2022-2023學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版必修第二冊(cè)）專(zhuān)題7.3 萬(wàn)有引力理論的成就（原卷版）

專(zhuān)題7.3萬(wàn)有引力理論的成就【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系1】 【題型2萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系2】 【題型3對(duì)比問(wèn)題】 【題型4追及問(wèn)題】 【題型5估算問(wèn)題】 【題型6同步衛(wèi)星】 【題型7拉格朗日點(diǎn)】 【題型8黑洞問(wèn)題】 【題型1萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系1】【例1】一火箭從地面由靜止開(kāi)始以5m/s2的加速度豎直向上勻加速運(yùn)動(dòng)，火箭中有一質(zhì)量為1.6kg的科考儀器，在上升到距地面某一高度時(shí)科考儀器的視重為9N，則此時(shí)火箭離地球表面的距離為地球半徑的(地球表面處的重力加速度g取10m/s2)()A.eq\f(1,2)倍B．2倍C．3倍D．4倍【變式1-1】假設(shè)在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過(guò)時(shí)間t物體落回月球表面，物體上升的最大高度為h。已知月球半徑為R，引力常量為G，不計(jì)一切阻力。則月球的密度為()A.eq\f(3πh,4Rt2)B.eq\f(6πh,GRt2)C.eq\f(6h,GπRt2)D.eq\f(8πh,3GRt2)【變式1-2】(多選)2021年5月15日，“天問(wèn)一號(hào)”火星探測(cè)器所攜帶的祝融號(hào)火星車(chē)及其著陸組合體成功著陸于火星，這標(biāo)志著我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)取得圓滿(mǎn)成功。假設(shè)火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的a倍，火星半徑是地球半徑的b倍，地球表面的重力加速度為g，質(zhì)量均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零，則()A．火星表面重力加速度為eq\f(ag,b2)B．火星表面重力加速度為eq\f(b2g,a)C．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,2b2)D．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,4b2)【變式1-3】2020年12月17日，“嫦娥五號(hào)”成功返回，標(biāo)志著中國(guó)全面掌握無(wú)人地月往返系列技術(shù)。已知地球半徑為月球半徑的p倍，地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的q倍。若探測(cè)器在地球表面以某一初速度豎直向上射出一物體，忽略空氣阻力，其上升的最大高度為h0。忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，該探測(cè)器在月球表面以相同的初速度豎直向上射出同一物體，其上升的最大高度為()A.eq\f(qh0,p2)B.eq\f(h0p2,q)C.eq\f(h0,qp2) D．qp2h0【題型2萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系2】【例2】某類(lèi)地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，則該天體的半徑為()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2－g1T2,4π2) D.eq\f(g1＋g2T2,4π2)【變式2-1】(多選)萬(wàn)有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來(lái)。用彈簧測(cè)力計(jì)稱(chēng)量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱(chēng)量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說(shuō)法正確的是()A．在北極地面稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)【變式2-2】將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時(shí)，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時(shí)，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)【變式2-3】宇航員在某星球上為了探測(cè)其自轉(zhuǎn)周期做了如下實(shí)驗(yàn)：在該星球兩極點(diǎn)，用彈簧秤測(cè)得質(zhì)量為M的砝碼所受重力為F，在赤道測(cè)得該砝碼所受重力為F′。他還發(fā)現(xiàn)探測(cè)器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)。假設(shè)該星球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則其自轉(zhuǎn)周期為()A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))【題型3對(duì)比問(wèn)題】【例3】我國(guó)發(fā)射的第三十二顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星屬于傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星入軌并完成在軌測(cè)試后，將接入北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，為用戶(hù)提供更可靠服務(wù)。通過(guò)查詢(xún)，傾斜地球同步軌道衛(wèi)星是運(yùn)轉(zhuǎn)軌道面與地球赤道面有夾角的軌道衛(wèi)星，它的運(yùn)轉(zhuǎn)周期也是24小時(shí)，如圖所示，關(guān)于該北斗導(dǎo)航衛(wèi)星說(shuō)法正確的是()A．該衛(wèi)星可定位在北京的正上空B．該衛(wèi)星與地球靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小是不等的C．該衛(wèi)星的發(fā)射速度v≤7.9km/sD．該衛(wèi)星的角速度與放在北京地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相等【變式3-1】我國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”已于酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，將在世界上首次實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信。“墨子”將由火箭發(fā)射至高度為500km的預(yù)定圓形軌道。此前在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第二十三顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星G7，G7屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(高度約為36000km)，它將使北斗系統(tǒng)的可靠性進(jìn)一步提高。關(guān)于衛(wèi)星以下說(shuō)法中正確的是()A．這兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行速度可能大于7.9km/sB．通過(guò)地面控制可以將北斗G7定點(diǎn)于西昌正上方C．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的周期比北斗G7的周期小D．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小【變式3-2】“太空電梯”的概念最初出現(xiàn)在1895年，由康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的強(qiáng)度最高的材料——石墨烯的發(fā)現(xiàn)使“太空電梯”制造成為可能，人類(lèi)將有望通過(guò)“太空電梯”進(jìn)入太空。