【課件】談直線與圓的復(fù)習(xí)

現(xiàn)“圓”形百花齊放

巧

突

破不拘一格談直線與圓的復(fù)習(xí)山西省孝義中學(xué)蔡雪梅目錄近五年高考考點分析一回歸課本示例二2018年備考復(fù)習(xí)建議三一、近五年高考考點分析

縱觀近年來的高考解析幾何試題，知識面廣，綜合性強，背景新穎，靈活多樣。對直線與圓的知識年年考查，近幾年則更有增溫態(tài)勢，且表現(xiàn)為以下三大特點：1、直線與圓自身模塊的小交匯：

這類試題以直線、圓為載體呈現(xiàn)，單純考查直線、圓或?qū)煞N元素結(jié)合在一起綜合考查。如：直線的平行或垂直判定，直線系方程，直線的對稱問題，直線與圓的相切、相交等問題。如:1.（2016年全國甲卷4題）圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）2.（2016年全國丙卷16題）已知直線與圓交于A、B兩點，過A、B分別作L的垂線與x軸交于C、D兩點.若，則=__________.

3.(2014年新課標(biāo)1文科20題）已知點P(2,2），圓，過點P的動直線L與圓C交于A、B

兩點，線段AB的中點為M,O為坐標(biāo)原點.（1）求M的軌跡方程；（2）當(dāng)時，求L的方程及的面積.

2、直線與圓同圓錐曲線知識的深度交匯：這類問題一直是高考熱點。以直線與圓錐曲線的結(jié)合最為常見，幾乎所有的圓錐曲線問題都離不開直線，體現(xiàn)了直線的基礎(chǔ)地位。近年來，將直線、圓與圓錐曲線三種曲線結(jié)合在一起綜合考查的題目越來越多，試題通過對知識的重新整合，既注重了整體平衡，更注意突出重點，對學(xué)生綜合解決問題的能力，提出了更高的要求。如：1.（2017年全國1卷15題）已知雙曲線

的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線

C的一條漸近線交于M、N兩點，若，則C的離心率為_________.2.(2017年全國3卷10題）已知橢圓的左右頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線

相切，則C的離心率為_____.3.(2017年全國3卷20題）已知拋物線，過點（2,0）的

直線L交C于A、B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線L與圓M的方程.3、直線與圓和不同模塊知識的大交匯：

以直線與圓和函數(shù)、向量、平面幾何、代數(shù)知識的結(jié)合最為常見。這為解析幾何試題的命制開拓了新的思路，為實現(xiàn)在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題提供了良好的素材。如：1.（2017年全國3卷12題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P

在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為（）A.3B.C.D.22.(2016年四川卷7題）設(shè)P:實數(shù)x,y滿足，q:實數(shù)x,y滿足則p是q的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、回歸課本示例由于直線與圓的基礎(chǔ)地位以及與其他知識聯(lián)系緊密的特點，所以在一輪復(fù)習(xí)時一定要求學(xué)生回歸課本，而回歸課本并不是簡單的一句讓學(xué)生自己看書，而是要帶領(lǐng)學(xué)生對課本的例題、習(xí)題進行再研究，再探索和綜合應(yīng)用。事實上，大部分高考題都來源于課本。如：2017年全國1卷（理科）17題:的內(nèi)角A.B.C的對邊分別為ɑ、b、c，已知的面積為,（1）求就來源于人教A版必修5，20頁習(xí)題1.2，B組第1題:證明三角形的面積公式：；再如2016年全國1卷（理科）17題:的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求C，則來源于人教A版必修5第18頁練習(xí)第3題:在中，求證：；；.下面用一個例子來示范一下《直線與圓》這一章如何回歸課本：

在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》（人教A版）必修2中，多次出現(xiàn)一類問題：

1、P124習(xí)題4.1B組第3題

已知點M與兩個定點O(0，0),A(3，0)的距離的比為求點M的軌跡方程。2、P139—140信息技術(shù)應(yīng)用中，用《幾何畫板》探究點的軌跡.有一例題：已知點P(2，0)、Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的,用《幾何畫板》探究點M的軌跡并給出軌跡的方程.3、P144復(fù)習(xí)參考題B組2題已知點M(x,y)與兩個定點的距離的比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。（考慮m=1和m≠1兩種情形）上述三個問題有一個共同的規(guī)律即：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值（不為1）的點的軌跡其實這三個問題的背景都是阿波羅尼斯圓阿波羅尼斯對圓錐曲線有深刻的研究，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的“數(shù)學(xué)三巨匠”.阿波羅尼斯圓

設(shè)A.B是平面內(nèi)的兩個定點，平面內(nèi)的動點C到點A的距離與到點B的距離的比為定值

，則點C的軌跡為圓.

設(shè)定線段AB的長為2a(a>0),以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-a,0),B(a,0),圓心(,0),半徑為

xAOByC阿波羅尼斯圓很常見，曾多次在高考或各類自招競賽題中顯性或隱性地出現(xiàn)。

例1.（2008年高考江蘇卷第13題）若AB=2.AC=BC,則的最大值是____.解法1：（常規(guī)）設(shè)BC=x,則AC=，根據(jù)面積公式得，

