8.2 一元線性回歸模型及應用（解析版）人教版高中數(shù)學精講精練選擇性必修三

8.2一元線性回歸模型及應用考法一一元線性回歸模型【例1-1】（2024·四川綿陽）已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說法正確的是（

）A．B．變量y與x是負相關關系C．該回歸直線必過點D．x增加1個單位，y一定增加2個單位【答案】C【解析】依題意，，由，解得，A錯誤；回歸方程中，，則變量y與x是正相關關系，B錯誤；由于樣本中心點為，因此該回歸直線必過點，C正確；由回歸方程知，x增加1個單位，y大約增加2個單位，D錯誤.故選：C【例1-2】（2024湖南長沙）黨的十八大以來，全國各地區(qū)各部門持續(xù)加大就業(yè)優(yōu)先政策實施力度，促進居民收入增長的各項措施持續(xù)發(fā)力，居民分享到更多經(jīng)濟社會發(fā)展紅利，居民收入保持較快增長，收入結構不斷優(yōu)化，隨著居民總收入較快增長，全體居民人均可支配收入也在不斷提升．下表為某市2014~2022年全體居民人均可支配收入，將其繪制成散點圖（如圖1），發(fā)現(xiàn)全體居民人均可支配收入與年份具有線性相關關系.年份201420152016201720182019202020212022全體居民人均可支配收入（元）183522011022034241532638628920308243380335666參考數(shù)據(jù)：.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為.(1)設年份編號為（2014年的編號為1，2015年的編號為2，依此類推），記全體居民人均可支配收入為（單位：萬元），求經(jīng)驗回歸方程（結果精確到0.01）；(2)為進一步對居民人均可支配收入的結構進行分析，某分析員從2014~2022中任取2年的數(shù)據(jù)進行分析，將選出的人均可支配收入超過3萬的年數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）由題意得，，故，所以.故回歸方程為；（2）由圖表知，人均可支配收入超過3萬的年份有3年，故的可能取值為，則，故隨機變量的分布列為：012故.【例1-3】（2023河南南陽）在線性回歸方程中，為回歸系數(shù)，下列關于的說法中不正確的是（

）A．為回歸直線的斜率B．，表示隨增加，值增加，，表示隨增加，值減少C．是唯一確定的值D．回歸系數(shù)的統(tǒng)計意義是當每增加（或減少）一個單位，平均改變個單位【答案】C【解析】對于A，線性回歸方程中的為回歸直線的斜率，A正確；對于B，，表示隨增加，值增加，，表示隨增加，值減少，B正確；對于C，是由總體的一個樣本利用一定的方法計算得到的，選擇不同的樣本或不同的計算方法得到的一般是不同的，C錯誤；對于D，回歸系數(shù)的統(tǒng)計意義是當每增加（或減少）一個單位，平均改變個單位，D正確.故選：C【一隅三反】1．（2023青海海南）某廠近幾年陸續(xù)購買了幾臺A型機床，該型機床已投入生產(chǎn)的時間x(單位：年)與當年所需要支出的維修費用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到線性回歸方程為則該型機床已投入生產(chǎn)的時間為10年時，當年所需要支出的維修費用估計為（

）A．12.9萬元 B．12.36萬元C．13.1萬元 D．12.38萬元【答案】D【解析】，中心點代入回歸方程得，解得，，故當時，，即當年所需要支出的維修費用估計為萬元，故選：D2．（2024·甘肅隴南）（多選）某廠近幾年陸續(xù)購買了幾臺A型機床，該型機床已投入生產(chǎn)的時間x(單位：年)與當年所需要支出的維修費用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗回歸方程為.則（

）A．B．y與x的樣本相關系數(shù)C．表中維修費用的第60百分位數(shù)為6D．該型機床已投入生產(chǎn)的時間為10年時，當年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元【答案】ABC【解析】根據(jù)題意可得，，，所以樣本中心點為，對于A，將樣本中心點代入回歸方程，可得，故A正確；對于B，由表中數(shù)據(jù)可得隨著增大而增大，與正相關，所以相關系數(shù)，故B正確；對于C，維修費用從小到大依次為，第60百分位數(shù)為，故C正確；對于D，根據(jù)回歸分析的概念，機床投入生產(chǎn)的時間為10年時，所需要支出的維修費用大概是12.38萬元，故D錯誤.故選：ABC.3．（2024·陜西）某村在推進鄉(xiāng)村振興的過程中，把做活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)作為強村富民的重要抓手，因地制宜推進茶葉種植，成立了茶葉合作社．為了對茶葉在銷售旺季進行合理定價，合作社進行了市場調研，得到了銷售旺季時銷量（噸）關于售價（元/公斤）的散點圖．

