廣西壯族自治區(qū)貴港市覃塘高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試模擬試題含解析

廣西壯族自治區(qū)貴港市覃塘高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，并作等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，BA為半徑逆時針畫圓弧，交線段CB的延長線于點D；再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類推，得到的螺線如圖所示．當(dāng)螺線與直線有6個交點（不含A點）時，則螺線長度最小值為（）A. B.C. D.2．若－4<x<1，則（）A.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值－1 D.有最大值－13．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A. B.C. D.4．已知點P(3,4)在角的終邊上，則的值為（）A B.C. D.5．給出下列四個命題：①若，則對任意的非零向量，都有②若，，則③若，，則④對任意向量都有其中正確的命題個數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.06．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相交C.外切 D.內(nèi)切7．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于的方程在上至少有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.8．設(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合是A. B.C. D.9．的值為A. B.C. D.10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點，若其歐拉線方程為，則頂點C的坐標(biāo)是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若角的終邊經(jīng)過點，則___________.12．已知，則的最小值為_______________.13．已知，若方程恰有個不同的實數(shù)解、、、，且，則______14．已知球有個內(nèi)接正方體，且球的表面積為，則正方體的邊長為__________15．=___________16．已知函數(shù)的定義域和值域都是集合，其定義如表所示，則____________．x012012三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．旅游社為某旅游團包飛機去旅游，其中旅行社的包機費為15000元．旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結(jié)算：若旅游團人數(shù)在30人或30人以下，飛機票每張收費900元；若旅游團人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠，每多1人，機票費每張減少10元，但旅游團人數(shù)最多為75人(1)寫出飛機票的價格關(guān)于旅游團人數(shù)的函數(shù)；(2)旅游團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？18．如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,,,,為與的交點,為棱上一點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面,求三棱錐的體積.19．已知圓的圓心坐標(biāo)為，直線被圓截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）求經(jīng)過點且與圓C相切的直線方程.20．已知函數(shù)，，圖象上相鄰兩個最低點的距離為（1）若函數(shù)有一個零點為，求的值；（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范圍21．若冪函數(shù)在其定義域上是增函數(shù).（1）求的解析式；（2）若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)題意，找到螺線畫法的規(guī)律，由此對選項逐一分析，從而得到答案【詳解】第1次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第2次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計1次；第3次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為3，交累計2次；第4次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第5次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計3次；前5次累計畫線；第6次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計4次，累計畫線；第7次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第8次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計5次；第9次畫線：以點為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計6次，累計畫線，故選項A正確故選：A另解：由前三次規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，每畫三次，與l產(chǎn)生兩個交點，故要產(chǎn)生6個交點，需要畫9次；每一次畫的圓弧長度是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以前9項之和為：﹒故選：A﹒2、D【解析】先將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)－4<x<1，利用基本不等式求解.【詳解】又∵－4<x<1，∴x－1<0∴－(x－1)>0∴．當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝0時等號成立故選：D【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】先由函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，所以，再求得，再求函數(shù)的定義域，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】解：由題意函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱知，函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，所以，即，要使函數(shù)有意義，則，即，解得，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選D【點睛】本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，重點考查了函數(shù)的定義域，屬中檔題.4、D【解析】利用三角函數(shù)的定義即可求出答案.