①

根據(jù)余弦定理得，將其代入①式得，由三角形三邊關(guān)系有，解得故當(dāng)時，取得最大值.解法2：以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1，0),B(1，0),設(shè)C(x,y),由AC=BC可得，故點C的軌跡是圓（除去與x軸的兩個交點），從而故的最大值為xAOByC小結(jié)：解法1用余弦定理將面積轉(zhuǎn)化為邊長的齊二次函數(shù)，再用二次函數(shù)最值求解，運算復(fù)雜；解法2看出三角題中隱藏著阿波羅尼斯圓，應(yīng)用面積最大即高取圓的半徑時最大，巧妙化解難點，使原本復(fù)雜的運算變得簡單。解法1是常規(guī)解法，但解法2更本質(zhì)，充分體現(xiàn)了在解小題時要多想少算。例2、（2011年浙江省溫州市高三模擬題）等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長為3,則的面積的最大值為________.此題題干簡潔，問法常規(guī)，每個人看到此題時都會想去解三角形，但從解三角形角度思考又會感覺無從下手或運算復(fù)雜。事實上，若發(fā)現(xiàn)AB=2AD，則可知點A在以B、D為兩定點的阿波羅尼斯圓上運動，所以與上題一樣，易求得：r=2,ABDCABD·類似的題目還有很多，如：1、（2006年高考四川卷理科第6題）已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（

）A．

B．

C．

D．2.(2008年高考四川卷理科第12題）已知拋物線C：的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為k，點A在C上且

,則的面積為（

）A.4B.8C.16D.

32例3.（2013年高考江蘇卷17題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點A(0,3)，直線L:

y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線L上.（1）(略)（2）若圓C上存在點M使,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解：(2)解:∵圓C的圓心在直線L:y=2x-4上，所以，設(shè)圓心C為(a,2a-4)，則圓的方程為:又∵MA=2MO∴設(shè)M為(x,y)，則整理得:.設(shè)為圓D.∴點M既在圓C上又在圓D上，即:圓C和圓D有交點.∴由得，由得.終上所述,a的取值范圍為:．小結(jié)：此題中很容易想到求點M的軌跡方程，但能否從軌跡中看出是圓，進而利用兩圓的位置關(guān)系來解題非常關(guān)鍵，這就需要學(xué)生要有這方面的知識和經(jīng)驗積累。對比例1和例2，此題中的阿波羅尼斯圓可以認為是顯性的。1.（2005年高考江蘇卷第19題）如圖所示，圓O1和圓O2的半徑都等于1，=4，過動點P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN（M，N分別為切點），使得|PM|=|PN|.試建立平面直角坐標(biāo)系，并求動點P的軌跡方程.類似的題目有：2、（2016年江蘇省南京市、鹽城市一模第17題）如圖所示，A,B是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16千米處，AB的南面為居民生活區(qū)。為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的AB北面建一個垃圾發(fā)電廠P。垃圾發(fā)電廠的選址P擬滿足以下兩個要求（A，B，P可看成三個點）：①垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠離居民區(qū)（這里參考的指標(biāo)是點P到直線AB的距離要盡可能大）?，F(xiàn)估測得，A,B兩個中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸，問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？CDBA例4、（2011年卓越聯(lián)盟自主招生第12題）在中,AB=2AC,AD是∠A的平分線.且AD=kAC，求k的取值范圍.解法1（常規(guī)）：設(shè)AC=1,則AB=2,AD=k,由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得,.由余弦定理可得,，，因為,,即

,故所求k的取值范圍是yCDBA解法2：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B(-a,0),C(a,0)，A(x,y)，由AB=2AC,得點A的軌跡方程為：①又因為AD是的平分線，所以,又,而，②①代入②化簡得，又x解法3：由條件AB=2AC,故構(gòu)造半徑為的阿波羅尼斯圓O，其中D是BC與圓的交點，AD是的平分線，則圓O上的點A滿足AB=2AC,設(shè),則令，從而為減函數(shù).故，所以yxEBCDOA注：事實上，此題的幾何事實一目了然，當(dāng)點A在圓上運動時，點A趨近于圓直徑的兩端點D,E時為k的取值范圍的端點，容易計算出端點對應(yīng)的k值為0和.yxEBCDOA小結(jié)：通過此題可以看出，有些題雖然應(yīng)用阿波羅尼斯圓在簡化解題過程方面優(yōu)勢不大，但卻能給我們提供多條思路，而且更容易看出問題的本質(zhì)。1、（2014年高考湖北卷文科第17題）已知圓和點A(-2，0)，若定點B(b,0)(b

-2)和常數(shù)滿足：對圓O上任意一點M，都有,則：（1）b=_____；（2）_____2、（2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽高一第14題）已知圓,點A(4,6），B(s,t).若s,t為正整數(shù),且圓C上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值,求m的值.類似的題目還有：總結(jié)：以阿波羅尼斯圓為命題背景編寫的試題，由于內(nèi)容形式常規(guī)、起點低，能保證大部分學(xué)生有思路、可以做，同時數(shù)學(xué)水平高、學(xué)科素養(yǎng)好的學(xué)生，從阿波羅尼斯圓的高層次觀點去考慮，往往能更快捷地解決問題。所以這類試題能很好地檢測學(xué)生能力，實現(xiàn)試題的區(qū)分功能。問題的設(shè)計以數(shù)學(xué)史上的名題為基礎(chǔ)，顯示出數(shù)學(xué)文化在選拔性考試中獨特的“點石成金”的作用。所以，本著從學(xué)科的整體高度和思維價值的角度出發(fā)，將知識、能力與素質(zhì)融為一體，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的試題無疑會是高考的熱點。同時，探究命題規(guī)律，揭示試題背后的故事，除了能幫助學(xué)生從根源上理解試題的解法，更能幫助老師探明試題命制的來龍去脈，從而有效地提高學(xué)生的解題水平和教師的教學(xué)水平。

前面僅以一例說明如何帶領(lǐng)學(xué)生回歸課本，事實上，本章的課本習(xí)題有很多是非常有研究價值的。如：1.課本103頁與109的直線系方程