人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題07相似三角形的基本六大模型(原卷版+解析)

專題07相似三角形的基本六大模型考點一（雙）A字型相似考點二（雙）8字型相似考點三母子型相似考點四旋轉相似考點五K字型相似考點六三角形內(nèi)接矩形/正方形考點一（雙）A字型相似1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．（2021·安徽·安慶市石化第一中學九年級期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．3．（2021·上海市金山初級中學九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．4．（2021·江蘇揚州·九年級期中）王華同學在晚上由路燈AC走向路燈BD，當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當他向前再步行12m到達Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個路燈之間的距離；(2)當王華同學走到路燈BD處時，他在路燈AC下的影子長是多少？5．（2022·湖南·寧遠縣水市鎮(zhèn)中學九年級階段練習）如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．6．（2021·山東·嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學九年級階段練習）中，，，，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關于t的函數(shù)關系式．（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似?7．（2022·上海·九年級專題練習）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．考點二（雙）8字型相似1．（2021·海南?？凇ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在?ABCD中，E為CD的中點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：352．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．3．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點M，過點M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．4．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．5．（2021·重慶·九年級期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長．6．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．7．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．（1）求證：；（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．8．（2020·四川成都·八年級期末）如圖1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分別是AB，BC上一點，AD＝2，CE＝3，OE與CD相交于點F．（1）求證：OE⊥CD；（2）如圖2，點G是CD的中點，延長OG交BC于H，求CH的長．考點三母子型相似1．（2021·北京市師達中學九年級階段練習）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為______．2．（2021·山西·中考真題）如圖，在中，點是邊上的一點，且，連接并取的中點，連接，若，且，則的長為__________．3．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．4．（2022·江蘇省南菁高級中學實驗學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．5．（2020·浙江紹興·九年級期末）如果兩個相似三角形的對應邊存在2倍關系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點作，交射線于點，連結，射線與射線交于點，若與互為母子三角形．求的值．考點四旋轉相似1．（2022·吉林長春·九年級期末）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．【探究】求證：．【應用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉，設旋轉角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1，當α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關系為______，AD與BE的位置關系為______；(2)當0°＜α≤360°時，上述結論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．3．（2022·全國·九年級專題練習）（1）嘗試探究：如圖①，在中，，，點、分別是邊、上的點，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點順時針旋轉，連接，，則在旋轉的過程中，請判斷的值及直線與直線的位置關系，并說明理由；（3）拓展運用：若，，在旋轉過程中，當三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長．4．（2022·全國·九年級課時練習）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當與的大小滿足怎樣的關系時，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．考點五K字型相似1．（2021·湖南長沙·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．2．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．（3）應用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．4．（2021·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學校九年級期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．5．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當點E在直線AC上運動時，①中的結論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．考點六三角形內(nèi)接矩形/正方形1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．2．（2021·全國·九年級課時練習）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數(shù)可保留）．3．（2021·山東東營·八年級期末）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖1、圖2所示．請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法更好（加工損耗忽略不計）．4．（2021·浙江·寧波市興寧中學九年級期中）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝12m，高線AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少米？小穎解得此題的答案為4.8m．(1)你知道小穎是怎么做的嗎？請你寫出解答過程？(2)善于反思，她又提出了如下的問題，如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．(3)如圖3，小穎想如果這塊余料形狀改為Rt△ABC的斜板，已知∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，要把它加工成一個形狀為平行四邊形PQMN的工件，使MQ在BC上，P、N兩點分別在AB，AC上，且PN＝8m，則平行四邊形PQMN的面積為m2．專題07相似三角形的基本六大模型考點一（雙）A字型相似考點二（雙）8字型相似考點三母子型相似考點四旋轉相似考點五K字型相似考點六三角形內(nèi)接矩形/正方形考點一（雙）A字型相似1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故選：A．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．2．（2021·安徽·安慶市石化第一中學九年級期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質得出，將兩個式子相加，即可求出GH的長．【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．3．（2021·上海市金山初級中學九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，進而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．4．（2021·江蘇揚州·九年級期中）王華同學在晚上由路燈AC走向路燈BD，當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當他向前再步行12m到達Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個路燈之間的距離；(2)當王華同學走到路燈BD處時，他在路燈AC下的影子長是多少？【答案】(1)18m(2)3.6m【分析】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，即得BQ＝AB，則AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質得，然后利用比例性質求出BN即可．(1)如圖1，∵PMBD，∴△APM∽△ABD，，即，∴AP＝AB，∵QB=AP，∴BQ＝AB，而AP+PQ+BQ＝AB，∴AB+12+AB＝AB，∴AB＝18．答：兩路燈的距離為18m；(2)如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，∵BMAC，∴△NBM∽△NAC，∴，即，解得BN＝3.6．答：當他走到路燈BD時，他在路燈AC下的影長是3.6m．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，要求學生能根據(jù)題意畫出對應圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數(shù)形結合的思想方法．5．（2022·湖南·寧遠縣水市鎮(zhèn)中學九年級階段練習）如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證得結論；（2）根據(jù)相似三角形的性質和平行線的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根據(jù)相似三角形的性質即可推出結論．