設(shè)想在地球赤道平面內(nèi)有一垂直于地面并延伸到太空的輕質(zhì)“太空電梯”，如圖所示，假設(shè)某物體b乘坐太空電梯到達(dá)了圖示位置并相對(duì)電梯靜止，與同高度運(yùn)行的衛(wèi)星a、更高處同步衛(wèi)星c相比較。下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)與b都是高度相同的人造地球衛(wèi)星B．b的線(xiàn)速度小于c的線(xiàn)速度C．b的線(xiàn)速度大于a的線(xiàn)速度D．b的加速度大于a的加速度【變式3-3】(多選)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星a還未發(fā)射，在赤道表面上隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，衛(wèi)星b是近地軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星c是地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星d是高空探測(cè)衛(wèi)星，它們均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，各衛(wèi)星排列位置如圖所示，則()A．衛(wèi)星a的向心加速度等于重力加速度g，衛(wèi)星c的向心加速度大于衛(wèi)星d的向心加速度B．在相同時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，衛(wèi)星a、c轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的角度相等C．衛(wèi)星c在4小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是eq\f(π,3)，衛(wèi)星a在2小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是eq\f(π,6)D．衛(wèi)星b的周期一定小于衛(wèi)星d的周期，衛(wèi)星d的周期一定小于24小時(shí)【題型4追及問(wèn)題】【例4】(多選)如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞地心O做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向相反。A衛(wèi)星的周期為T(mén)1，B衛(wèi)星的周期為T(mén)2，在某一時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則(引力常量為G)()A．兩衛(wèi)星下一次相距最近需經(jīng)過(guò)時(shí)間t＝eq\f(T1T2,T1＋T2)B．兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為eq\r(3,\f(T12,T22))C．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球的密度D．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球表面的重力加速度【變式4-1】三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時(shí)刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)1，B的周期為T(mén)2，則下列說(shuō)法正確的是()A．A加速可追上同一軌道上的CB．經(jīng)過(guò)時(shí)間eq\f(T1T2,2T1－T2)，A、B相距最遠(yuǎn)C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度D．A、B與地心連線(xiàn)在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等【變式4-2】我國(guó)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)于2020年已全面建成，是繼GPS、GLONASS之后第三個(gè)成熟的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。該衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)空間段包括5顆靜止軌道衛(wèi)星和30顆非靜止軌道衛(wèi)星，靜止軌道衛(wèi)星是地球同步軌道衛(wèi)星的一種。若一顆與地球同步軌道衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)的人造地球衛(wèi)星在自西向東繞地球運(yùn)行，已知它的運(yùn)行半徑為同步軌道半徑的四分之一，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，某時(shí)刻該衛(wèi)星與地球同步軌道衛(wèi)星相距最近，則到下一次兩衛(wèi)星相距最近經(jīng)歷的最短時(shí)間為()A.eq\f(T,9)B.eq\f(T,8)C.eq\f(T,7)D.eq\f(T,4)【變式4-3】當(dāng)?shù)厍蛭挥谔?yáng)和木星之間且三者幾乎排成一條直線(xiàn)時(shí)，稱(chēng)之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽(yáng)近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木星到太陽(yáng)的距離大約是地球到太陽(yáng)距離的5倍．則下列說(shuō)法正確的是()A．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2024年B．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2023年C．木星運(yùn)行的加速度比地球的大D．木星運(yùn)行的周期比地球的小【題型5估算問(wèn)題】【例5】宇航員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度ρ.【變式5-1】若將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距地面的高度為h，運(yùn)行周期為T(mén)，已知萬(wàn)有引力常量為G，地球半徑為R。則地球質(zhì)量M和地球的平均密度ρ分別為()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)C．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)D．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)【變式5-2】2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線(xiàn)速度和繞地半徑【變式5-3】(多選)已知引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間T1(地球自轉(zhuǎn)周期)，一年的時(shí)間T2(地球公轉(zhuǎn)周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離L2.你能計(jì)算出()A．地球的質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)B．太陽(yáng)的質(zhì)量m太＝eq\f(4π2L23,GT22)C．月球的質(zhì)量m月＝eq\f(4π2L13,GT12)D．太陽(yáng)的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT22)【題型6同步衛(wèi)星】【例6】(多選)如圖所示，衛(wèi)星a、b、c沿圓形軌道繞地球運(yùn)行．a(chǎn)是極地軌道衛(wèi)星，在地球兩極上空約1000km處運(yùn)行；b是低軌道衛(wèi)星，距地球表面高度與a相等；c是地球同步衛(wèi)星，則()A．a(chǎn)、b的周期比c大B．a(chǎn)、b的向心力大小一定相等C．a(chǎn)、b的線(xiàn)速度大小相等D．a(chǎn)、b的向心加速度比c大【變式6-1】2021年4月29日，我國(guó)在海南文昌用長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭成功將空間站天和核心艙送入預(yù)定軌道。核心艙運(yùn)行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km。則該核心艙的()A．