2024-2025學年新教材高中數學階段提升課第一課空間向量與立體幾何學案含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGE階段提升課第一課空間向量與立體幾何eq\a\vs4\al(,,題組訓練一)空間向量的運算1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的全部頂點都在球O的表面上，∠BAC＝90°，AA1＝BC＝2，則eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4【解析】選B.依題意，O在底面ABC的投影為△ABC的外心O1，因為∠BAC＝90°，故O1為BC的中點，eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2·eq\o(AO,\s\up6(→))·＝2·＝2.2．如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，eq\o(MG,\s\up6(→))＝2eq\o(GN,\s\up6(→))，現(xiàn)用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))，設eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則x，y，z的值分別是()A．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,6)C．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,3)D．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)【解析】選D.因為eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BN,\s\up6(→))))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).向量運算的技巧(1)關鍵是嫻熟駕馭向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義．(2)熟記空間向量的坐標運算公式，設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，①加減運算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2).②數量積運算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.③向量夾角：cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))).④向量長度：設M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，則＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2).eq\a\vs4\al(,,題組訓練二)利用空間向量證明平行、垂直關系1．已知直線l的方向向量a，平面α的法向量μ，若a＝(1，1，1)，μ＝(－1，0，1)，則直線l與平面α的位置關系是()A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．直線l在平面α內或直線l與平面α平行【解析】選D.a·μ＝1×(－1)＋1×0＋1×1＝0，得直線l的方向向量垂直于平面的法向量，則直線l在平面α內或直線l與平面α平行．2．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，當eq\f(CD,CC1)的值等于________時，能使A1C⊥平面C1BD.【解析】不妨設eq\f(CD,CC1)＝x，CC1＝1，若A1C⊥平面C1BD，則A1C⊥C1B，A1C⊥C1D，而＝＋eq\o(CD,\s\up6(→))，＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋，由＝0，得(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋)·(＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))2＋·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，由·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)－eq\f(x2,2)，可得方程1－x2＋eq\f(x－x2,2)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(2,3)(舍)，因此，當eq\f(CD,CC1)＝1時，能使A1C⊥平面C1BD.答案：13．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E是PA的中點，求證：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.【證明】如圖，以D為坐標原點，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．設DC＝a，PD＝b，則D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，A(0，a，0)，P(0，0，b)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2))).(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0).設平面EBD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))·n＝0，,\o(DB,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)y＋\f(b,2)z＝0，,ax＋ay＝0.))令x＝1，得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(a,b)))，因為eq\o(PC,\s\up6(→))·n＝(a，0，－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(a,b)))＝0，所以eq\o(PC,\s\up6(→))⊥n，故PC∥平面EBD.(2)由題意得，平面PDC的一個法向量為eq\o(DA,\s\up6(→))＝(0，a，0)，又eq\o(PB,\s\up6(→))＝(a，a，－b)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(a，0，－b)，設平面PBC的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(PB,\s\up6(→))·m＝0，,\o(PC,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax1＋ay1－bz1＝0，,ax1－bz1＝0，))得y1＝0，令x1＝1，則z1＝eq\f(a,b)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(a,b)))，因為eq\o(DA,\s\up6(→))·m＝(0，a，0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(a,b)))＝0，所以eq\o(DA,\s\up6(→))⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.1．證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．2．證明線面平行的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線．3．證明面面平行的方法證明這兩個平面的法向量是共線向量．4．證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直．5．證明線面垂直的方法證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線的向量相互垂直．6．證明面面垂直的方法證明兩個平面的法向量相互垂直．eq\a\vs4\al(,,題組訓練三)利用空間向量求空間角1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，AD＝1，AB＝eq\r(2)，△PAB是等腰三角形，點E是棱PB的中點，則異面直線EC與PD所成角的余弦值是()A.eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(2),2)【解析】選B.因為AB，AD，AP兩兩垂直，以A為原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．又因為PA＝AB＝eq\r(2)，AD＝1，所以A(0，0，0)，B(eq\r(2)，0，0)，C(eq\r(2)，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，eq\r(2))，因為E是棱PB的中點，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1，－\f(\r(2),2)))，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，1，－eq\r(2))，所以cos〈eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1＋1,\r(\f(1,2)＋1＋\f(1,2))×\r(1＋2))＝eq\f(\r(6),3).2．如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱A1A的中點．(1)證明：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值；(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值是eq\f(\r(2),6)，求線段AM的長．【解析】(1)以A為原點可建立如圖所示空間直角坐標系．則A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)，所以＝(1，0，－1)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，所以·eq\o(CE,\s\up6(→))＝1×(－1)＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，所以B1C1⊥CE.(2)由(1)知：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2，－1))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，－1))，因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1C1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，又B1C1⊥CE，CC1，CE?平面CEC1，CC1∩CE＝C，所以B1C1⊥平面CEC1，所以平面CEC1的一個法向量為＝(1，0，－1).設平面B1CE的法向量n＝(x，y，z)，則，令z＝1，則y＝－2，x＝－3，所以n＝(－3，－2，1)，所以cos〈，n〉＝＝eq\f(－3－1,\r(2)×\r(14))＝－eq\f(2\r(7),7)，所以sin〈，n〉＝eq\f(\r(21),7)，所以二面角B1-CE-C1的正弦值為eq\f(\r(21),7).(3)由(1)知：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，1))，設eq\o(EM,\s\up6(→))＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＝(λ，λ＋1，λ)，因為AA1⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1，AD?平面ADD1A1，AA1∩AD＝A，所以AB⊥平面ADD1A1，所以平面ADD1A1的一個法