2025年高考數(shù)學一輪復習：幾何法求空間角與距離【含解析】

微專題10幾何法求空間角與距離【原卷版】

一、幾何法求空間角

【例1】(1)在直三棱柱ABC-AiBiG中，AB1BC,AB=BC=AA\,D,E分別為AC,8C的中點，則異面直

線GO與SE所成角的余弦值為()

3

Ca

10D騫

(2)如圖，已知正四棱錐P-ABCD底面邊長為2,側棱長為4,M為側棱PC的中點，則直線與底面ABC。所

成角的正弦值為()

A.小

3

C”

6D號

(3)如圖所示，在三棱錐S-ABC中，XSBC,△ABC都是等邊三角形，且BC=2,SA=?,則二面角S-BC-A的

大小為.

E訓練

1.在三棱柱ABC-4B1C1中，各棱長都相等，側棱垂直于底面，點。是8cl與3C的交點，則與平面BSGC

所成角的正弦值是()

A3

A-5B三

2

D.i

c.2-2

2.在正四棱錐尸-ABC。中，M為棱AB上的點，且PA=A2=2AM,設平面與平面PMC的交線為/,則異面直

線/與BC所成角的正切值為.

二、幾何法求距離

【例2】(1)如圖，在四棱錐PA3CZ)中，ABCD,PB=AB=2BC=4,AB±BC,則點C到直線PA

的距離為()

A.2V3B.2V5

C.V2D.4

(2)如圖所示，在長方體ABCn-AbBiGQi中，AD=AAx=2,48=4,點E是棱AB的中點，貝U點E到平面AC。

的距離為()

D.V2

?訓練

1.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側棱PA_L底面48cDZABC=90°,PA=AB=BC=2,

AD//BC,則AD到平面PBC的距離為.

2.如圖，在直三棱柱A2C-A121G中，AB=4,AC=BC=3,。為AB的中點.

(1)求點C到平面AiABBi的距離;

(2)若ABJ4C,求二面角Ai-CD-G的余弦值.

A級?基礎達標

1.已知平面a,直線相，”，若wUa,則“7找_1_〃"是''"z_La"的()

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

2.如圖，在斜三棱柱ABC-4B1G中，NBAC=90。，BCi±AC,則Ci在底面ABC上的射影〃必在()

BE------------,C

Bi'G

4

A.直線A8上B.直線BC上

C.直線AC上DAABC內(nèi)部

3.設a,p是兩個平面，m,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a_L。，/〃B，則機_!_/

B.若“zUa,/u（3,m//1,則a〃p

C.若aC|3=Mt,I//a,/〃B，則〃z〃/

D.若機J_a,ZJ_p,mHl,貝!）a_L|3

4.如圖，設平面aC平面0=P。，EG,平面a,切，平面a,垂足分別為G,H.為使PQLGH,則需增加的一個條

件是（）

A.EF_L平面aB.EF_L平面P

C.PQ1GED.PQ±FH

5.（多選）如圖，在三棱錐V-ABC中，VO_L平面ABC,O^CD,VA=VB,AD=BD,則下列結論中一定成立的是

（）

V

DB

NAC=BC

B.AB1VC

C.VCLVD

D&VCD-AB=SAABCVO

6.（多選）如圖，在長方體ABCZXAiBGDi中，A4=AB=4,BC=2,M,N分別為棱GDi,CG的中點，則

（）

B

A''L._\D

/7

E------vc

A.A,M,N,8四點共面

B.平面A￡）M_L平面CDDiCi

C.直線BN與所成的角為60°

D.8N〃平面ADM

7.已知/AC8=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點尸到/ACB兩邊AC,8C的距離均為百，那么點尸到平面

ABC的距離為________.