角速度比地球同步衛(wèi)星的小B．周期比地球同步衛(wèi)星的長(zhǎng)C．向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大D．線(xiàn)速度比地球同步衛(wèi)星的小【變式6-2】“祝融號(hào)”火星車(chē)登陸火星之前，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個(gè)火星日。假設(shè)某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個(gè)火星日。已知一個(gè)火星日的時(shí)長(zhǎng)約為一個(gè)地球日，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為()A.eq\r(3,4)B.eq\r(3,\f(1,4))C.eq\r(3,\f(5,2))D.eq\r(3,\f(2,5))【變式6-3】如圖所示，極地衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面通過(guò)地球的南北兩極(軌道可視為圓軌道、地球視為球體)，若一個(gè)極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向第一次運(yùn)行至赤道正上方時(shí)所用的時(shí)間為0.25h，已知緯度是指某點(diǎn)與地球球心的連線(xiàn)和地球赤道面所成的線(xiàn)面角，同步衛(wèi)星的線(xiàn)速度大小為3.08km/s，則該極地衛(wèi)星的線(xiàn)速度大小為()A．1.54km/s B．3.08km/sC．6.16km/s D．7.9km/s【題型7拉格朗日點(diǎn)】【例7】我國(guó)發(fā)射的衛(wèi)星成功進(jìn)入了“拉格朗日點(diǎn)”的軌道，我國(guó)成為世界上第三個(gè)造訪該點(diǎn)的國(guó)家，如圖所示。該“拉格朗日點(diǎn)”位于太陽(yáng)與地球連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，一飛行器位于該點(diǎn)，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，則該飛行器的()A．向心力僅由太陽(yáng)的引力提供B．周期小于地球公轉(zhuǎn)的周期C．繞速度大于地球公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度D．向心加速度小于地球公轉(zhuǎn)的向心加速度【變式7-1】(多選)地月系統(tǒng)是雙星模型，為了尋找航天器相對(duì)地球和月球不動(dòng)的位置，科學(xué)家們做出了不懈努力．如圖所示，歐拉推導(dǎo)出L1、L2、L3三個(gè)位置，拉格朗日又推導(dǎo)出L4、L5兩個(gè)位置．現(xiàn)在科學(xué)家把L1、L2、L3、L4、L5統(tǒng)稱(chēng)地月系中的拉格朗日點(diǎn)．中國(guó)“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功登陸月球背面，并通過(guò)處于拉格朗日區(qū)的“嫦娥四號(hào)”中繼衛(wèi)星“鵲橋”把信息返回地球，引起眾多師生對(duì)拉格朗日點(diǎn)的熱議．下列說(shuō)法正確的是()A．在拉格朗日點(diǎn)航天器的受力不再遵循萬(wàn)有引力定律B．在不同的拉格朗日點(diǎn)航天器隨地月系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期均相同C．“嫦娥四號(hào)”中繼衛(wèi)星“鵲橋”應(yīng)選擇L1點(diǎn)開(kāi)展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)D．“嫦娥四號(hào)”中繼衛(wèi)星“鵲橋”應(yīng)選擇L2點(diǎn)開(kāi)展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)【變式7-2】如圖所示，拉格朗日點(diǎn)L1位于地球和月球連線(xiàn)上，處在該點(diǎn)的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運(yùn)動(dòng)．據(jù)此，科學(xué)家設(shè)想在拉格朗日點(diǎn)L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運(yùn)動(dòng)．以a1、a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大?。韵屡袛嗾_的是()A．a(chǎn)2>a3>a1 B．a(chǎn)2>a1>a3C．a(chǎn)3>a1>a2 D．a(chǎn)3>a2>a1【變式7-3】我國(guó)中繼衛(wèi)星“鵲橋”是運(yùn)行于地月拉格朗日點(diǎn)的通信衛(wèi)星，點(diǎn)位于地球和月球連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，“鵲橋”可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知“鵲橋”質(zhì)量遠(yuǎn)小于月球質(zhì)量，可忽略“鵲橋”對(duì)月球的影響，地球與月球的中心距離為r，點(diǎn)與月球的中心距離為，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，引力常量為G。求：（1）“鵲橋”在點(diǎn)的加速度大小a；（2）地球質(zhì)量與月球質(zhì)量的比值?！绢}型8黑洞問(wèn)題】【例8】(多選)2019年人類(lèi)天文史上首張黑洞圖片正式公布．在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過(guò)程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過(guò)程也被稱(chēng)之為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以?xún)烧哌B線(xiàn)上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．在剛開(kāi)始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()A．兩者之間的萬(wàn)有引力變大B．黑洞的角速度變大C．恒星的線(xiàn)速度變大D．黑洞的線(xiàn)速度變大【變式8-1】科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1000AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M【變式8-2】如圖所示為人類(lèi)歷史上第一張黑洞照片。黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無(wú)法逃逸，科學(xué)家一般通過(guò)觀測(cè)繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律間接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度為v＝eq\r(\f(2GM,R))，其中引力常量為G，M是該黑洞的質(zhì)量，R是該黑洞的半徑。若天文學(xué)家觀測(cè)到與該黑洞相距為r的天體以周期T繞該黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)于該黑洞的說(shuō)法正確的是()A．該黑洞的質(zhì)量為eq\f(GT2,4πr3)B．該黑洞的質(zhì)量為eq\f(4πr3,GT2)C．該黑洞的最大半徑為eq\f(4π2r3,c2)D．該黑洞的最大半徑為eq\f(8π2r3,c2T2)【變式8-3】2016年2月11日，科學(xué)家宣布“激光干涉引力波天文臺(tái)(LIGO)”探測(cè)到由兩個(gè)黑洞合并產(chǎn)生的引力波信號(hào)，這是在愛(ài)因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接觀測(cè)到。在兩個(gè)黑洞合并過(guò)程中，由于彼此間的強(qiáng)大引力作用，會(huì)形成短時(shí)間的雙星系統(tǒng)。如圖所示，黑洞A、B可視為質(zhì)點(diǎn)，它們圍繞連線(xiàn)上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且AO大于BO，不考慮其他天體的影響。下列說(shuō)法正確的是()A．黑洞A的向心力大于B的向心力B．黑洞A的線(xiàn)速度大于B的線(xiàn)速度C．黑洞A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量D．兩黑洞之間的距離越大，A的周期越小

