?高三?天津河北?期末）已知1>0,則乎:+f的最小值為

【答案】V3+1/1+V3

【解析】因?yàn)閒>0,

33

所以&±2+;2⑵+>2+』+"1+包D

2Z+12/+12（2r+l）2

>1+2=1+百,

當(dāng)且僅當(dāng)可即U與時(shí),等號(hào)成立?

所以西！+,的最小值為石+L

故答案為：V3+1

題型四：化為單變量法

【典例4-1]（2024?高三?上海?競(jìng)賽）若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足必=2a+-則a+25的最小值是

【答案】9

【解析】解析一:。6-6=（。-1）6=2。=6=^^（。>1），

Q—1

4。44一

貝IJQ+2Z?=QH----=〃+4H--------=6/-1H--------1-5>4+5=9,等號(hào)成立時(shí)a=3,b=3.

a—1a—1a—1

所以。+2）的最小值是9.

解析二:ab—2a—b=0^>^a—l^（b—2^=2,

則4+26=a-l+26-4+522#（a-l）（6-2）+5=9,

[a—l=2b—4]〃=3

等號(hào)成立時(shí)〃Q=八Q所以。+25的最小值是9.

[a+2b=9[b=3

故答案為：9.

【典例4-2】（2024?天津河?xùn)|?一模）若a>0,b>0,ab=2,則空隼空的最小值為

b+\

【答案】4

2

【角畢析】由〃>0,b>0,〃/?=2=>a=—,

2

故。+46+2萬(wàn)3_石+4"+2"_2+4〃+2/_電+1『

2=22

b2+\~b'+\~M〃+i）-6伊+1）b

bx；=4,當(dāng)且僅當(dāng)6=1時(shí)等號(hào)成立,

=2

故最小值為4,

故答案為：4

【方法技巧]

化為單變量法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求

解.解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！

【變式4-1](2024?陜西西安?三模)已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,貝ijx+y的最小值為.

【答案】4A/2-1/-1+4A/2

【解析】因?yàn)閤>0,y>。且肛+2x-y=l。，

所以x+y=A^+y=-^-+y+2-1221/—(y+2)-l=4A5-l,

y+2y+2\y+2

Q

當(dāng)且僅當(dāng)年=V+2,即y=2上-2,x=l+2冷時(shí)，等號(hào)成立，

故x+y的最小值為4&-1.

故答案為：40-1.

【變式4-2]已知實(shí)數(shù)XQ滿(mǎn)足3孫+丁=1,y>0,則2x+y的最小值是

【答案】巫以五

33

【解析】由3沖+丁=1可得：%=?，將其代入2x+y,則有：2x+y=^^+y=；+：y,

3y3y3y3

e八乂七21、八I212血

因y>o,故有：-—■卜彳丁之2Jh=-,

3y3'3y33

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即y=0,x=_「時(shí),2x+y取得最小值其1.

3y363

故答案為：走.

3

題型五：雙換元求最值

【典例5-1】設(shè)。力為正實(shí)數(shù)，且a+b=3,則'J+上的最小值為

a+2Z?+l

【答案】|3

【角窣析】:〃+人=3,令a+2=m,b+\=n,

機(jī)+〃=a+b+3=6,

a=m-2,b=n—l,

.a2Z?2(m-2)2(H-1)241,

a+2b+1mnmn

又<m+n=a+b+3=6

a2b2411/、41/4〃mu、：（4+5）1

---------1--------=——\--=—[m+n)+—+5>

。+2b+1mn6m46mn)

當(dāng)且僅當(dāng)包='時(shí)，即加=2〃時(shí)工+￡取得最小值,

mna+2Z?+l

人2+念i2的最小值%o.

3

故答案為：—

x-2y

【典例5-2】（2024?江蘇南京?三模）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足21+孫-y2=],則的最大值為.

5x2-2xy+2y2

【答案】1

4

【解析】已知條件可化為（2x-y）（x+y）=l,故可設(shè)2x_y=f,x+y=L〃=r_L從而目標(biāo)代數(shù)式可化為

麥，利用基本不等式可求其最大值.由2八十61,得（2f乂i口,

設(shè)2x—y=/,%+>=1,其中/wO.

貝！1%=/+丁,丁=;:;—~t,從而兀―2y=%—,5x2—2xy+2y2=t2+—,

33/3/3tr

x-2yu

記則

"="1,5Y—2xy+2y之+2

1=也

不妨設(shè)〃>0,則J4,

u+—2Lx-

uVu

當(dāng)且僅當(dāng)"4,即"3時(shí)取等號(hào)，即最大值為?