8.如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABC。為矩形,平面PAO_L平面ABC。，PA±PD,PA=PD,E,尸分別為

AD,尸8的中點.

p

B

（1）求證：PE±BC；

（2）求證：平面平面PCD；

（3）求證：所〃平面PCD

B級?綜合應用

9.在空間四邊形A8CZ）中，平面A8O_L平面BC。,且D4J_平面4BC,則△48C的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

■.在正方體ABCD-AiBiCMi中,E,尸分別為8c的中點，則（）

A.平面平面BDDi

B.平面平面AiBD

C.平面SEF〃平面AiAC

D.平面〃平面AiCiD

11.（多選）如圖，四棱錐的底面為矩形,PZ）_L底面ABC。，AO=1,PD=AB=2,點E是PB的中點,

過A,D,￡三點的平面a與平面P3C的交線為/,則（）

A./〃平面PAD

B.AE〃平面PCD

C.直線PA與I所成角的余弦值為?

D.平面a截四棱錐尸-ABC。所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為:

12.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面四邊形ABC。為矩形，SAL平面ABCDP,。分別是線段BS,的中點,

點R在線段S。上.若AS=4,AD=2,AR±PQ,貝UA/?=.

13.如圖，矩形ABC。中，AB=1,BC=a,PAL平面ABC。，若在2c上只有一個點。滿足P。，。。，則a

14.在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD_L平面尸。，底面48C。為梯形，AB//CD,ADLPC.

(1)求證：4。_1平面產(chǎn)。。；

(2)若又是棱PA的中點，求證：對于棱BC上任意一點R板與PC都不平行.

C級?能力提升

15.在長方體ABCD-A/C1D1中，已知AB=2,BC=t,若在線段AB上存在點E,使得EGJ_ED,則實數(shù)r的取值

范圍是.

16.如圖所示的空間幾何體A8CDEFG中，四邊形ABC￡＞是邊長為2的正方形，AE_L平面ABC。，EF//AB,

EG//AD,EF=EG=1.

(1)求證：平面CFG_L平面ACE；

(2)在AC上是否存在一點使得EH〃平面CFG?若存在，求出CH的長；若不存在，請說明理由.

微專題10幾何法求空間角與距離【解析版】

一、幾何法求空間角

【例1】(1)在直三棱柱ABC-ALBIG中，AB±BC,AB=BC=AAi，D,E分別為AC,BC的中點，則異面直

線GO與所成角的余弦值為()

AW

3

c.逗

10D騫

(2)如圖，已知正四棱錐P-A8CD底面邊長為2,側棱長為4,M為側棱PC的中點，則直線與底面ABC。所

成角的正弦值為()

Af

3

c叵D?

6

(3)如圖所示，在三棱錐S-ABC中，ASBC,△ABC都是等邊三角形，且BC=2,SA=g則二面角S-BC-A的

大小為

s

答案：(1)D(2)D(3)60°

解析：(1)設42=2,取46的中點尸，連接CbF,DF,DE,則瓦出i,因為￡>,E分別為AC,BC的中

點，所以r>E〃AB,DE=^AB,因為AiBi^AB,所以BiF=DE,所以四邊形DEBF為平行

四邊形，所以。尸〃RE,所以/G。尸為異面直線Ci。與SE所成的角或補角.因為ABLBC,AB=BC=AA\=2,

D,E分別為AC,BC的中點，所以DF=&E=J12+22=V5,CiF=J12+22=V5,CQ=J(V2)2+22=V6,

所以粵.故選D.

DFV510

(2)作尸。，底面ABC。于O,連接OC,因為正四棱錐尸-4BCD底面邊長為2,故OC=&,又側棱長為4,故

PO=［《。2一。02=舊.又M為側棱PC中點,取OC的中點/，連接AfF,BF,則MF|p<9,且MF_L平面

-BC

ABCD,故是與平面ABC。所成的角，且加尸=/。=孚又8§/武力/=?在八BCM中，由余弦定

理有1BC2+CM2—2BC?CMcos乙BCM=V^.在△BFM中,$皿/知8歹=竺=隼=再.故直線與底面

\BM2<66

ABC。所成角的正弦值為四.