【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，屬于常考題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵．6．（2021·山東·嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學九年級階段練習）中，，，，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關于t的函數(shù)關系式．（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案；（2）若運動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計算公式，即可得出S=20t-4t2，再結合各線段長度非負，即可得出t的取值范圍；（3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出結論．【詳解】（1）解：由運動知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（20-4t）cm，在Rt△CPQ中，，即；∴秒或秒（2）由題意得，，則，因此的面積為；（3）分兩種情況：①當時，，即，解得；②當時，，即，解得．因此或時，以點、、為頂點的三角形與相似．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．7．（2022·上海·九年級專題練習）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，進而求得；（2）分為0＜x＜3和3＜x＜4.5兩種情形，作EG⊥BC于G，根據(jù)三角形相似求出EG和BN；（3）分為BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三種，可根據(jù)BM＝9﹣2CF求得．【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴，∴BN＝10；（2）當CF＝BM時，，此時△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，當點M和B點重合時，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5，如圖2，當0＜x＜3時，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由得，，∴，∴y＝＝＝；如圖3，當3＜x＜4.5時，由得，∴CN＝，∴y＝＝；（3）如圖4，∵，∴，∴CG＝CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，當BM＝BE＝5時，9﹣2x＝5，∴x＝2，如圖5，當EM＝EB＝5時，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=，如圖6，當EM＝BM時，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝，∴BM＝，∴9﹣2x＝，∴x＝，綜上所述：x＝2或或．【點睛】此題考查相似三角形的判定及性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理解直角三角形，矩形的性質，正確引出輔助線及掌握分類思想解決問題是解題的關鍵．考點二（雙）8字型相似1．（2021·海南海口·九年級期末）如圖，在?ABCD中，E為CD的中點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對邊互相平行可得，然后求出和相似，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4，設，，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后表示出的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質可得，然后相比計算即可得解．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD∵E為CD的中點，∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽，：：：4，EF:AF=1:2設，則，：：2，：：：2，，，是平行四邊形ABCD的對角線，，，：：：5．故選A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵，不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的比的應用．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質和AE＝2ED即可得結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質進行解題．3．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點M，過點M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．【答案】【分析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因為,列出關于MN的方程，即可求出MN的長．【詳解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解題關鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對應邊之比的等量關系．4．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．5．（2021·重慶·九年級期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）因為∽，根據(jù)相似三角形的性質可知，代入數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】證明：（1），，∽；（2）∽，，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．6．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質即可得到結論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．在運用相似三角形的性質時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質．7．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．（1）求證：；（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質得出，，進而得出，由得，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點E為DC的中點，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．8．（2020·四川成都·八年級期末）如圖1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分別是AB，BC上一點，AD＝2，CE＝3，OE與CD相交于點F．（1）求證：OE⊥CD；（2）如圖2，點G是CD的中點，延長OG交BC于H，求CH的長．【答案】（1）見解析；（2）CH的長為6．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCO是矩形，可得OA=BC=8，OC=AB=6，根據(jù)勾股定理可得OE和CP的長，進而得EF和CF的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB-AD=6-2=4，根據(jù)勾股定理可得CD=4，根據(jù)點G是CD的中點，可得CG=DG=2，所以得點G是CP的三等分點，根據(jù)OA∥BC，對應邊成比例即可求出CH的長．【詳解】（1）∵四邊形ABCO是矩形，∴OA=BC=8，OC=AB=6，在Rt△OCE中，CE=3，∴OE=，∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，∴，∴，∴PA=4，∴PO=PA+OA=12，∴在Rt△OPC中，OC=6，∴CP=，∵OA∥BC，即OP∥CE，∴，∴，∴EF=OE=，CF=CP=，∵()2+()2==9，∴EF2+CF2=CE2，∴△CEF是直角三角形，∴∠CFE=90°，∴OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，根據(jù)勾股定理，得CD=，∵點G是CD的中點，∴CG=DG=2，由（1）知：CP=6，∴DP=CP﹣CD=2，∴點G是CP的三等分點，∵OA∥BC，即OP∥CH，∴，∴，∴CH=6．答：CH的長為6．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理及其逆定理的應用、相似三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例定理，解決本題的關鍵是掌握矩形的性質．考點三母子型相似1．（2021·北京市師達中學九年級階段練習）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為______．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，牢記相似三角形的判定定理是解題的關鍵．2．（2021·山西·中考真題）如圖，在中，點是邊上的一點，且，連接并取的中點，連接，若，且，則的長為__________．【答案】．【分析】延長BE交AC于點F，過D點作，由可得此時為等腰直角三角形，E為CD的中點且，則，在等腰中，根據(jù)勾股定理求得，長度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【詳解】如下圖，延長BE交AC于點F，過D點作，∵，，∴，，為等腰．由題意可得E為CD的中點，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案為：．【點睛】本題考察了等腰直角三角形的性質，勾股定理求對應邊的長度，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，構造合適的相似三角形，綜合運用以上性質是解題的關鍵．3．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進而求出，再利用相似三角形的性質得出答案即可；（2）由可證，進而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及重心的性質等知識，根據(jù)已知得出是解題關鍵．4．（2022·江蘇省南菁高級中學實驗學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性質及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，結合∠DAE=∠CAD即可證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質可求出AD的長，再結合AD=AB即可得出AB的長．【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）利用“兩角對應相等，兩三角形相似”證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質，求出AD的長．5．（2020·浙江紹興·九年級期末）如果兩個相似三角形的對應邊存在2倍關系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點作，交射線于點，連結，射線與射線交于點，若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見解析；（3）或3．【分析】（1）根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結論；（2）根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似得出，再根據(jù)從而得出結論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，分當分別在線段上時和當分別在射線上時兩種情況加以討論；【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2故選：C（2）是的角平分線，，，．又，與互為母子三角形．

