九年級數(shù)學直線與圓的位置關系培優(yōu)教程

九年級數(shù)學直線與圓的位置關系培優(yōu)教程考點·方法·破譯理解掌握圓的切線、割線的概念，懂得直線與圓的三種位置關系及判別依據(jù)；理解掌握切線的性質定理、判定定理，能熟練運用會根據(jù)需要添加輔助線；理解掌握切線長定理，能利用切線相關定理進行推理論證。經(jīng)典·考題·賞析【例1】（泉州）已知直線y=kx（k≠0）經(jīng)過點（3,-4），（1）求k的值；（2）將該直線向上平移m（m＞0）個單位，若平移后得到直線與半徑為6的⊙O相離（點O為坐標原點），試求m的取值范圍【解法指導】解：（1）依題意得：―4=3k,∴k=－eq\f(4,3)（2）由（1）及題意知，平移后得到的直線l所對應的函數(shù)關系式為y=－eq\f(4,3)x+m（m＞0），設直線l與x軸、y軸分別交于點A、B,（如圖所示）當x=0時，y=m；當y=0時，x=eq\f(3,4)m，∴A（eq\f(3,4)m,0）,B（0,m）即OA=eq\f(3,4)m,OB=m,在Rt△OAB中，AB=eq\r(,OA2+OB2)=eq\r(,eq\f(9,16)m2+m2)=eq\f(5,4)m,過點O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=eq\f(1,2)OD·AB=eq\f(1,2)OA·OB，∴eq\f(1,2)OD·eq\f(5,4)m=eq\f(1,2)·eq\f(3,4)m·m∵m＞0,解得OD=eq\f(3,5)m,依題意得：eq\f(3,5)m＞6,解得m＞10，即m的取值范圍為m＞10.【變式題組】1.（遼寧）如圖，直線y=eq\f(eq\r(,3),3)x+eq\r(,3)與x軸、y軸分別相交于A,B兩點，圓心P的坐標為（1,0），⊙P與y軸相切于點O，若將⊙P沿x軸向左移動，當⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數(shù)的點P有個2.（永州）如圖，在平面直角坐標系內，O為原點，A點的坐標為（-3,0），經(jīng)過A、O兩點作半徑為eq\f(5,2)的⊙O，交y軸的負半軸于點B（1）求B點的坐標；（2）過B點作⊙C的切線交x軸于點D，求直線BD的解析式【例2】（襄樊）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，則∠D等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°【解法指導】解:連結OC，則OC⊥DC，且∠OCA=∠A=25°，∴∠DOC=∠∠OCA+∠A=50°，又∠D+∠DOC=90°，∴∠D=40°，本題應選A.【變式題組】3.（徐州、南京）如圖，兩個同心圓的半徑分別為3cm和5cm，弦AB與小圓相切于點C，則AB的長為（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm4.（南充）如圖，從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點分別是A，B,若PA=8cm，C是AB上的一個動點（點C與A、B兩點不重合），過點C作⊙O的切線，分別交PA、PB于點D、E，則△PED的周長是.5.（徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，若∠C=18°，則∠CDA=.6.（荊門）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,則△ABC的內切圓半徑r=.【例3】（日照）如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2,過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E（1）求∠AEC的度數(shù);（2）求證：四邊形OBEC是菱形【解法指導】本題（2）根據(jù)垂徑定理證AC=CE=2，再證BE=2即可。解:（1）在△AOC中，AC=2，∵AO=OC=2，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠AEC=30°（2）證明：∵OC⊥l，BD⊥l，∴OC∥BD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∵AB為⊙O的直徑，∴△AEB為直角三角形，∠EAB=30°，∴∠EAB∠=∠AEC，∴四邊形OBEC為平行四邊形，又∵OB=OC=2，∴四邊形OBEC是菱形?！咀兪筋}組】7.（寧波）已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，eq\o(⌒,BC)=eq\o(⌒,BD)，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，（1）求證:CD∥BF（2）連結BC，若⊙O的半徑為4，cos∠BCD=eq\f(3,4)，求線段AD、CD的長【例4】（安順）如圖，AB=BC,以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E，（1）求證:DE是⊙O的切線;（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的長【解法指導】本題（1）根據(jù)切線的判定定理要連接OD，證明OD⊥DE即可，（2）用等面積法求DF證明:連結，OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO.∵BA=BC,∴∠A=∠C.∴∠ADO=∠C.∴DO∥BC,∵DE⊥BC,∴DO⊥DE.又點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線.（2）解:∠DOF=∠A+∠ADO=60°，在Rt△DOF中，OD=4DF=OD·sin∠DOF=4·sin60°=2eq\r(,3),∵直徑AB⊥弦DG，∴DF=FG,∴DG=2DF=4eq\r(,3).【變式題組】8.（十堰）如圖，直線l切⊙O于點A，點P為直線l上一點，直線PO交⊙O于點C、B，點D在線段AP上，連結DB，且AD=DB（1）求證:DB為⊙O的切線;（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的長9.（大連）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°.