6

(3)如圖所示，取BC的中點D,連接4。，SD,因為△ABC,△SBC都是等邊三角形，所以SB=SC,AB=

AC,因此有AD_L8C,SO_L8C.所以NADS為側面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角.又因為8c=2,所以

SD=^SB2~BD2=^4-1=73,AD=JAB2~BD2=^4-1=73,而SA=W,所以ASZM是正三角形，所以

NAOS=60。，即二面角S-BC-A的大小為60°.

0訓練

1.在三棱柱ABC-AiBiCi中，各棱長都相等，側棱垂直于底面，點。是8G與81c的交點，則AQ與平面BBCC

所成角的正弦值是()

解析：C取BC的中點E,連接。E,AE,如圖.依題意三棱柱ABC-4B1G為正三棱柱，設棱長為2,貝《AE

V3,DE=1,因為。，E分別是2G和BC的中點，所以￡)E〃CCi,所以。及L平面ABC,所以所以

AD=JaE2+DE2=Vm=2.因為AE_LBC,AELDE,BCCiDE=E,所以4E_L平面88clC,所以/4OE是AZ)

與平面班?C所成的角，所以sin/ADE=^=當，所以A。與平面88cle所成角的正弦值是當

2.在正四棱錐尸-ABC。中，M為棱AB上的點，且PA=AB=2AM,設平面PAD與平面PMC的交線為/,則異面直

線I與8c所成角的正切值為.

答案：客

解析：連接CM并延長交ZM的延長線于點N,則點N為平面24。與平面PMC的公共點，所以/即為直線PN,

因為BC〃4),所以NPND或其補角為異面直線/與8c所成角，取D4的中點。，連接。P,則OPLA。，設PA

=AB=2AM=2,則。4=1,OP=V3,0N=3,所以tan//W￡)=^=￥，所以異面直線/與BC所成角的正切值

二、幾何法求距離

【例2】(1)如圖，在四棱錐P-ABCD中，P81,平面ABC。，PB=AB=2BC=4,AB1.BC,則點C到直線PA

的距離為()

A.2V3B.2V5

C.V2D.4

(2)如圖所示，在長方體ABCD-AiBGP中，AO=AAi=2,A2=4,點E是棱4B的中點，則點E到平面ACA

的距離為()

A.1

4

C.-D.V2

3

答案：(1)A(2)B

解析：(1)如圖，取尸A的中點M,連接CM,因為尸平面ABCO,又BCU平面ABCD,所以

PB±BC,又因為AB_LBC,PBCAB=B,PB,ABU平面PAB,所以BC_L平面P4B,又PAU平面PAB,所以

BCLPA,BCLPB,因為M是尸A的中點，PB=AB,所以8M_LPA,又8C_LPA,BMCBC=B,BM,BCU平面

BCM,所以PA_L平面BCM,又CMU平面BCM,所以CM±PA,即CM為點C到直線PA的距離.在等腰

RtAPAB中，BM=曰PB=2五,在RtABCM中，CM=JBM2+BC2=V8T4=2V3,故點C到直線PA的距離為

2V3.

(2)設點E到平面AC。的距離為//,因為點E是棱A8的中點，所以點E到平面ACA的距離等于點8到平面

ACU的距離的一半，又平面AC。過8。的中點，所以點8到平面ACA的距離等于點。到平面ACA的距離，由

等體積法％一4皿=%皿，所以沁母/人孤行/犯，SAACD=|X2X4=4,g=2,在AACDi中，ADi=

2V2,AC=CDi=2V5,所以5口4皿=舜2或義］(24)2-(V2)?=6,則喬6乂2/1=94><2,解得/i=|,即點

E到平面ACDi的距離為(

0訓練

1.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-A8C。中，側棱PA_L底面48C。，ZABC=90°,PA=AB=BC=2,

AD//BC,則AD到平面PBC的距離為.

