湖北省黃岡市麻城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第六次模擬考試試題理含解析

PAGE27-湖北省黃岡市麻城市試驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第六次模擬考試試題理（含解析）時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知（i是虛數(shù)單位），則z=（）A.-1 B.1 C.0 D.i【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，意在考查推理與運(yùn)算實(shí)力.2.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得；由得，再通過集合的補(bǔ)集與交集的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】解：，或，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、集合的補(bǔ)集與交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，，，即可得出結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)，故對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，故，；由指數(shù)函數(shù)底數(shù)，故指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，故，；；綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基本學(xué)問，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于一般題目.4.已知直線表示不同的直線，則的充要條件是（）A.存在平面，使B.存在平面，使C.存在直線，使D.存在直線，使與直線所成角都是【答案】B【解析】【分析】依據(jù)充要條件的定義，逐項(xiàng)推斷是否能推出選項(xiàng)成立，和選項(xiàng)是否能得出成立，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，存在平面，使；反之，與可以平行、相交或者異面.故A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，存在平面，使；反之，也成立.故B正確.C選項(xiàng)，存在直線，使；反之，與可以平行、相交或者異面.故C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，存在直線，使與直線所成角都是；反之，與可以平行、相交或者異面.故D錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，充要條件等基本學(xué)問，考查了空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于一般題目.5.已知袋中有6個(gè)除顏色外，其余均相同的小球，其中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中隨意取出2個(gè)小球，已知其中一個(gè)為紅球，則另外一個(gè)是白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別設(shè)“2個(gè)球中有一個(gè)為紅球”為事務(wù),“2個(gè)球中有一個(gè)為白球”為事務(wù),利用條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)“2個(gè)球中有一個(gè)為紅球”為事務(wù),“2個(gè)球中有一個(gè)為白球”為事務(wù),則已知其中一個(gè)為紅球,則另外一個(gè)是白球的概率為,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查條件概率,考查組合數(shù)的應(yīng)用.6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題意得到，與兩式作差，得到，再由累乘法，即可求出通項(xiàng)公式，再檢驗(yàn)時(shí)，也滿意所求通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，兩式作差可得：，整理得：，所以，，…，，以上各式相乘得：，因?yàn)?，所以，又，所以，滿意，綜上，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，熟記累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)即可，屬于常考題型.7.函數(shù)的圖象不行能是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】變成分段函數(shù)后分段求導(dǎo)，通過對(duì)分類探討，得到函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可得答案.【詳解】,∴.(1)當(dāng)時(shí),,圖象為A;(2)當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,令得,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,圖象為D;(3)當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減,令得,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,圖象為B;故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的圖像的識(shí)別，考查了分類探討思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.8.如圖所示是某多面體的三視圖，左上為正視圖，右上為側(cè)視圖，左下為俯視圖，且圖中小方格單位長(zhǎng)度為1，則該多面體的側(cè)面最大面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知多面體是棱長(zhǎng)為2的正方體中的三棱錐，分別計(jì)算4個(gè)面的面積，即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知多面體是棱長(zhǎng)為2的正方體中的三棱錐，故，，，，，∴，，，∴該多面體的側(cè)面最大面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，考查三角形面積的計(jì)算，考查空間想象實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.9.已知拋物線的準(zhǔn)線為，過的焦點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若為線段的中點(diǎn)，交于，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)拋物線的性質(zhì)可設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的值，再依據(jù)斜率求出的坐標(biāo)，利用點(diǎn)與點(diǎn)的距離公式和三角形的面積公式即可求出．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為，由，解得，，，，為線段的中點(diǎn)，，，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，解得，不妨令，，，，，，，設(shè)，，，解得，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，考查了直線的斜率和兩點(diǎn)間的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和計(jì)算實(shí)力.10.已知函數(shù)，在上有且僅有2個(gè)實(shí)根，則下面4個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有最小值點(diǎn)；②在區(qū)間上有最大值點(diǎn)；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞減.全部正確結(jié)論的編號(hào)為（）.A.①②③ B.②④ C.①③④ D.①③【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意作出函數(shù)示意圖，結(jié)合圖象確定最值取法、的取值范圍以及對(duì)應(yīng)區(qū)間單調(diào)性.【詳解】先作圖象，令，由上有且僅有2個(gè)實(shí)根，得所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減由圖可知，在區(qū)間上有最小值點(diǎn)，不肯定有最大值點(diǎn)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想方法以及基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.11.設(shè)函數(shù)和，若兩函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析題意可知,函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同增或者同減,則依據(jù)同增和同減兩種狀況對(duì)函數(shù)進(jìn)行分狀況探討即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增,若區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”,則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同增或者同減,①若兩函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立,即,所以;②若兩函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則在區(qū)間上恒成立,即,不等式無解;綜上所述:,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的分析理解實(shí)力,屬于中檔題.12.已知函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則屬于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】有且僅有三個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于與有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)與相切時(shí)，滿意題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，進(jìn)一步得到，所以，再求出的范圍即可得到答案.【詳解】由已知，有且僅有三個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于方程有且僅有三個(gè)不同實(shí)根，等價(jià)于與有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，如圖當(dāng)與相切時(shí)，滿意題意，因?yàn)?，所以，且，消a得由誘導(dǎo)公式，有，又，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍問題，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道有肯定難度的題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.綻開式中，的系數(shù)等于________．【答案】15【解析】6的通項(xiàng)為Tr＋1＝C6r6－rr＝C6r(－1)rx6－ryr－3，令6－r＝3，得r＝2，r－3＝0，故x3的系數(shù)為C62(－1)2＝15.14.設(shè)點(diǎn)分別是雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),直線交該雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)．若是等腰三角形,則此雙曲線的離心率為__________【答案】【解析】【詳解】明顯，，所以由是等腰三角形得．

