2025屆廣東省汕頭市名校數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆廣東省汕頭市名校數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，，使得則實(shí)數(shù)的值不可能為A. B.C. D.2．化簡(jiǎn)：（）A B.C. D.3．已知函數(shù)，則的值是A.-24 B.-15C.-6 D.124．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，則（）A. B.C. D.5．直線截圓所得的線段長(zhǎng)為（）A.2 B.C.1 D.6．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．設(shè)、是兩個(gè)非零向量，下列結(jié)論一定成立的是（）A.若，則B.若，則存在實(shí)數(shù)，使得C若，則D.若存在實(shí)數(shù)，使得，則|8．若點(diǎn)和都在直線上，又點(diǎn)和點(diǎn)，則A.點(diǎn)和都不直線上 B.點(diǎn)和都在直線上C.點(diǎn)直線上且不在直線上 D.點(diǎn)不在直線上且在直線上9．已知函數(shù)，則（）A.2 B.5C.7 D.910．過(guò)點(diǎn)，直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)，使；②函數(shù)是偶函數(shù)；③若是第一象限角，且，則；④是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程以上命題是真命題的是_______（填寫(xiě)序號(hào)）12．已知在同一平面內(nèi)，為銳角,則實(shí)數(shù)組成的集合為_(kāi)________13．的值__________.14．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______15．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是______.16．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求下列表達(dá)式的值：①；②.18．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．已知函數(shù)，設(shè).（1）證明：若，則；（2）若，滿足，求實(shí)數(shù)m的范圍.20．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－3，4）（1）求，的值；（2）的值21．為了做好新冠疫情防控工作，某學(xué)校要求全校各班級(jí)每天利用課間操時(shí)間對(duì)各班教室進(jìn)行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測(cè)定，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時(shí)間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過(guò)程中與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)），其圖象經(jīng)過(guò)，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問(wèn)題.（1）求從藥物釋放開(kāi)始，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下時(shí)，才能保證對(duì)人身無(wú)害，若該校課間操時(shí)間為分鐘，據(jù)此判斷，學(xué)校能否選用這種藥物用于教室消毒？請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由，可得，根據(jù)在上有且僅有兩個(gè)最大值，可求解實(shí)數(shù)的范圍，從而可得結(jié)果【詳解】函數(shù)；由，可得，因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，使得所以在上有且僅有兩個(gè)最大值，因?yàn)?，，則；所以實(shí)數(shù)的值不可能為，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】,故選：D3、C【解析】∵函數(shù)，∴，故選C4、D【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，∴a＞b＞c.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】先算出圓心到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得答案.【詳解】圓，即圓心.圓心C到直線的距離，則直線截圓所得線段長(zhǎng)為：.故選：C.6、A【解析】函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出的圖象，結(jié)合圖象求解即可【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，，故選：A7、B【解析】利用向量共線定理、垂直數(shù)量積為0來(lái)綜合判斷.【詳解】A：當(dāng)、方向相反且時(shí)，就可成立，A錯(cuò)誤；B：若，則、方向相反，故存在實(shí)數(shù)，使得，B正確；C：若，則說(shuō)明，不一定有，C錯(cuò)誤；D：若存在實(shí)數(shù)，使得，則，D錯(cuò)誤.故選：B8、B【解析】由題意得：，易得點(diǎn)滿足由方程組得，兩式相加得，即點(diǎn)在直線上，故選B.9、D【解析】先求出，再求即可，【詳解】由題意得，所以，故選：D10、A【解析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②④【解析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：①因?yàn)?，故不存在?shí)數(shù)，使得成立，錯(cuò)誤；②函數(shù)，由于是偶函數(shù)，故是偶函數(shù)，正確；③若，均為第一象限角，顯然，故錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，由于是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程，正確.故正確的命題是：②④故答案為：②④12、【解析】分析：根據(jù)夾角為銳角得向量數(shù)量積大于零且向量不共線，解得實(shí)數(shù)組成的集合.詳解：因?yàn)闉殇J角，所以且不共線，所以因此實(shí)數(shù)組成的集合為，點(diǎn)睛：向量夾角為銳角的充要條件為向量數(shù)量積大于零且向量不共線，向量夾角為鈍角的充要條件為向量數(shù)量積小于零且向量不共線.13、1【解析】由，結(jié)合輔助角公式可知原式為，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及二倍角公式可求值.【詳解】解：.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式，考查了輔助角公式，考查了誘導(dǎo)公式.本題的難點(diǎn)是熟練運(yùn)用公式對(duì)所求式子進(jìn)行變形整理.14、【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果【詳解】若，則，，若，則，，若，則，，，，，，設(shè)和，則方程在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)為函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不同的零點(diǎn)作出函數(shù)和的圖象，如圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線為，要使方程，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，則，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題15、【解析】由題意在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，則不等式可化為，則，，解得16、【解析】如圖可知函數(shù)的最大值，當(dāng)時(shí)，代入，，當(dāng)時(shí)，代入，，解得則函數(shù)的解析式為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）①，②；【解析】（1）直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）依題意可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋?；【小?wèn)2詳解】解：由，得①②18、（1），（2）在上為減函數(shù)（3）【解析】（1）由，求得，再由，求得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，即可求解；（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義及判定方法，即可求解；（3）根據(jù)題意化簡(jiǎn)不等式為在有解，結(jié)合正弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，可得，解得，即，又由，可得，解得，所以，又由，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：由，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上增函數(shù)且，所以，即，所以在上為減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】解：由函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，即，可得，又由?duì)任意的，不等式有解，即在有解，因?yàn)?，則，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先判斷為偶函數(shù)，再由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，有，進(jìn)而可得結(jié)論，（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，再由的奇偶性和單調(diào)性可得，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，換元后變形利用基本不等式可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】證明：因，所以函數(shù)為偶函數(shù).任取，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以，即，由單調(diào)性定義知，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，即【小問(wèn)2詳解】由整理得，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，易證在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，故，即，由題意知，，即令，因?yàn)?，由單調(diào)性可知，，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.即，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的證明，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后分離參數(shù)得，換元整理后利用基本不等式可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題20、（1）；（2）.【解析】（1）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα，cosα的值（2）由條件利用誘導(dǎo)公式，求得的值【詳解】解：（1）∵角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣3，4），故，.（2）由（1）得.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題21、（1）；（2）可以，理由見(jiàn)解析.【解析】(1)將圖象上給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式計(jì)算作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合題意，列出不等式求解作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，因函數(shù)的圖象經(jīng)