答案：V2

解析：因為AZ)〃BC,AOC平面RBC,8CU平面尸BC,所以A。〃平面P8C,所以AZ)到平面PBC的距離等于點

A到平面PBC的距離，因為側棱PA_L底面ABCD,所以PA_LAB,PALBC,因為/48C=90。，§PAB±BC,因為

PAdAB=A,所以BC_L平面尸48,所以BC_LP8,因為PA=4B=BC=2,所以PB=2近，設點A到平面P8C的

距離為d,則由V^?#P-ABC=V三棱錐A-P5。得ABC=/?SAPBC,所以：X2X2X2X2=：d><Tx2企義2,得d=a,

所以A￡>到平面PBC的距離為也.

2.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，AB=4,AC=BC=3,。為AB的中點.

(1)求點C到平面AiABBi的距離；

(2)若A2JAC，求二面角4-CDG的余弦值.

解：(1)由AC=BC,。為AB的中點，得CD_LAB.又CD_LA4i,AXA^AB=A,故CD_L平面AiABBi,所以點C

到平面A1AM1的距離為CD=BC2-BD2=V5.

（2）如圖，取線段Aia的中點￡>i,連接"h,則皿〃44i〃CG.

又由（1）知CD_L平面故CD_LA。，CDLDDx,所以為所求的二面角4-CO-G的平面角.

因為4。為4c在平面A1A881上的射影，又已知ABi_L4C,由三垂線定理的逆定理得從而

ZAiABi,N4D4都與/SAB互余，

因此/AiABi=/4ZM,所以RSAIADSRSB1AA因此第=署，即A看=40.43=8,得441=2/.

從而所以在RtAAQ￡）I中，cosNAi￡）￡）i=f^=^^=￥.

即二面角A-CDG的余弦值為日

A級?基礎達標

1.已知平面a,直線機，n,若〃Ua,則“zn_L〃”是“機_La”的（）

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解析：C由〃u%m.Ln,不一定得到M_l_a；反之，由〃Ua,m_La,可得根_L兒.??若〃u明貝《“相_L〃”是

“根J_a"的必要不充分條件.

2.如圖，在斜三棱柱ABC-451cl中，NB4C=90。，BCi±AC,則G在底面45c上的射影H必在（）

4

A.直線上B.直線BC上

C.直線AC上DZABC內(nèi)部

解析：A連接AG（圖略），由AC_LAB,AC±BCi,ABHBCi^B,得AC_L平面ABG.；ACu平面ABC,.?.平

面A2G_L平面ABC,；.Ci在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線A2上.

3.設a,p是兩個平面，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a_L|3,，"〃ct,/〃B，則機_L/

B.若，"Ua,/cp,m//l,貝!Ja〃p

C.若aC0=MJ,I//a,I//p,則加〃/

D.若ZXp,m//1,則a_L|3

解析：C如圖，在正方體ABCD-ALBCLDI中，對于A：設平面a為平面ABCD,平面。為平面4￡>口4,根=

BiCi,l=BC,m//a,/〃B，a±p,但"〃/,故A錯；對于B：m=BC,平面a為平面ABCD,HAD,平面［3為

平面ADDiAi,此時“zUa,/up,m//l,但a與|3不平行，B錯；對于D：平面a為平面ABCD,平面|3為平面

A\B\C\D\,m—AAi,l—BBi,此時〃z_La,Z±p,m//l,但a與p平行不垂直，D錯.

4.如圖，設平面aC平面0=P。，EG,平面a,切，平面a,垂足分別為G,H.為使PQLGH,則需增加的一個條

件是（）

A.EF_L平面aB.EF_L平面p

C.PQ1GED.PQ±FH

解析：B因為EG,平面a,PQU平面a,所以EG,尸。.若EFL平面0,則由PQU平面印得EFLPQ.又EG與

￡廠為相交直線，所以尸。，平面EFHG,所以尸

5.（多選）如圖，在三棱錐V-ABC中，VO_L平面ABC,OGCD,VA=VB,AD=BD,則下列結論中一定成立的是

（）

XAC=BC

B.AB1VC

C.VCLVD

D.SAVCD-AB=S^ABC-VO

解析：ABD：VO_L平面ABC,ABU平面ABC,：.VO±AB,\'VA=VB,AD^BD,VD_L4A又：VOAVD=

V,平面VCD又：CDU平面VCO,.*.48_1。。又：4。=8。，：.AC=BC,故A正確；：ycu平面VCO,

：.AB±VC,故B正確；'：S^VCD=^VO-CD,ABC^AB-CD,：.VCD-AB=SAABC-VO,故D正確.由題中條件無法

判斷VC_LVD,故選A、B、D.