參考答案【題型1萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系1】【例1】一火箭從地面由靜止開(kāi)始以5m/s2的加速度豎直向上勻加速運(yùn)動(dòng)，火箭中有一質(zhì)量為1.6kg的科考儀器，在上升到距地面某一高度時(shí)科考儀器的視重為9N，則此時(shí)火箭離地球表面的距離為地球半徑的(地球表面處的重力加速度g取10m/s2)()A.eq\f(1,2)倍B．2倍C．3倍D．4倍答案C解析在上升到距地面某一高度時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得FN－mg′＝ma，解得g′＝eq\f(10,16)m/s2＝eq\f(g,16)，因?yàn)镚eq\f(M,r2)＝g′，可得r＝4R，則此時(shí)火箭離地球表面的距離為地球半徑R的3倍，選C.【變式1-1】假設(shè)在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過(guò)時(shí)間t物體落回月球表面，物體上升的最大高度為h。已知月球半徑為R，引力常量為G，不計(jì)一切阻力。則月球的密度為()A.eq\f(3πh,4Rt2)B.eq\f(6πh,GRt2)C.eq\f(6h,GπRt2)D.eq\f(8πh,3GRt2)[解析]設(shè)月球質(zhì)量為M，月球表面重力加速度為g′，由自由落體運(yùn)動(dòng)公式得h＝eq\f(1,2)g′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))2，月球表面質(zhì)量為m的物體所受重力mg′＝Geq\f(Mm,R2)，月球體積為V＝eq\f(4,3)πR3，則月球的密度為ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立以上各式得ρ＝eq\f(6h,GπRt2)，C正確。[答案]C【變式1-2】(多選)2021年5月15日，“天問(wèn)一號(hào)”火星探測(cè)器所攜帶的祝融號(hào)火星車(chē)及其著陸組合體成功著陸于火星，這標(biāo)志著我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)取得圓滿(mǎn)成功。假設(shè)火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的a倍，火星半徑是地球半徑的b倍，地球表面的重力加速度為g，質(zhì)量均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零，則()A．火星表面重力加速度為eq\f(ag,b2)B．火星表面重力加速度為eq\f(b2g,a)C．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,2b2)D．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,4b2)[解析]在地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，在火星表面有Geq\f(aMm,bR2)＝mg′，聯(lián)立解得火星表面重力加速度為g′＝eq\f(ag,b2)，則A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)火星的密度為ρ，火星的半徑為R0，由于質(zhì)量均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零，則在火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度相當(dāng)火星內(nèi)部那部分產(chǎn)生的引力產(chǎn)生的，則火星內(nèi)部那部分質(zhì)量為M′＝ρeq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R0,2)))3＝eq\f(1,8)M火＝eq\f(1,8)aM，火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為g″，則有Geq\f(\f(1,8)M火m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R0,2)))2)＝mg″，聯(lián)立解得g″＝eq\f(ag,2b2)，所以C正確，D錯(cuò)誤。[答案]AC【變式1-3】2020年12月17日，“嫦娥五號(hào)”成功返回，標(biāo)志著中國(guó)全面掌握無(wú)人地月往返系列技術(shù)。已知地球半徑為月球半徑的p倍，地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的q倍。若探測(cè)器在地球表面以某一初速度豎直向上射出一物體，忽略空氣阻力，其上升的最大高度為h0。忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，該探測(cè)器在月球表面以相同的初速度豎直向上射出同一物體，其上升的最大高度為()A.eq\f(qh0,p2)B.eq\f(h0p2,q)C.eq\f(h0,qp2) D．qp2h0[解析]設(shè)月球的重力加速度為g′，在月球上拋物體上升的高度為h′，忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，則根據(jù)eq\f(GMm,R2)＝mg，可得g＝eq\f(GM地,R地2)＝eq\f(GqM月,pR月2)，g′＝eq\f(GM月,R月2)，eq\f(g,g′)＝eq\f(q,p2)，在地球上上升的高度h0＝eq\f(v02,2g)，在月球上上升的高度h′＝eq\f(v02,2g′)，eq\f(h′,h0)＝eq\f(g,g′)，解得h′＝eq\f(qh0,p2)，故選A。[答案]A【題型2萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系2】【例2】某類(lèi)地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，則該天體的半徑為()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2－g1T2,4π2) D.eq\f(g1＋g2T2,4π2)答案C解析在“極點(diǎn)”處：mg2＝eq\f(GMm,R2)；在其表面“赤道”處：eq\f(GMm,R2)－mg1＝m(eq\f(2π,T))2R；解得：R＝eq\f(g2－g1T2,4π2)，故選C.【變式2-1】(多選)萬(wàn)有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來(lái)。用彈簧測(cè)力計(jì)稱(chēng)量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱(chēng)量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說(shuō)法正確的是()A．在北極地面稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)[解析]在北極地面稱(chēng)量時(shí)，物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力等于重力，則有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱(chēng)量時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B錯(cuò)誤；在北極上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力，則有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，F(xiàn)3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D錯(cuò)誤。[答案]AC【變式2-2】將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時(shí)，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時(shí)，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)答案C解析設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力是萬(wàn)有引力的分力．