數(shù)學(xué)4自主訓(xùn)練：二倍角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.若sin2α=,且α∈(，），則cosα=sinα的值是(）A.B.C。D。思路解析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα）2，其展開式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，應(yīng)當(dāng)注意的是在（，）上，cosα<sinα，所以開方時(shí)應(yīng)取負(fù)號(hào)。答案:C2。如果|cosθ|=，＜θ＜3π，則sin的值為(）A。B.C.D。思路解析：根據(jù)〈θ<3π知,角θ是第二象限角，其余弦值為負(fù),即cosθ=,而<<，為第三象限角，正弦值為負(fù),于是利用半角公式即得結(jié)果.答案：C3。若＜α＜2π，則等于（)A.cosB.-sinC。—cosD。sin思路解析：根據(jù)本題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，連續(xù)兩次使用公式1+cos2α=2cos2α,達(dá)到脫去根號(hào)的目的,同時(shí)要注意角的范圍及其函數(shù)值的正負(fù),這是解這類問題的常規(guī)思路.答案：C4.化簡(jiǎn)的值為()A.tan2αB。cot2αC。tanαD。cotα思路解析:本題是分式化簡(jiǎn)題，可將分子、分母均化為積的形式且分子、分母有公因式，通過約分把式子化簡(jiǎn)，于是有原式==cot2α.答案：B5.若f(α）=cotα-，那么f（)的值為___________.思路解析：將函數(shù)f（α）化簡(jiǎn)變形可得簡(jiǎn)單形式，即f(α）=cotα+=cotα+tanα=,所以f（)==2。答案：26.已知sin+cos=,且＜α3π，則cot的值為_______.思路解析:由sin+cos=，得2sin·cos=,（sin—cos)2=1—2sin·cos=1-=。∵＜α＜3π,∴＜＜，＜＜∴sin＜cos，∴sin-cos=.∴cos=,∴cot=。答案：7。已知α為鈍角、β為銳角且sinα=，sinβ=，則cos的值為____________。思路解析：∵α為鈍角,β為銳角，且sinα=，sinβ=，∴cosα=-，cosβ=?！郼os(α—β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=?！撸鸡粒鸡?，0＜β＜，又∵0＜α-β＜π,0＜＜，∴cos＞0?！郼os=.答案：8.化簡(jiǎn):.思路解析：靈活運(yùn)用數(shù)字1，此處將1看成sin25°+cos25°,然后將根號(hào)下面的代數(shù)式化成完全平方式，后面的運(yùn)算就容易了.答案：原式==|sin5°+cos5°｜+|sin5°-cos5°｜=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°.9.求證：。思路解析:將等號(hào)左邊分子的“1"換成“sin2α+cos2α”,即可對(duì)分子進(jìn)行因式分解,分母運(yùn)用平方差公式也可分解，產(chǎn)生可以約分的式子,再分子、分母同除以cosα即得右邊.答案：左邊===右邊。原題得證。我綜合我發(fā)展10.已知0＜α＜β＜，sinα與sinβ是方程x2—(cos40°）x+cos240°—=0的兩個(gè)根，求cos(2α-β）的值。思路解析：本題是一元二次方程與三角的綜合題，利用求根公式可得兩根,把兩根利用三角公式變形即得α與β的數(shù)值，產(chǎn)生較為特殊的角75°，再用公式求其值.解：由求根公式可得x=cos40°±sin40°=sin45°cos40°±cos45°sin40°=sin(45°±40°），∴x1=sin85°,x2=sin5°。∵0°＜α＜β＜90°，∴β=85°，α=5°.∴cos(2α—β)=cos（-75°)=cos75°=.11.在△ABC中，已知cosA=,求證:.思路解析：要求證的等式右邊是a+b與a—b的商，而1-cosA與1+cosA不僅可以產(chǎn)生a+b與a—b，而且還會(huì)制造出1-cosB與1+cosB，再用倍角公式（或萬能公式)就可以變形為所求結(jié)果.解:∵cosA=,∴1-cosA=,1+cosA=.∴。而=tan2，=tan2，∴tan2=·tan2，即.12。如圖3-2-2所示，地面上兩塔相距120m，一人分別在兩塔的底部測(cè)得一塔頂?shù)难鼋菫榱硪凰斞鼋堑亩叮衷趦伤椎倪B線中點(diǎn)測(cè)得兩塔頂?shù)难鼋腔ビ?，求兩塔的高。圖3-2—2思路解析:設(shè)出兩塔的高分別為xm、ym，其中的兩個(gè)仰角分別為∠ADB=α，∠AMB=θ,利用圖中的直角三角形建立x,y,α,θ的關(guān)系，再通過α,θ的三角函數(shù)關(guān)系產(chǎn)生x，y的方程,然后解方程可得x，y的值，這當(dāng)中α,θ為輔助未知數(shù),屬于設(shè)而不求的角色.解：設(shè)兩塔的高分別為xm、ym，且∠ADB=α,∠AMB=θ.由題意，得∠CBD=2α,∠AMC=90°,∠AMB=∠MCD=θ。所以x=60tanθ，y=60cotθ。x=120tanα,y=120tan2α，所以解得x=40，y=90。答：兩塔高分別是90m和40m.13.如圖3—2-3，在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30m至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)103m至D點(diǎn)處測(cè)得頂端仰角為4θ,求θ的大小和建筑物AE的高。圖3-2—3思路解析：這是一個(gè)三角函數(shù)在測(cè)量方面的應(yīng)用問題.在解決過程中運(yùn)用了初中幾何解直角三角形的知識(shí)和方程的思想，但三角式的化簡(jiǎn)起到了關(guān)鍵作用，特別是切化弦，使得式子的分子、分母產(chǎn)生可以約分的項(xiàng),這種轉(zhuǎn)化方法應(yīng)當(dāng)引起重視.解:由已知，BC=30m,CD=m.在Rt△ABE中，BE=AEcotθ；在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ。∴B