6.(多選)如圖，在長方體ABCDAiSCiQi中，A4i=AB=4,BC=2,M,N分別為棱CiA，CG的中點，貝U

()

A.A,M,N,B四點共面

B.平面4Z）M_L平面CDDiCi

C.直線BN與&/所成的角為60°

D.8N〃平面ADM

解析：BC如圖所示，對于A中，直線AM,BN是異面直線，故A,M,N,8四點不共面，故A錯誤;

對于B中，在長方體ABCZXAiBiCQi中，可得A￡)_L平面CDD1G,所以平面A￡)M_L平面CDDiG,故B正確;

A,D,

對于C中，取C￡)的中點。，連接B。，ON,則BiM〃2。，所以直線BN與所成的角為NNBO(或其補角).

易知△BCW為等邊三角形，所以NN2O=60。，故C正確；

對于D中，因為8N〃平面A4i。。，顯然8N與平面AQM不平行，故D錯誤.

7.已知NACB=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點尸到NACB兩邊AC,BC的距離均為,，那么點尸到平面

ABC的距離為.

答案：V2

解析：如圖，過點尸作PO_L平面A8C于O,則PO為點P到平面ABC的距離.再過。作OE_LAC于E,OFLBC

于凡連接PE,PF,貝！|PE_LAC,P/tLBC.所以PE=PF=遮，所以OE=OF,所以CO為/ACB的平分線，即

NACO=45。.在R3PEC中，PC=2,PE=W,所以CE=1,所以OE=1,所以PO=JPE2—0E?=

J(V3)2-i2=V2.

*

8汝口圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為矩形，平面PAZ)_L平面A5CD,PALPD,PA=PD,E,b分別為

AD,尸3的中點.

P

fi

(1)求證：PELBC-,

(2)求證：平面PAB_L平面尸CD；

(3)求證：EF〃平面PCD

證明：(1)因為E為A￡)的中點，

所以PEYAD.

因為底面ABCQ為矩形，

所以BC〃A。，所以PE_LBC.

(2)因為底面ABCO為矩形，所以

又因為平面PAO_L平面4BC。，平面PAOC平面ABCZ)=A。，ABU平面ABC。，

所以A3,平面PAD,

因為PDU平面PAD,所以AB±PD.

又因為P4J_P￡),ABHPA^A,

所以P￡)_L平面PAB.

因為PDU平面PCD,

所以平面PAB_L平面PCD.

(3)如圖，取PC的中點G,連接PG,DG.

因為EG分別為P3,PC的中點，

所以FG〃BC,FG=-BC.

因為四邊形ABC。為矩形，且E為AD的中點，

所以DE〃BC,DE=^BC.

所以。E〃FG,DE=FG.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.

所以所〃DG

又因為EFC平面PC。，DGu平面PC。，

所以EF〃平面PCD.

B級?綜合應用

9.在空間四邊形A8C。中，平面平面BCD,且。A_L平面ABC,則△ABC的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

解析：B作交BD于E,:平面平面BCD,.,.AE_L平面2C￡),BCU平面BC。，C.AELBC,

而ZM_L平面ABC,BCU平面ABC,J.DALBC,^'：AEDAD=A,...BCl,平面480,而ABU平面48。，

C.BCLAB,即△ABC為直角三角形.