故答案為：T

【方法技巧】

若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的

分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系.

1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

【變式3若非零實(shí)數(shù)°,。滿(mǎn)足9/+4”⑹則互給的最大值為

【答案】4忘+4

【解析】令％=3〃,y=2b,則f+y2=i6,

12ab_(x+y)2-x2-y2(x+y)2T6

=x+y+4

3〃+2b—4x+y—4x+y-4

因?yàn)?+y2>2xy,所以2(/+y2)N%2+y2+2孫=(x+y)2,

所以［亨=所以無(wú)+”4應(yīng)，

從而x+y+4W4a+4,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=2近時(shí)，等號(hào)成立,

,12ab

+取得最大值40+4.

H3a+2b—4

故答案為：472+4.

【變式5-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知x+y=l(x>y>0),則0——好的取值范圍是

x-yx+3y

【答案】V2-1,+?

3m+nn-m

【解析】設(shè)m=無(wú)一V,n=x+3y,得到x二

于口2y4y_n—mn-mn+nT\

x-yx+3y2mn2mnJ

yjryi

當(dāng)且僅當(dāng)‘即缶Z="時(shí),等號(hào)成立，即JJx-虛丁=x+3y,

2mn

3+72

又因?yàn)閤+y=i解得x=y=拒一匕，滿(mǎn)足無(wú)>y>。.

2+2上-2+2拒

x+y=l(x>y>0),

2x+2y

———3=———3

x-yx+3y2x—13—2x

PI?f,(x_42_8x2+8x—14

人/M?—2x)2-(21)2-(3—2x3(21)2'

令/'(%)>0,得述匚<無(wú)<1,此時(shí)函數(shù)〃幻單調(diào)遞增；

2

令廣(%)<。，得!<%〈逑二1,此時(shí)函數(shù)/⑺單調(diào)遞減,

22

r(2點(diǎn)-。3+2雙

/.min=丁

又當(dāng)x-1時(shí)，/(x)->3,當(dāng)尤f(wàn)g時(shí)，/(%)->+<?,

〃、、3+20.2y4y、3+2》,2--3

/.f(%)2-----------,—--------------------->---------------3=------------

2x-yx+3y22

故答案為：V2-1-,+°o\

題型六：-r的代換求最值

121

【典例6-11已知1>0,y>0,且％+2y==，則一+一的最小值為_(kāi)___.

2xy

【答案】16

.立刀工廠.21.(21Y>>,門(mén)8y2x、cc/8y2x.,

【角牛]—I—=2—l—|(%+2y)=8d-----128+2j—,—=16,

xy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)包=2時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)x='y=：時(shí)，2+,取得最小值為16.

冗y48xj

故答案為：16.

1?1

【典例6-2】（2。24?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知實(shí)數(shù)〃＞。力＞2,且、+0r『則23的最小

值是—.

【答案】24

121

【解析】因?yàn)?。力＞2,且、+0=葭

所以3+￡乩

所以2?=[2(?1)+9一2)]島+&=6+6+弓系+*!

3（匕一2）12（〃+1）

＞12+2P——乙?———乙=24，

AV〃+1b-2

當(dāng)且僅當(dāng)3（。-2）=12（q+l）,即匕_2=2（。+1）,。=5,6=14時(shí)等號(hào)成立，

。+1b—2

故答案為：24

【方法技巧】

1的代換就是指湊出1,使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)

程中要特別注意等價(jià)變形.

1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

21

【變式6-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知x>l,y>0,且x+—=2,則一的最小值是_____

yx-1

【答案】3+272/272+3.

22

【解析】由1+—=2,得x—1+—=1,

yy

因?yàn)閤〉1,y>of

所以％—l>O,y>。，

所以」7+y=1%-l+2]]」7+y[=3+(%-l)y+;-，-23+2)%-1)匕2=3+20,

兀-1Iy八%-1)(%-Dyv

2

當(dāng)且僅當(dāng)=7,即x=￡,y=2+0時(shí)，等號(hào)成立，

(x-l)y

所以」二+y的最小值是3+2&-

x-1

故答案為：3+2近.

【變式6-2](2024?河南?三模)在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為"c,若a+b+c=2,貝!]

4+±1的最小值為

a+bc

_9

【答案】j

【解析】因?yàn)閍+Z?+c=2,

所以總+7-12+。］

,4ca+b\1_J4ca+b9

5+----+---->--5+2J---------=—

2a+bcxJ2[\yza+bc2

當(dāng)且僅當(dāng)4多c=aT+b,即a+6=2c時(shí)等號(hào)成立，故二4二+1士的最小值為9

a+bca+bc2

9

故答案為：

1?