有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物體在兩極受到的重力等于萬(wàn)有引力Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A錯(cuò)誤；在兩極mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正確；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D錯(cuò)誤．【變式2-3】宇航員在某星球上為了探測(cè)其自轉(zhuǎn)周期做了如下實(shí)驗(yàn)：在該星球兩極點(diǎn)，用彈簧秤測(cè)得質(zhì)量為M的砝碼所受重力為F，在赤道測(cè)得該砝碼所受重力為F′。他還發(fā)現(xiàn)探測(cè)器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)。假設(shè)該星球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則其自轉(zhuǎn)周期為()A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))解析：選D設(shè)星球和探測(cè)器質(zhì)量分別為m、m′在兩極點(diǎn)，有：Geq\f(Mm,R2)＝F，在赤道，有：Geq\f(Mm,R2)－F′＝MReq\f(4π2,T自2)，探測(cè)器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則有：Geq\f(mm′,R2)＝m′Req\f(4π2,T2)；聯(lián)立以上三式解得T自＝Teq\r(\f(F,F－F′))。故D正確，A、B、C錯(cuò)誤?！绢}型3對(duì)比問(wèn)題】【例3】我國(guó)發(fā)射的第三十二顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星屬于傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星入軌并完成在軌測(cè)試后，將接入北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，為用戶(hù)提供更可靠服務(wù)。通過(guò)查詢(xún)，傾斜地球同步軌道衛(wèi)星是運(yùn)轉(zhuǎn)軌道面與地球赤道面有夾角的軌道衛(wèi)星，它的運(yùn)轉(zhuǎn)周期也是24小時(shí)，如圖所示，關(guān)于該北斗導(dǎo)航衛(wèi)星說(shuō)法正確的是()A．該衛(wèi)星可定位在北京的正上空B．該衛(wèi)星與地球靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小是不等的C．該衛(wèi)星的發(fā)射速度v≤7.9km/sD．該衛(wèi)星的角速度與放在北京地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相等解析：選D根據(jù)題意，該衛(wèi)星是傾斜軌道，故不可能定位在北京的正上空，A錯(cuò)誤；由于該衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期也是24小時(shí)，與地球靜止軌道衛(wèi)星的周期相同，故軌道半徑、向心加速度大小均相同，B錯(cuò)誤；第一宇宙速度7.9km/s是最小的發(fā)射速度，C錯(cuò)誤；根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)可知，該衛(wèi)星的角速度與放在北京地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相等，D正確。【變式3-1】我國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”已于酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，將在世界上首次實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信?！澳印睂⒂苫鸺l(fā)射至高度為500km的預(yù)定圓形軌道。此前在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第二十三顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星G7，G7屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(高度約為36000km)，它將使北斗系統(tǒng)的可靠性進(jìn)一步提高。關(guān)于衛(wèi)星以下說(shuō)法中正確的是()A．這兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行速度可能大于7.9km/sB．通過(guò)地面控制可以將北斗G7定點(diǎn)于西昌正上方C．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的周期比北斗G7的周期小D．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小解析：選C根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，知軌道半徑越大，線(xiàn)速度越小，第一宇宙速度的軌道半徑為地球的半徑，所以第一宇宙速度是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)最大的環(huán)繞速度，所以北斗G7和量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的線(xiàn)速度均小于地球的第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤；北斗G7即地球靜止軌道衛(wèi)星，只能定點(diǎn)于赤道正上方，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，所以量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的周期小，故C正確；衛(wèi)星的向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，半徑小的量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D錯(cuò)誤?！咀兪?-2】“太空電梯”的概念最初出現(xiàn)在1895年，由康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的強(qiáng)度最高的材料——石墨烯的發(fā)現(xiàn)使“太空電梯”制造成為可能，人類(lèi)將有望通過(guò)“太空電梯”進(jìn)入太空。設(shè)想在地球赤道平面內(nèi)有一垂直于地面并延伸到太空的輕質(zhì)“太空電梯”，如圖所示，假設(shè)某物體b乘坐太空電梯到達(dá)了圖示位置并相對(duì)電梯靜止，與同高度運(yùn)行的衛(wèi)星a、更高處同步衛(wèi)星c相比較。下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)與b都是高度相同的人造地球衛(wèi)星B．b的線(xiàn)速度小于c的線(xiàn)速度C．b的線(xiàn)速度大于a的線(xiàn)速度D．b的加速度大于a的加速度解析：選Ba是人造地球衛(wèi)星，但b不是，故A錯(cuò)誤；b與c的角速度相同，但b運(yùn)動(dòng)半徑小于c運(yùn)動(dòng)半徑，所以b的線(xiàn)速度小于c的線(xiàn)速度，故B正確；b與c的角速度相同，a的角速度大于c的角速度，故b的角速度小于a的角速度，又由于a、b做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，故b的線(xiàn)速度小于a的線(xiàn)速度，b的加速度小于a的加速度，故C、D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】(多選)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星a還未發(fā)射，在赤道表面上隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，衛(wèi)星b是近地軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星c是地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星d是高空探測(cè)衛(wèi)星，它們均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，各衛(wèi)星排列位置如圖所示，則()A．