10.在正方體ABCD-AiSGA中，E,尸分別為42,BC的中點，則()

A.平面平面BDDi

B.平面SEF_L平面AiBD

C.平面81EF〃平面AiAC

D.平面BEP〃平面AiCiD

解析：A如圖，對于選項A,在正方體ABCD-AiSGA中，因為￡,尸分別為AB,2C的中點，所以E尸〃AC,

又AC_L3￡),所以E尸工BD,又易知DD』EF,BD^DDi=D,從而EF_L平面8。。1,又EFU平面B/F,所以平

面B￡7、L平面故選項A正確；對于選項B,因為平面4由?？谄矫?￡>5=8￡),所以由選項A知，平面

修所，平面43。不成立，故選項B錯誤；對于選項C,由題意知直線與直線SE必相交，故平面SEF與平

面4AC不平行，故選項C錯誤；對于選項D,連接ABi,BC,易知平面ASC〃平面4GZ),又平面A&C與平

面SEP有公共點Bi,所以平面4CLD與平面SEF不平行，故選項D錯誤.故選A.

AEB

11.(多選)如圖，四棱錐P-ABCZ)的底面為矩形，底面4BCD,4。=1,PO=A8=2,點E是尸2的中點,

過A,D,E三點的平面a與平面P2C的交線為/,貝！I()

AJ〃平面PAD

B.AE〃平面PCD

C.直線PA與/所成角的余弦值為個

D.平面a截四棱錐PABC。所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為|

解析：ACD如圖，取PC的中點e連接EF,DF,則AD〃所，即A,D,E,尸四點共面，即/為EF,對于

A,EF//AD,所以所〃平面PAD,即/〃平面PAD,故A正確；

對于B,由斯〃A￡),若AE〃平面PCD,則必有AE〃。冗即四邊形ADEE為平行四邊形，則AO=EF,矛盾,

故B錯誤；

對于C,PA與/所成的角，即PA與所所成的角，即PA與A。所成的角，由底面A2C。，所以

cosZPAD=—=—,故C正確；

AP5

對于D,連接B￡),丫尸-45。=￥。6矩形488=:義2乂2==,VABCDEF=VA-BDE~^~VD-BCFE=T;XX

產(chǎn)出空=干=|,故D正確.

vABCDEF-5

12.如圖，在四棱錐S48C。中，底面四邊形A8C。為矩形，平面ABCDP,。分別是線段2S,A。的中點,

點R在線段S。上.若AS=4,AD=2,ARLPQ,則AR=.

DQ-----1

竺宓?述

口木?

解析：如圖，取SA的中點E,連接PE,QE.：SAJ_平面ABC。，ABU平面ABC。，：.SA±AB,而ABJ_AO,

ADHSA^A,AD,SAU平面SAD,平面SAD,故PE_L平面SAD,又ARU平面&4￡>,；.P￡_LAR又

'：AR±PQ,PEDPQ=P,PE,PQU平面PEQ,...AR，平面PEQ,：EQU平面PEQ,C.ARYEQ,'：E,。分別

為SA,AD的中點，：.EQ//SD,貝!]AA_LSD,在RsASO中，AS=4,AD=2,可求得SO=2而，由等面積法可

得AR^—.

13.如圖，矩形ABC。中，AB=1,BC=a,PAX5??ABCD,若在2C上只有一個點。滿足PQ_LDQ,則a

答案：2

解析：如圖，連接A。，取AD的中點。，連接。。.

平面ABCD,：.PA±DQ,XPQ-LDQ,二。。，平面PAQ,；.r)Q_L4Q..,.點。在以線段的中點。為圓

心，A￡)為直徑的圓上，又：在2C上有且僅有一個點。滿足尸。，。。，...BC與圓。相切(否則相交就有兩點滿

足垂直，矛盾)，AOQLBC,'：AD//BC,：.OQ^AB^l,，2C=A￡>=2,即。=2.

14.在四棱錐P-A8C。中，平面ABCO_L平面尸C。，底面48CD為梯形，AB//CD,AD±PC.

(1)求證：ADJ_平面PDC；

(2)若M是棱P4的中點，求證：對于棱BC上任意一點凡加/與PC都不平行.

證明：(1)在平面PCD中過點。作Z)H_LOC,交PC于”，

因為平面ABCD_L平面PCQ,OHU平面尸CD,平面A8COC平面尸CD=C。,

所以。H_L平面ABCD,

因為A￡)u平面ABCD,

所以DHL