人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系（原卷版）

專題12點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

【思維導(dǎo)圖】

◎考點(diǎn)題型1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>rQ點(diǎn)P在O0的外部.

點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r=點(diǎn)P在。。的圓周上.

點(diǎn)在圓內(nèi)(V)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<rq點(diǎn)P在O。的內(nèi)部.

例.（2022?河北邯鄲?九年級(jí)期末）平面內(nèi)有兩點(diǎn)P,O,。。的半徑為5,若尸0=6,則點(diǎn)P與。。的位

置關(guān)系是（）

A.圓內(nèi)B.圓上C.圓外D.圓上或圓外

變式1.（2021?江蘇淮安?九年級(jí)期中）。的半徑為5cm,點(diǎn)A到圓心。的距離。4=3cm,則點(diǎn)A與，:。

的位置關(guān)系為（）

A.點(diǎn)人在<。上B.點(diǎn)A在內(nèi)C.點(diǎn)A在I。外D.無法確定

變式2.（2022.全國?九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心，4為半徑作圓，點(diǎn)尸的坐

標(biāo)是（5,5）,則點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在。。上B.點(diǎn)尸在。。內(nèi)

C.點(diǎn)P在。。外D.點(diǎn)P在。。上或在。。外

變式3.（2021?江蘇常州?九年級(jí)期中）數(shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)A和8,點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)6,點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a,半

徑為4.若點(diǎn)A在內(nèi)部，則a的取值范圍是（）

A.。<2或a>10B.2<a<10C.a>2D.a<10

◎考點(diǎn)題型2三角形的外接圓

1）經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做

三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.

2）三角形外心的性質(zhì)：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；

②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無

數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.

3）外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：

1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；

2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；

3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

例.（2022?江蘇?九年級(jí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,-3）,C（2,3）.則AABC的外心坐

標(biāo)為（)

A.（0,0）B.（-L1）C.（-2,-1）D.（-2,1）

變式1.（2022?湖南邵陽?中考真題）如圖，。。是等邊AABC的外接圓，若AB=3,則。。的半徑是

C.出

變式2.（2022?全國?九年級(jí)）如圖，小東在同一平面上按照如下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖:

（1）作線段A8,分別以42為圓心，以A2長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；

（2）以C為圓心，以A8長為半徑作弧交AC的延長線于點(diǎn)。；

（3）連接8。，BC.則下列說法中不正確的是（）

A.ZABD=90°B.sin2A+cos2￡>=1

C.DB=6ABD.點(diǎn)。是△A3。的外心

變式3.（2022.河北.寬城滿族自治縣教研室模擬預(yù)測）如圖，△ABC和中，點(diǎn)。在△ABC內(nèi)，AB

=AC=BC=2,DB=DC,且NO=90。，則△ABC的內(nèi)心和△的外心之間的距離為（）

D

C

A.4B.1C.且D.V3

23

◎考點(diǎn)題型3三點(diǎn)定圓的方法

1）經(jīng)過點(diǎn)A的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)。為圓心，以O(shè)A的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A的圓，這樣的圓有無

數(shù)個(gè).

2）經(jīng)過兩點(diǎn)A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點(diǎn)0作為圓心，以O(shè)A的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A、B

的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè).

7---、A

3）經(jīng)過三點(diǎn)時(shí):

情況一：過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)A、B、C共線時(shí),過三點(diǎn)的圓不存在;

情況二：若A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)。是唯一存在的，這

樣的圓有唯一一個(gè).

三點(diǎn)定圓的畫法:

1）連接線段AB,BC.

2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為0,此時(shí)0A=0B=0C,于是點(diǎn)0為圓心，以0A

為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個(gè)。

定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

例.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?九年級(jí)期末）小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有

可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（

D.都不能

變式1.（2022?浙江.九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)試在方格中建立平面直角坐標(biāo)

系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

BA

/

C

A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)

變式2.（2021?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，過已知A,B,C三個(gè)點(diǎn)可以作的圓的個(gè)數(shù)為

()

A.0B.1C.2D.0或1

變式3（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,點(diǎn)A、B、C在同一直線上，點(diǎn)D在直線AB之外，過這四個(gè)

點(diǎn)中的任意三個(gè)點(diǎn)，能畫圓的個(gè)數(shù)為（）

D

ABC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

◎考點(diǎn)題型4直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)0。的半徑為r,圓心。到直線Z的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下表:

位置

圖形定義性質(zhì)及判定

關(guān)系

相離直線與圓沒有公共點(diǎn)—＞廠0直線2與0。相離

咕1

直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線

◎

相切叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切d=ro直線Z與。。相切

點(diǎn)

直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線

相交&＜「0直線1與0。相交

叫做圓的割線

例.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）P、。是直線/上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且OP=5,。。的半徑為5,下列敘

述正確的是（）

A.點(diǎn)尸在。。外

B.點(diǎn)0在。。外

C.直線/與。。一定相切

D.若。。=5,則直線/與。。相交

變式1（2021?上海金山?九年級(jí)期末）如圖，已知RfAABC中，ZC=90,AC=3,BC=4,如果以點(diǎn)C

為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么。C的半徑「的取值范圍是（）

B.—<r<33<r<4

5

變式2.（2022?廣西欽州?九年級(jí)期末）若直線。與半徑為4的。。相交，則圓心。到直線。的距離可能為

C.4.5

變式3.（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在半徑為5c機(jī)的。。中，直線/交。。于A、B兩點(diǎn)，且弦

AB=8cm,要使直線/與。。相切，則需要將直線/向下平移（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

◎考點(diǎn)題型5切線的判定定理

判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

例.（2019?山東?九年級(jí)單元測試）下列四個(gè)命題中正確的是（

①與圓有公共點(diǎn)的直線是該圓的切線；

②垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；

③到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線;

④過圓直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是該圓的切線.