衛(wèi)星a的向心加速度等于重力加速度g，衛(wèi)星c的向心加速度大于衛(wèi)星d的向心加速度B．在相同時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，衛(wèi)星a、c轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的角度相等C．衛(wèi)星c在4小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是eq\f(π,3)，衛(wèi)星a在2小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是eq\f(π,6)D．衛(wèi)星b的周期一定小于衛(wèi)星d的周期，衛(wèi)星d的周期一定小于24小時(shí)解析：選BC衛(wèi)星a在地球表面隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，其萬(wàn)有引力等于重力與向心力之和，且重力遠(yuǎn)大于向心力，故衛(wèi)星a的向心加速度遠(yuǎn)小于重力加速度g，對(duì)于衛(wèi)星b、c、d，根據(jù)牛頓第二定律，萬(wàn)有引力提供向心力，Geq\f(Mm,r2)＝man，解得向心加速度an＝eq\f(GM,r2)，由于衛(wèi)星d的軌道半徑大于衛(wèi)星c的軌道半徑，所以衛(wèi)星c的向心加速度大于衛(wèi)星d的向心加速度，A錯(cuò)誤；地球同步衛(wèi)星c繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，相同時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星a、c轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的角度相等，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，軌道半徑越小速度越大，則vb>vc>vd，又衛(wèi)星a與衛(wèi)星c角速度相等，且衛(wèi)星a的軌道半徑小于衛(wèi)星c的軌道半徑，故vc>va，即衛(wèi)星b的速度最大，所以在相同時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，B正確；衛(wèi)星a、c角速度相同，在4小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角都為eq\f(2π,6)＝eq\f(π,3)，在2小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角都為eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，C正確；衛(wèi)星c和衛(wèi)星b的軌道半徑都小于衛(wèi)星d的軌道半徑，由開(kāi)普勒第三定律可知，衛(wèi)星b的運(yùn)動(dòng)周期一定小于衛(wèi)星d的運(yùn)動(dòng)周期，衛(wèi)星d的運(yùn)動(dòng)周期一定大于衛(wèi)星c的運(yùn)動(dòng)周期(24小時(shí))，D錯(cuò)誤?！绢}型4追及問(wèn)題】【例4】(多選)如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞地心O做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向相反。A衛(wèi)星的周期為T(mén)1，B衛(wèi)星的周期為T(mén)2，在某一時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則(引力常量為G)()A．兩衛(wèi)星下一次相距最近需經(jīng)過(guò)時(shí)間t＝eq\f(T1T2,T1＋T2)B．兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為eq\r(3,\f(T12,T22))C．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球的密度D．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球表面的重力加速度解析：選AB兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向相反，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t再次相遇，則有eq\f(2π,T1)t＋eq\f(2π,T2)t＝2π，解得t＝eq\f(T1T2,T1＋T2)，A正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，A衛(wèi)星的周期為T(mén)1，B衛(wèi)星的周期為T(mén)2，所以?xún)深w衛(wèi)星的軌道半徑之比為eq\r(3,\f(T12,T22))，B正確；若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，結(jié)合兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比可以求出兩顆衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可求出地球的質(zhì)量，但不知道地球的半徑，所以不能求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D錯(cuò)誤。【變式4-1】三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時(shí)刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)1，B的周期為T(mén)2，則下列說(shuō)法正確的是()A．A加速可追上同一軌道上的CB．經(jīng)過(guò)時(shí)間eq\f(T1T2,2T1－T2)，A、B相距最遠(yuǎn)C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度D．A、B與地心連線(xiàn)在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等解析：選B衛(wèi)星A加速后做離心運(yùn)動(dòng)，軌道變高，不可能追上衛(wèi)星C，故A錯(cuò)誤；A、B兩衛(wèi)星由相距最近至相距最遠(yuǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相差π，即ωBt－ωAt＝π，其中ωA＝eq\f(2π,T1)，ωB＝eq\f(2π,T2)，解得經(jīng)歷的時(shí)間t＝eq\f(T1T2,2T1－T2)，故B正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，故C錯(cuò)誤；繞地球運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星與地心連線(xiàn)在相同時(shí)間t內(nèi)掃過(guò)的面積S＝eq\f(1,2)vt·r，其中v＝eq\r(\f(GM,r))，則有S＝eq\f(t,2)eq\r(GMr)，可知A、B與地心連線(xiàn)在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不相等，故D錯(cuò)誤?！咀兪?-2】我國(guó)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)于2020年已全面建成，是繼GPS、GLONASS之后第三個(gè)成熟的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。該衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)空間段包括5顆靜止軌道衛(wèi)星和30顆非靜止軌道衛(wèi)星，靜止軌道衛(wèi)星是地球同步軌道衛(wèi)星的一種。