【變式6?3】(2024?陜西咸陽(yáng)?一模)已知且--+—-=1,則?+〃的最小值為

a+1b+1

【答案】2垃+111+2迎

19

【解析1由々>0*>。，----F---二1,

a+1b+1

1?

得Q+Z?=(a+1)+S+1)—2=(——+——)[(^+l)+(Z?+l)]-2

a+1b+1

=區(qū)+①+iy”.%±Ll=2應(yīng)+1,

當(dāng)且僅當(dāng)空=乎三D,即b+l=JI(a+l)=應(yīng)(應(yīng)+1)時(shí)取等號(hào),

Q+1P+1

所以當(dāng)a=0,b=&+l時(shí)，取得最小值20+L

故答案為：2忘+1

題型七：齊次化求最值

【典例7-1】已知x>0,y>。，S=J》+孫

了，則()

x2+y

9Bs的最大值是竽

A.S的最大值是市

3D-s的最大值是苧

c-s的最大值是a

【答案】B

【解析】：

3豈+)

孫yx

5=Z7T7+x2+y22

生+1I+1

yx

.2xy

令"一十一，

y%

當(dāng)且僅當(dāng)手。即yS時(shí)等號(hào)成立,

Vx>0,y>0

3

故回2倉(cāng)+00)

1，

t+-

又="在［26+可上單調(diào)遞增，則/(?)>八2招=2&+」尸=述,

t、2A/24

C-3<3_2725

二1一距一亍，即S的最大值是生?

1十二---3

，4

故選：B.

【典例7-2】已知正實(shí)數(shù)。,4c滿(mǎn)足》+c=l,則8/+喙工_的最小值為_(kāi)___.

beQ+1

【答案】16

【解析】任意的正實(shí)數(shù)。，b,c,滿(mǎn)足6+c=l,

,8ab2+a188&2+l188Z>2+(Z?+c)218

所CC以H------+---=a---------+------=a--------------—+-----

bea+1bea+1bea+1

9Z?2+2Z?c+c2+S“d+￡+2)+其

bea+1cba+\

由于。，c為正實(shí)數(shù)，

故由基本不等式得—+->2\隹工=6,

cb\cb

當(dāng)且僅當(dāng)9吆b=，c即b=1jC=3J時(shí)，等號(hào)成立,

cb44

匚G、I.9bcc、18

所以。?(一+:+2)+--

cb<2+1

1Q1Q

>8a+——=8(Q+1)+-------8

a+1a+1

>2網(wǎng)+1).\-8=16,

1o1

當(dāng)且僅當(dāng)8m+1）=力，即”*'等號(hào)成立,

綜上，陋?+里的最小值為16.

bea+1

故答案為：16.

【方法技巧】

齊次化就是含有多元的問(wèn)題，通過(guò)分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)

行求解.

【變式7-1］（四川省成都市第七中學(xué)2024屆高三三診模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷）設(shè)a>8>0,若

片+血?jiǎng)t實(shí)數(shù)幾的最大值為（）

a-b

A.2+2后B.4C.2+72D.2拒

【答案】A

33

a+b2.,a.2

3,3--------------------aI2.21+(一)

【解析】因?yàn)?>6>o,若/+?72K巴J巴，可得力一=97士夫=——

a-bb2ab-b2a

---1

b

設(shè)長(zhǎng)，只需要彳小于等于右邊的最小值即可，

1+令21+”

則一匚，

------1

b

令5=，一1>0,可得/=S+1,

所以1+k+1)-=s+2+2N2啟+2=20+2,當(dāng)且僅當(dāng)s=2,即5=五時(shí)取等號(hào),

SS'ss

所以/IW2+2收，

即4的最大值為2+20.

故選：A.

1-Y2

【變式7-2］已知％>0,J>o,+則一二的最小值是()

y

A.2B.2+V3C.75+2D.272+2

【答案】D

33

【解析】x>0,y>o,:.x3+y3=x-y>0,即有r+V^=1且x>y,

八『2M+1

將=i代入^4-得=…—―=J+y2=UJ_,

x-yyy2y2xy-y2

y

令,<>1，&)=.，(,>1)，

戶(hù)+1(產(chǎn)一1)+222

,,〃%)==t+l+一=(t-l)+——+2

t-1t-\t-1t-1

Q%>1,/.(z—1)H----1~222,\/2+2

t—1

當(dāng)且僅當(dāng)"1=臺(tái)，即"0+1時(shí)等號(hào)成立，

所以=(?>1)