設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，

可得，，可得，化簡(jiǎn)為，

解得（舍去）.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，留意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和等腰三角形的定義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.15.在中，D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，若，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，分別以，所在直線為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由題意，求出，得到，，依據(jù)向量夾角公式，求得，令，則，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，因此，，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量在平面幾何中的應(yīng)用，熟記向量夾角公式，以及平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.16.在三棱錐中，，，二面角是鈍角.若三棱錐的體積為2．則三棱錐的外接球的表面積是___________.【答案】【解析】【分析】先畫出三棱錐，取中點(diǎn)為，連接，，取中點(diǎn)為，連接，依據(jù)三棱錐的體積，求出；再把三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，使三棱錐的各棱分別是面對(duì)角線，則三棱錐的外接球即是長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)，，，依據(jù)題中數(shù)據(jù)，求出，進(jìn)而可求出外接球的直徑，從而可求出其表面積.【詳解】如圖（1），取中點(diǎn)為，連接，，則由，可得：，，即即為二面角的平面角；又，所以平面；取中點(diǎn)為，連接，設(shè)，又所以，因此，，所以，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即，舍去；所以，即；如圖（2），把三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，使三棱錐的各棱分別是面對(duì)角線，則三棱錐的外接球即是長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)，，，則，解得，因此，外接球的直徑為，所以四面體的外接球的表面積是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求三棱錐外接球的表面積，熟記三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積公式即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由成等差數(shù)列，得，化簡(jiǎn)得，求得，然后用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得即可；（2）由（1）求得，進(jìn)而求得，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種狀況對(duì)的單調(diào)性進(jìn)行探討，即可求得的最大值.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，得,即，所以，即，因?yàn)?，所以；?）由（1）得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?，且遞增，所以遞減，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，同理遞增，所以遞減.,因?yàn)榫C上有數(shù)列的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的最值，屬于中檔題.18.如圖，已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，∥平面．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）連接，設(shè)，通過，可求解出的值；（Ⅱ）以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解所求二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）連接，設(shè)，則平面平面，∵平面，∴，∵，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，，又∵，，∴∴，∴，∴平面，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面的法向量設(shè)平面的法向量，則，，令，得，，即所求二面角的余弦值是．【點(diǎn)睛】此題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象實(shí)力以及計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.19.已知橢圓C：，點(diǎn)P在圓O：上.（1）設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且.試問：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線是否恒過橢圓C的左焦點(diǎn)F？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說明理由.（2）直線與圓O：相切于點(diǎn)M，且與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求的最大值.【答案】（1）過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線恒過橢圓C的左焦點(diǎn)F，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先由題意，得到，設(shè)，，計(jì)算，即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)直線垂直軸時(shí)，易知；當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)為，依據(jù)直線與圓相切，得到，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，即可求出弦長(zhǎng)的最值.【詳解】（1）由題意知，設(shè)，，，，，，，，，過點(diǎn)且垂直于的直線恒過橢圓C的左焦點(diǎn).（2）當(dāng)直線垂直軸時(shí)，易知當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，由直線與圓O：相切知，，即.將代入橢圓C：整理得，綜上的最大值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線恒過定點(diǎn)問題，以及求橢圓弦長(zhǎng)的最值問題，熟記直線與橢圓位置關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式等即可，屬于?？碱}型.20.高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來探討隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最終掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最終掉入編號(hào)為1，2，………7的球槽內(nèi).（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率:（2）小明同學(xué)在探討了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，8元可以玩一次高爾頓板嬉戲，小球掉入X號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為ξ元，其中ξ=|20-5X|（i）求X的分布列；（ii）高爾頓板嬉戲火爆進(jìn)行，許多同學(xué)參與了嬉戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?【答案】（1）；（2）（i）分布列見解析；（ii）可以盈利.【解析】【分析】（1）分析小球落入第7層第6個(gè)空隙處對(duì)應(yīng)的事務(wù)，利用公式求得結(jié)果；（2）（i）分析得出的可取值，之后利用公式求得概率，列表得分布列；（ii）首先指出的可取值，結(jié)合（i）求得其對(duì)應(yīng)的概率，利用公式求得，與8比較大小得到結(jié)論.【詳解】（1）小球落入第7層第6個(gè)空隙處須要6次碰撞中有1次向左5次向右，所以；（2）（i），，，，，所以的分布列為：（ii）ξ=|20-5X|，所以，，，，，所以，所以小明可以盈利.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率，概率求解公式，離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，屬于簡(jiǎn)潔題目.21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）.（2）見解析.【解析】試題分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范圍；∵為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和.∴只需證明即可.試題解析：（1）由，得.整理，得恒成立，即.令.則.∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴函數(shù)的最小值為.∴，即.∴的取值范圍是.（2）∵為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和.∴只需證明即可.由（1），當(dāng)時(shí)，有，即.令，即得.∴.現(xiàn)證明，即.現(xiàn)證明.構(gòu)造函數(shù)，則.∴函數(shù)在上是增函數(shù)，即.∴當(dāng)時(shí)，有，即成立.令，則式成立.綜上，得.對(duì)數(shù)列，，分別求前項(xiàng)和，得.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題記分．[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)