A.①②B.②③C.③④D.①④

變式1.（2019?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果L是。O的切線，要判定AB_LL,還需要添加的條件是（)

A.AB經(jīng)過圓心OB.AB是直徑

C.AB是直徑,B是切點(diǎn)D.AB是直線,B是切點(diǎn)

變式2.（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,—ABC內(nèi)接于。，過A點(diǎn)作直線OE,當(dāng)ZBAE=

A.DBB.ZBACC.ZCD.ADAC

變式3.（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，尸是，。的直徑8的延長線上一點(diǎn)，NP=30。，則當(dāng)

ZACP=（）時(shí)，直線是。的切線.

C

A.20°B.30°C.15°D.25°

◎考點(diǎn)題型6切線的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

例.（2022?河北保定?九年級(jí)期末）如圖，PA.是匚。的切線，A3是切點(diǎn)，若/尸=70。，則=

C.55°D.都不對(duì)

變式1.（2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，P。交。。于點(diǎn)C,

連接8C,RL若/尸=36。，且B4與。O相切，則此時(shí)等于（）

A.27°B.32°C.36°D.54°

變式2.（2021.福建南平?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為。上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為AO延長線上一點(diǎn)，依切

。于點(diǎn)8,連接A3.若NAPF=40。，則ZA的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

變式3.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是。。的直徑，8C是。。的切線.若44c=37。，則

NACB的大小為（）

A.37°B.47°C.53°D.63°

◎考點(diǎn)題型7切線長定理

切線長定義：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.

例.（2022?河南安陽?九年級(jí)期末）如圖，尸為。。外的一點(diǎn)，PA,尸8分別切。。于點(diǎn)A,B,C。切。。于

點(diǎn)E,且分別交融，PB于點(diǎn)C,D,若出=4,貝UPCD的周長為（)

C.8D.10

變式1.（2022?浙江?金華市第九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，必和尸B是。。的兩條切線，A,B為切點(diǎn),

點(diǎn)。在A5上，點(diǎn)、E,廠分別在線段陰和尸8上，且AD=3RBD=AE.若NP=a,則N或）/的度數(shù)為

)

3

A.90°-aB.—aC.2aD.90°-

2

變式2.（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知24、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn),連接。尸交

于C,交。于。，連接。4、OB,則圖中等腰三角形、直角三角形的個(gè)數(shù)分別為（

A.1,2B.2,2

C.2,6D.1,6

變式3.（2022.山東德州?九年級(jí)期末）如圖，AB.AC為。。的切線，B和C是切點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使

BD=OB,連接A。，若NZMC=78。，則NAOO等于（）

A.70°B.64°C.62°D.51°

◎考點(diǎn)題型8三角形內(nèi)切圓

概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做

圓的外切三角形.

內(nèi)心和外心的區(qū)別：

外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。

作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點(diǎn)即為外接圓圓心。

性質(zhì)：外接圓圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。

■

內(nèi)切圓圓心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。

作法：做三角形三角的角平分線，取交點(diǎn)即為內(nèi)接圓圓心。

性質(zhì)：內(nèi)接圓圓心到三角形三邊距離相離。

AI

心

BDc

直角三角形三邊和內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系：

r?兩直角邊長和-斜邊長）

例.（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若咫—ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為小則其內(nèi)切圓的面積與

RtABC的面積比為（）

c兀丫

B.2;C.D.--------

47?+r

變式1.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，。是正方形ABC。的對(duì)角線8。上一點(diǎn)，。。與邊AB,8C都

相切，點(diǎn)、E,B分別在AZ）,OC上，現(xiàn)將尸沿著所對(duì)折，折痕所與。。相切，此時(shí)點(diǎn)。恰好落在圓

心。處.若DE=2,則正方形ABC。的邊長是（）

A.3B.4

C.2+72D.2A/2

變式2.（2022?全國.九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一ABC中，ZA=8O。，/是內(nèi)心，則Nfi/C等于（

A.120°B.130°C.150°D.160°

變式3.（2019?湖北武漢?三模）在RSABC中，C。為斜邊上的高，AC=3,BC=4,分別用八〃、n、

表示△ABC,AACD,△BCD內(nèi)切圓的半徑，貝1|（）

12八7

AA.r+r/+r2=—B.r+r/+r2=y

C.r-n-r2=--D.r-n-r2=--

◎考點(diǎn)題型9圓內(nèi)接四邊形

圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個(gè)圓

叫做這個(gè)多邊形的外接圓。

性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角.

例.（2022?廣西梧州.九年級(jí)期末）若四邊形A8C。是。。的內(nèi)接四邊形，ZA：ZC=1：2,則/C=

（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

變式1.（2022?安徽合肥?九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，若乙4。8=40。，BC//OA,貝|

ZADC的度數(shù)為（）

B

C

D

A.60°B.65°C.70°D.75°

變式2.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0O,AB為直徑，ZC=120°.若

AD=2,則AB的長為（）

C.2GD.4

變式3.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）若一個(gè)正方形的周長為24,則該正方形的邊心距為（）

A.272B.3C.3亞D.273

◎考點(diǎn)題型10圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)。的半徑分別為a、r（其中R>r），兩圓圓心距為d,則兩圓位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)

+兩圓外

外離圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外

離

部.

兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除

?=曜+^=兩圓外

外切,I了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上

￡，3切

的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部.

R-r<d<R+ro

相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

J兩圓相交

兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除

*=*=兩圓內(nèi)

內(nèi)切了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上

切