江蘇省泰興市實(shí)驗(yàn)初中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

江蘇省泰興市實(shí)驗(yàn)初中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某市物價(jià)部門對(duì)5家商場的某商品一天的銷售量及其售價(jià)進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價(jià)（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示.按公式計(jì)算，與的回歸直線方程是，則下列說法錯(cuò)誤的是（）售價(jià)99.51010.511銷售量1110865A.B.售價(jià)變量每增加1個(gè)單位時(shí)，銷售變量大約減少3.2個(gè)單位C.當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為12.8D.銷售量與售價(jià)成正相關(guān)2．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.24．已知圓：，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（）A. B.C. D.5．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.6．已知命題p：?x＞2，x2＞2x，命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，則下列命題是真命題的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q7．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.38．設(shè)集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.810．曲線上存在兩點(diǎn)A，B到直線到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.1511．我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請(qǐng)問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.12．復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，則對(duì)角線的長度為___.14．已知圓錐的高為，體積為，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.15．圓與圓的位置關(guān)系為______(填相交，相切或相離).16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍城的“心形”區(qū)域的面積小于3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)且前項(xiàng)和為，求18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知點(diǎn)，直線：，直線m過點(diǎn)N且與垂直，直線m交圓于兩點(diǎn)A，B.（1）求直線m的方程；（2）求弦AB的長.20．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）求的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.22．（10分）曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿足，且直線的斜率之積等于（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】首先求出、，再根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)，即可求出，再根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，，與回歸直線方程，恒過定點(diǎn)，，解得，故A正確，所以回歸直線方程為，即售價(jià)變量每增加1個(gè)單位時(shí)，銷售變量大約減少3.2個(gè)單位，故B正確；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為12.8，故C正確；因?yàn)榛貧w直線方程為，所以銷售量與售價(jià)成負(fù)相關(guān)，故D錯(cuò)誤；故選：D2、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D3、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C4、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?、是圓的兩條切線，所以，因此點(diǎn)、在以為直徑的圓上，因?yàn)辄c(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，點(diǎn)，因此的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，，因此以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由圓的切線性質(zhì)得到點(diǎn)、在以為直徑的圓上，運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.6、B【解析】取x＝4，得出命題p是假命題，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出命題q是假命題，再判斷選項(xiàng).【詳解】命題p：?x＞2，x2＞2x，是假命題，例如取x＝4，則42＝24；命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命題，∵?x∈R，ln（x2+1）≥0.則下列命題是真命題的是.故選：B.7、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問題的關(guān)鍵.8、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A9、D【解析】由等比中項(xiàng)轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即得解【詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D10、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點(diǎn)，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項(xiàng)即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C12、C【解析】化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用，兩邊平方后，利用向量數(shù)量積計(jì)算公式，計(jì)算得.【詳解】對(duì)兩邊平方并化簡得,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量的加法和減法運(yùn)算，考查空間向量數(shù)量積的表示，屬于中檔題.14、【解析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑，利用勾股定理可得母線長；根據(jù)球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐體積，，，以為半徑的球的表面積.故答案為：.15、相交【解析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值比較即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.16、①②【解析】根據(jù)題意，先判斷曲線關(guān)于軸對(duì)稱，由基本不等式的性質(zhì)對(duì)方程變形，得到，可判定①正確；當(dāng)時(shí)，，得到曲線右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對(duì)稱性，可判定②正確；由軸的上方，圖形的面積大于四點(diǎn)圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點(diǎn)圍成的三角形的面積，可判斷③不正確.【詳解】根據(jù)題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)于①中，當(dāng)時(shí)，，即為，可得，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性可知，曲線還經(jīng)過點(diǎn)，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)，所以①正確；對(duì)于②中，由①可知，當(dāng)時(shí)，，即曲線右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，所以②正確；對(duì)于③中，因?yàn)樵谳S的上方，圖形的面積大于四點(diǎn)圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點(diǎn)圍成的三角形的面積，所以曲線所圍城的“心形”區(qū)域的面積大于3，所以③不正確.故選：①②三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算，利用并項(xiàng)求和法可求得.【小問1詳解】證明：對(duì)任意的，，則，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比也為，故.【小問2詳解】解：，所以，，因此，.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關(guān)系，利用求解出數(shù)列的首項(xiàng)，然后當(dāng)時(shí)，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關(guān)系，從而完成證明；（2）利用第（1）問求解出的數(shù)列的通項(xiàng)公式，帶入到中，再使用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，根據(jù)最后計(jì)算的結(jié)果與比較即可完成證明.【小問1詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.得證.【小問2詳解】由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.19、（1）（2）【解析】（1）求出斜率，用點(diǎn)斜式求直線方程；（2）利用垂徑定理求弦長.【小問1詳解】因?yàn)橹本€：，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€m過點(diǎn)N且與垂直，所以直線的斜率為，又過點(diǎn)，所以直線：，即【小問2詳解】直線與圓相交，則圓心到直線的距離為：，圓的半徑為，所以弦長20、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項(xiàng)相消去求解作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.【小問2詳解】由(1)知，，所以.21、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算作答.(2)求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù).【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.22、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線的斜率之積等于，列出方程，化簡對(duì)比系數(shù)可得；（2）分直線l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線上，且該直線是的中垂線即可得到證明.【小問1詳解】因?yàn)镃上的點(diǎn)M滿足，所以