若一顆與地球同步軌道衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)的人造地球衛(wèi)星在自西向東繞地球運(yùn)行，已知它的運(yùn)行半徑為同步軌道半徑的四分之一，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，某時(shí)刻該衛(wèi)星與地球同步軌道衛(wèi)星相距最近，則到下一次兩衛(wèi)星相距最近經(jīng)歷的最短時(shí)間為()A.eq\f(T,9)B.eq\f(T,8)C.eq\f(T,7)D.eq\f(T,4)解析：選C同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為地球的自轉(zhuǎn)周期T，設(shè)該衛(wèi)星的周期為T(mén)1，由開(kāi)普勒第三定律得eq\f(T12,T2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,4)))3,R3)，解得T1＝eq\f(T,8)，設(shè)該衛(wèi)星至少每隔t時(shí)間與同步軌道衛(wèi)星相距最近，只需滿(mǎn)足eq\f(2π,T1)－eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t)，解得t＝eq\f(T,7)，C正確，A、B、D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】當(dāng)?shù)厍蛭挥谔?yáng)和木星之間且三者幾乎排成一條直線(xiàn)時(shí)，稱(chēng)之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽(yáng)近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木星到太陽(yáng)的距離大約是地球到太陽(yáng)距離的5倍．則下列說(shuō)法正確的是()A．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2024年B．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2023年C．木星運(yùn)行的加速度比地球的大D．木星運(yùn)行的周期比地球的小答案B解析設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T(mén)，加速度為a.對(duì)行星由牛頓第二定律可得Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于木星到太陽(yáng)的距離大約是地球到太陽(yáng)距離的5倍，因此，木星運(yùn)行的加速度比地球的小，木星運(yùn)行的周期比地球的大，故C、D錯(cuò)誤；地球公轉(zhuǎn)周期T1＝1年，由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知，木星公轉(zhuǎn)周期T2＝eq\r(125)T1≈11.2年．設(shè)經(jīng)時(shí)間t，再次出現(xiàn)“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq\f(2π,T1)，ω2＝eq\f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2023年，故A錯(cuò)誤，B正確．【題型5估算問(wèn)題】【例5】宇航員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度ρ.答案(1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)解析(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h＝eq\f(1,2)g月t2月球表面的自由落體加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月得月球的質(zhì)量M＝eq\f(2hR2,Gt2)(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2).【變式5-1】若將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距地面的高度為h，運(yùn)行周期為T(mén)，已知萬(wàn)有引力常量為G，地球半徑為R。則地球質(zhì)量M和地球的平均密度ρ分別為()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)C．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)D．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)[解析]將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，由萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，又有M＝ρeq\f(4,3)πR3，解得ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)，A正確。[答案]A【變式5-2】2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線(xiàn)速度和繞地半徑解析：選D根據(jù)萬(wàn)有引力提供核心艙繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得M＝eq\f(v2r,G)，D正確；由于核心艙質(zhì)量在運(yùn)算中被約掉，故無(wú)法通過(guò)核心艙質(zhì)量求解地球質(zhì)量，A、B錯(cuò)誤；已知核心艙的繞地角速度，由eq\f(GMm,r2)＝mω2r得M＝eq\f(ω2r3,G)，且ω＝eq\f(2π,T)，故還需要知道核心艙的繞地半徑，才能求得地球質(zhì)量，C錯(cuò)誤?！咀兪?-3】(多選)已知引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間T1(地球自轉(zhuǎn)周期)，一年的時(shí)間T2(地球公轉(zhuǎn)周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離L2.你能計(jì)算出()A．地球的質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)B．太陽(yáng)的質(zhì)量m太＝eq\f(4π2L23,GT22)C．月球的質(zhì)量m月＝eq\f(4π2L13,GT12)D．太陽(yáng)的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT22)答案AB解析對(duì)地球表面的一個(gè)物體m0來(lái)說(shuō)，應(yīng)有m0g＝eq\f(Gm地m0,R2)，所以地球質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)，故A項(xiàng)正確；地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，有eq\f(Gm太m地,L22)＝m地eq\f(4π2L2,T22)，則m太＝eq\f(4π2L23,GT22)，故B項(xiàng)正確；同理，月球繞地球運(yùn)動(dòng)，能求出地球質(zhì)量，無(wú)法求出月球的質(zhì)量，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由于不知道太陽(yáng)的半徑，不能求出太陽(yáng)的平均密度，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．【題型6同步衛(wèi)星】【例6】(多選)如圖所示，衛(wèi)星a、b、c沿圓形軌道繞地球運(yùn)行．a(chǎn)是極地軌道衛(wèi)星，在地球兩極上空約1000km處運(yùn)行；b是低軌道衛(wèi)星，距地球表面高度與a相等；c是地球同步衛(wèi)星，則()A．a(chǎn)、b的周期比c大B．a(chǎn)、b的向心力大小一定相等C．a(chǎn)、b的線(xiàn)速度大小相等D．a(chǎn)、b的向心加速度比c大答案CD解析衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝meq\f(v2,r)＝ma，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，a、b衛(wèi)星的軌道半徑相等，則周期相等，線(xiàn)速度大小相等，方向不同，向心加速度大小相等，c衛(wèi)星的軌道半徑大于a、b衛(wèi)星的軌道半徑，則c衛(wèi)星的向心加速度小于a、b的向心加速度，周期大于a、b的周期，故A錯(cuò)誤，C、D正確；衛(wèi)星的質(zhì)量未知，無(wú)法比較向心力的大小，故B錯(cuò)誤．【變式6-1】2021年4月29日，我國(guó)在海南文昌用長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭成功將空間站天和核心艙送入預(yù)定軌道。核心艙運(yùn)行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km。則該核心艙的()A．角速度比地球同步衛(wèi)星的小B．周期比地球同步衛(wèi)星的長(zhǎng)C．向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大D．