（1）判斷直線CD是否是⊙O的切線，并說明理由；（2）若CD=3eq\r(,3)，求BC的長.【例5】（本溪）如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB，（1）判斷直線BD和⊙O的位置關系，并給出證明；（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長【解法指導】（1）直線BD和⊙O相切，證明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，∴∠ABC=∠ODB，∴OD⊥BC，∠DBC+∠ODB=90°，∴∠DBC+∠ABC=90°，即∠DBO=90°∴直線BD和⊙O相切.（2）連結AC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，∴AC=eq\r(,AB2-BC2)=6，∵直徑AB=10，∴OB=5.由（1），BD和⊙O相切，∴∠OBD=90°，∴∠ACB=∠OBD=90°，由（1）得∠ABC=∠ODB，△ABC∽△ODB，∴eq\f(AC,OB)=eq\f(BC,BD)，∴eq\f(6,5)=eq\f(8,BD),解得BD=eq\f(20,3).【變式題組】10.（仙桃）如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O上的一點，過O點作AB的垂線交AD于點E，交BD的延長線于點C，F(xiàn)為CE上一點，且FD=FE（1）請?zhí)骄縁D與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為2，BD=eq\r(,3)，求BC的長.11.（德化）如圖，已知在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；（2）若tan∠ACB=eq\f(eq\r(,2),2)，BC=2，求⊙O的半徑.演練鞏固反饋提高1.（佳木斯）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于E，連結AD，則下列結論：①AD⊥BC②∠EAD=∠B③OA=eq\f(1,2)AC④DE是⊙O的切線。正確的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個2.（衡陽）如圖，直線AB切⊙O于點C，D是⊙O上一點，∠EDC=30°，弦EF∥AB，連結OC交EF于點H，連結CF，且CF=2，則HE的長為3.（門頭溝）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設OP=x，則x的取值范圍是（）A.-1≤x≤1B.-eq\r(,2)≤x≤eq\r(,2)C.0≤x≤eq\r(,2)D.x＞eq\r(,2)4.（武漢）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D，E是邊BC的中點，連結DE，（1）求證:直線DE是⊙O的切線；（2）連接OC交DE于點F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.5.（北京）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經(jīng)過B、M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑（1）求證:AE與⊙O相切;（2）當BC=4，cosC=eq\f(1,3)時，求⊙O的半徑.6.（無錫）如圖，已知點，經(jīng)過A、B的直線以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發(fā),在直線上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動．設它們運動的時間為秒．（1）用含的代數(shù)式表示點P的坐標；（2）過O作OC⊥AB于C,過C作CD⊥軸于D,問：為何值時,以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時⊙P與直線CD的位置關系．7.（陜西）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，過點A作AP∥BC，交BO的延長線于點P，（1）求證:AP是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑R=5，BC=8，求線段AP的長.8.（賀州）如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，取AC的中點E，連結DE、OE.（1）求證:DE是⊙O的切線（2）如果⊙O的半徑是eq\f(3,2)cm，ED=2cm，求AB的長培優(yōu)升級奧賽檢測1.（義烏）如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G，（1）求證:點E是eq\o(⌒,BD)的中點；（2）求證:CD是⊙O的切線；（3）若sin∠BAD=eq\f(4,5),⊙O的半徑為5，求DF的長.2.（衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2㎝，∠ABC=60°，（1）求⊙O的直徑；（2）若D是AB延長線上一點，連結CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切；（3）若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著AB方向運動，同時動點F以1cm/s的速度從B點出發(fā)沿BC方向運動，設運動時間為t（s）（0＜t＜2），連接EF，當t為何值時，△BEF為直角三角形．3.（深圳）如圖，在平面直角坐標系，直線l:y=-2x-8分別與x軸、y軸相交于A、B兩點，點P（O,k）是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P.（1）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關系，并說明理由；（2）當k為何值時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？4.（全國競賽）如圖：直線AB與⊙O相交于點E、F，EF為⊙O的直徑，且AE=EF=FB，