（3）如圖，當分別在線段上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．如圖，當分別在射線上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．綜上所述，或3【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、分類討論的數(shù)學思想以及接受與理解新生事物的能力．準確理解題設條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進行分類討論，避免漏解．考點四旋轉相似1．（2022·吉林長春·九年級期末）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．【探究】求證：．【應用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．【答案】(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性質可證，又由，可證明結論；【應用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由，得，則；（2）由，得，由（1）知，得，從而得出答案．(1)∵△ABC為等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；(2)（1）∵等腰直角三角形的斜邊長為4，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：8；（2）∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，利用前面探索的結論解決新的問題是解題的關鍵．2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉，設旋轉角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1，當α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關系為______，AD與BE的位置關系為______；(2)當0°＜α≤360°時，上述結論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結論仍然成立，證明見解析(3)P點運動軌跡的長度是π；P點到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點運動軌跡的長度，由直角三角形的性質可求P點到直線BC距離的最大值即可．（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點D，E分別為AC，BC的中點∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點C順時針旋轉，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點G，作⊙G，以點C為圓心，CE為半徑作⊙C，當BE是⊙C切線時，點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C，∴P點運動軌跡的長度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點到直線BC距離的最大值．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、旋轉的性質、銳角三角函數(shù)等知識點，靈活應用相關知識是解答本題的關鍵．3．（2022·全國·九年級專題練習）（1）嘗試探究：如圖①，在中，，，點、分別是邊、上的點，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點順時針旋轉，連接，，則在旋轉的過程中，請判斷的值及直線與直線的位置關系，并說明理由；（3）拓展運用：若，，在旋轉過程中，當三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長．【答案】（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉的性質和勾股定理可求AF的長．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長交于，交于點，∵旋轉，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過點作交的延長線于點，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點在同一直線上，∴，∵旋轉，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過點作于點，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉，∴，且，∴，，∴，∴．【點睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，熟練運用這些性質進行推理是本題的關鍵．4．（2022·全國·九年級課時練習）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當與的大小滿足怎樣的關系時，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．【答案】（1）見解析；（2）當時，，理由見解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結論；（2）由菱形的性質得出，，則可證明，由全等三角形的性質可得出結論；（3）設與交于Q，與交于點P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）當時，，理由如下：∵，∴∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）設與交于Q，與交于點P，由題意知，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，連接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．【點睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質，三角形全等的判定與性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質是解題的關鍵．由(3)可得結論：當四邊形的對角線相互垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等．考點五K字型相似1．（2021·湖南長沙·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．【答案】3．【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進行計算，即可得出BE的長．【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，設EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理的運用，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形．2．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結論；（2）由，先求解，設，再利用相似三角形的性質可得：，列方程，解方程即可得到答案．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD，設，則，∴經(jīng)檢驗：是原方程的解，所以三角形的邊長為：3．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質解決問題是解題的關鍵．3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．（3）應用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）結論仍然成立，理由如下，，又，，，設，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構造45°角將問題轉化為一線三角是解題的關鍵．4．（2021·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學校九年級期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．5．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當點E在直線AC上運動時，①中的結論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（3）由的結論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．【詳解】解：當時，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如圖3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如圖4圖5圖6，連接EF．在中，，，，如圖4，當E在線段AC上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，或舍如圖5，當E在AC延長線上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或舍，③如圖6，當E在CA延長線上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或（舍），綜上：或．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關鍵，求CE是本題的難點．考點六三角形內(nèi)接矩形/正方形1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為__________