【詳解】因為點P(3,4)在角的終邊上,所以,,故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】對于①，當(dāng)兩向量垂直時，才有；對于②，當(dāng)兩向量垂直時，有，但不一定成立；對于③，當(dāng)，時，可以是任意向量；對于④，當(dāng)向量都為零向量時，【詳解】解：對于①，因為，，所以當(dāng)兩向量垂直時，才有，所以①錯誤；對于②，因為，，所以或，所以②錯誤；對于③，因為，所以，所以可以是任意向量，不一定是相等向量，所以③錯誤；對于④，當(dāng)時，，所以④錯誤，故選：D6、A【解析】通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心和半徑，通過圓心距與半徑的關(guān)系，可得兩圓的關(guān)系.【詳解】圓，圓心，半徑為；，圓心，半徑為；兩圓圓心距，所以相離.故選：A.7、C【解析】把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個公共點，再數(shù)形結(jié)合，求解作答.【詳解】函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，關(guān)于的方程在上至少有兩個實數(shù)解，等價于函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個公共點，函數(shù)的圖象是恒過定點的動直線，函數(shù)在上的圖象與直線，如圖，觀察圖象得：當(dāng)直線過點時，，將此時的直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到直線的位置，直線(除時外)與函數(shù)在上的圖象最多一個公共點，此時或或a不存在，將時的直線(含)繞A順時針旋轉(zhuǎn)到直線(不含直線)的位置，旋轉(zhuǎn)過程中的直線與函數(shù)在上的圖象至少有兩個公共點，此時，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C【點睛】方法點睛：圖象法判斷函數(shù)零點個數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).8、D【解析】陰影部分表示的集合為在集合N中去掉集合M，N的交集，即得解.【詳解】由維恩圖可知，陰影部分表示的集合為在集合N中去掉集合M，N的交集，由題得,所以陰影部分表示的集合為.故選：D【點睛】本題主要考查維恩圖，考查集合的運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】.故選B.10、A【解析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)C(m，n),由重心坐標(biāo)公式得重心為,代入歐拉線方程得：①AB的中點為，，所以AB的中垂線方程為聯(lián)立，解得所以三角形ABC的外心為，則，化簡得：②聯(lián)立①②得：或，當(dāng)時，BC重合，舍去，所以頂點C的坐標(biāo)是故選A.【點睛】本題主要考查了直線方程的各種形式，重心坐標(biāo)公式，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出和的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，，則，所以，，所以，故答案為：.12、##225【解析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】解：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.13、【解析】作出函數(shù)的圖象以及直線的圖象，利用對數(shù)的運算可求得的值，利用正弦型函數(shù)的對稱性可求得的值，即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象以及直線的圖象如下圖所示：由圖可知，由可得，即，所以，，可得，當(dāng)時，，由，可得，由圖可知，點、關(guān)于直線對稱，則，因此，.故答案為：.14、【解析】設(shè)正方體的棱長為x，則=36π，解得x=故答案為15、【解析】tan240°=tan（180°+60°）=tan60°=，故答案為：16、【解析】根據(jù)表格從里層往外求即可.【詳解】解：由表可知，.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.(2)旅游團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤【解析】（1）根據(jù)自變量的取值范圍，分0或，確定每張飛機票價的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）利用所有人的費用減去包機費就是旅行社可獲得的利潤，結(jié)合自變量的取值范圍，可得利潤函數(shù)，結(jié)合自變量的取值范圍，分段求出最大利潤，從而解決問題【詳解】(1)設(shè)旅游團人數(shù)為人，飛行票價格為元，依題意，當(dāng)，且時，，當(dāng)，且時，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200.所以所求函數(shù)為y＝(2)設(shè)利潤為元，則當(dāng)，且時，(元)，當(dāng)，且時，元，因為21000元>12000元，所以旅游團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤【點睛】此題考查了分段函數(shù)以及實際問題中的最優(yōu)化問題，培養(yǎng)學(xué)生對實際問題分析解答能力，屬于中檔題18、（Ⅰ）答案見詳解;（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)平面,,四邊形是菱形,,平面;(Ⅱ)連接,由平面,推出,從而是的中點,那么三棱錐的體積則可通過中點進行轉(zhuǎn)化,變?yōu)槿忮F體積的一半.【詳解】(Ⅰ)平面,平面,,四邊形是菱形,,,平面;(Ⅱ)如圖,連接,平面,平面平面,,是的中點,是的中點,菱形中,,,是等邊三角形,,,.【點睛】本題主要考查線面垂直的證明以及棱錐體積的計算,屬于中檔題.一般計算規(guī)則幾何體的體積時,常用的方法有頂點轉(zhuǎn)換,中點轉(zhuǎn)換等,需要學(xué)生有一定的空間思維能力和計算能力.19、（1）；（2）和.【解析】(1)根據(jù)圓心坐標(biāo)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點到直線的距離公式求出圓的半徑即可.(2)當(dāng)切線斜率不存在時滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程，結(jié)合點到直線的距離公式和圓心到直線的距離為半徑，計算求出直線斜率即可.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：圓心到直線的距離：，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）①當(dāng)切線斜率不存在時，設(shè)切線：，此時滿足直線與圓相切.②當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線：，即則圓心到直線的距離：.解得：，即則切線方程為：綜上，切線方程為：和20、（1）；（2）.【解析】（1）化簡函數(shù)解析式，根據(jù)周期計算，根據(jù)零點計算；（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范圍【詳解】（1），的圖象上相鄰兩個最低點