線(xiàn)速度比地球同步衛(wèi)星的小解析：選C核心艙和地球同步衛(wèi)星都是受萬(wàn)有引力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma＝mω2r，可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，而核心艙運(yùn)行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km，有r艙<r同，故有ω艙>ω同，T艙<T同，a艙>a同，v艙>v同，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確?！咀兪?-2】“祝融號(hào)”火星車(chē)登陸火星之前，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個(gè)火星日。假設(shè)某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個(gè)火星日。已知一個(gè)火星日的時(shí)長(zhǎng)約為一個(gè)地球日，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為()A.eq\r(3,4)B.eq\r(3,\f(1,4))C.eq\r(3,\f(5,2))D.eq\r(3,\f(2,5))解析：選D由萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，所以飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(M1T12,M2T22))＝eq\r(3,\f(2,5))。故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。【變式6-3】如圖所示，極地衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面通過(guò)地球的南北兩極(軌道可視為圓軌道、地球視為球體)，若一個(gè)極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向第一次運(yùn)行至赤道正上方時(shí)所用的時(shí)間為0.25h，已知緯度是指某點(diǎn)與地球球心的連線(xiàn)和地球赤道面所成的線(xiàn)面角，同步衛(wèi)星的線(xiàn)速度大小為3.08km/s，則該極地衛(wèi)星的線(xiàn)速度大小為()A．1.54km/s B．3.08km/sC．6.16km/s D．7.9km/s解析：選C由題意可得該極地衛(wèi)星運(yùn)行的周期為eq\f(30°,360°)T極＝0.25h，得T極＝3h，由開(kāi)普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k得eq\f(r同,r極)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T同,T極)))2)＝4，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，解得eq\f(v同,v極)＝eq\f(1,2)，極地衛(wèi)星的線(xiàn)速度大小為v極＝2v同＝6.16km/s，故C正確?！绢}型7拉格朗日點(diǎn)】【例7】我國(guó)發(fā)射的衛(wèi)星成功進(jìn)入了“拉格朗日點(diǎn)”的軌道，我國(guó)成為世界上第三個(gè)造訪該點(diǎn)的國(guó)家，如圖所示。該“拉格朗日點(diǎn)”位于太陽(yáng)與地球連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，一飛行器位于該點(diǎn)，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，則該飛行器的()A．向心力僅由太陽(yáng)的引力提供B．周期小于地球公轉(zhuǎn)的周期C．繞速度大于地球公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度D．向心加速度小于地球公轉(zhuǎn)的向心加速度答案C解析探測(cè)器的向心力由太陽(yáng)和地球引力的合力提供，故A錯(cuò)誤；飛行器與地球同步繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，角速度相等，周期相同，故B錯(cuò)誤；角速度相等，根據(jù)v＝rω，知探測(cè)器的線(xiàn)速度大于地球的線(xiàn)速度，故C正確；根據(jù)a＝rω2知，探測(cè)器的向心加速度大于地球的向心加速度，故D錯(cuò)誤；故選C。【變式7-1】(多選)地月系統(tǒng)是雙星模型，為了尋找航天器相對(duì)地球和月球不動(dòng)的位置，科學(xué)家們做出了不懈努力．如圖所示，歐拉推導(dǎo)出L1、L2、L3三個(gè)位置，拉格朗日又推導(dǎo)出L4、L5兩個(gè)位置．現(xiàn)在科學(xué)家把L1、L2、L3、L4、L5統(tǒng)稱(chēng)地月系中的拉格朗日點(diǎn)．中國(guó)“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功登陸月球背面，并通過(guò)處于拉格朗日區(qū)的“嫦娥四號(hào)”中繼衛(wèi)星“鵲橋”把信息返回地球，引起眾多師生對(duì)拉格朗日點(diǎn)的熱議．下列說(shuō)法正確的是()A．在拉格朗日點(diǎn)航天器的受力不再遵循萬(wàn)有引力定律B．在不同的拉格朗日點(diǎn)航天器隨地月系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期均相同C．“嫦娥四號(hào)”中繼衛(wèi)星“鵲橋”應(yīng)選擇L1點(diǎn)開(kāi)展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)D．“嫦娥四號(hào)”中繼衛(wèi)星“鵲橋”應(yīng)選擇L2點(diǎn)開(kāi)展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)答案BD解析在拉格朗日點(diǎn)的航天器仍然受萬(wàn)有引力，仍遵循萬(wàn)有引力定律，A錯(cuò)誤；因在拉格朗日點(diǎn)的航天器相對(duì)地球和月球的位置不變，說(shuō)明它們的角速度一樣，因此周期也一樣，B正確；“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器登陸的是月球的背面，“鵲橋”要把探測(cè)器在月球背面采集的信息傳回地球，L2在月球的背面，因此應(yīng)選在L2點(diǎn)開(kāi)展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)，所以C錯(cuò)誤，D正確．【變式7-2】如圖所示，拉格朗日點(diǎn)L1位于地球和月球連線(xiàn)上，處在該點(diǎn)的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運(yùn)動(dòng)．據(jù)此，科學(xué)家設(shè)想在拉格朗日點(diǎn)L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運(yùn)動(dòng)．以a1、a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大小．以下判斷正確的是()A．a(chǎn)2>a3>a1 B．a(chǎn)2>a1>a3C．a(chǎn)3>a1>a2 D．a(chǎn)3>a2>a1答案D解析因空間站建在拉格朗日點(diǎn)，故其周期等于月球的周期，根據(jù)a＝eq\f(4π2,T2)r可知，a2>a1，對(duì)空間站和地球的同步衛(wèi)星而言，由于同步衛(wèi)星的軌道半徑較空間站的小，根據(jù)a＝eq\f(GM,r2)可知a3>a2，故選項(xiàng)D正確．【變式7-3】我國(guó)中繼衛(wèi)星“鵲橋”是運(yùn)行于地月拉格朗日點(diǎn)的通信衛(wèi)星，點(diǎn)位于地球和月球連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，“鵲橋”可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知“鵲橋”質(zhì)量遠(yuǎn)小于月球質(zhì)量，可忽略“鵲橋”對(duì)月球的影響，地球與月球的中心距離為r，點(diǎn)與月球的中心距離為，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，引力常量為G。求：（1）“鵲橋”在點(diǎn)的加速度大小a；（2）地球質(zhì)量與月球質(zhì)量