(1)求關于的線性回歸方程；(2)該合作社2023年茶葉總產(chǎn)量為150噸，如果在銷售旺季時售價為250元/公斤，在銷售旺季沒能售出的，年底以每公斤100元的價格賣給批發(fā)商，則該合作社2023年的總銷售額為多少萬元？公式及參考數(shù)據(jù)：關于的線性回歸方程為，其中，；，，，．【答案】(1)(2)萬元【解析】（1）由已知，，所以關于的線性回歸方程為；（2）由（1）得當時，，即旺季時的銷量約為噸，剩下的約為噸，所以該合作社2023年的總銷售額（元），即該合作社2023年的總銷售額為萬元.考法二殘差的計算【例2】（2024·云南大理）已知某種商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應數(shù)據(jù)：134571520304045根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關于的經(jīng)驗回歸方程為，則當時，殘差為.（殘差觀測值-預測值）【答案】【解析】，因為回歸直線過點，代入，可得，當時，，所以殘差為.故答案為：【一隅三反】1．（2023黑龍江雙鴨山）色差和色度是衡量玩具質量優(yōu)劣的重要指標，已知該產(chǎn)品的色度和色差之間滿足線性相關關系，且，現(xiàn)有一對測量數(shù)據(jù)為（30,22.8），則該數(shù)據(jù)的殘差為（

）A．0.6 B．0.4 C． D．【答案】A【解析】當時，，所以該數(shù)據(jù)的殘差為．故選：A．2．（2023·河南）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點圖分析與之間的線性相關關系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為（

）A．38.1 B．22.6 C． D．91.1【答案】C【解析】因為觀測值減去預測值稱為殘差，所以當時，，所以殘差為.故選：C.3．（2024·云南楚雄）對具有線性相關關系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)（），其經(jīng)驗回歸方程為，且，，則相應于點的殘差為．【答案】/【解析】經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心，，，經(jīng)驗回歸方程為．當時，，殘差為．故答案為：.考法三回歸效果的刻畫方式【例3-1】（2024吉林長春）（多選）對兩組線性相關成對數(shù)據(jù)進行回歸分析，得到不同的統(tǒng)計結果，第一組和第二組成對數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為和，則（

）A．若，則第一組成對數(shù)據(jù)的線性相關關系比第二組的強B．若，則第一組成對數(shù)據(jù)的線性相關關系比第二組的強C．若，則第二組成對數(shù)據(jù)的經(jīng)驗回歸模型擬合效果比第一組的好D．若，則第二組成對數(shù)據(jù)的經(jīng)驗回歸模型擬合效果比第一組的好【答案】BD【解析】由越趨近1，數(shù)據(jù)的線性相關關系越強知，A錯誤；B正確；由殘差平方和越小，則數(shù)據(jù)的經(jīng)驗回歸模型擬合效果越好知，C錯誤；由決定系數(shù)越大，則數(shù)據(jù)的經(jīng)驗回歸模型擬合效果越好知，D正確，故選：BD【例3-2】（2024黑龍江哈爾濱）如圖，5個數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法正確的是（

）

A．樣本相關系數(shù)r變小B．殘差平方和變大C．決定系數(shù)變大D．解釋變量x與響應變量y的相關性變弱【答案】C【解析】由散點圖可知，去掉點后，與的相關性變強，且為正相關，所以變大，變大，殘差平方和變小.故選：C【一隅三反】1．（2024河北邢臺）中國茶文化博大精深、茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關，某數(shù)學建模小組建立了茶水冷卻時間x和茶水溫度y的一組數(shù)據(jù)，經(jīng)過分析，提出了四種回歸模型，①②③④四種模型的殘差平方和的值分別是1.23、0.80、0.12、1.36．則擬合效果最好的模型是（

）A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④【答案】C【解析】殘差平方和越小則擬合效果越好,而模型③的值最小，所以C正確.故選：C2．（2023四川成都）收集一只棉鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度的幾組數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)兩個變量有相關關系，按不同的曲線來擬合與之間的回歸方程，并算出了對應的決定系數(shù)如下表：擬合曲線直線指數(shù)曲線拋物線二次曲線與的回歸方程0.7460.9960.9020.002則這組數(shù)據(jù)模型的回歸方程的最好選擇應是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由決定系數(shù)來刻畫回歸效果，的值越大越接近1，說明模型的擬合效果最好．由表可知指數(shù)模型的決定系數(shù)最接近1.故選：B．3．（2023·江蘇徐州）（多選）某研究小組采集了組數(shù)據(jù)，作出如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（

）

A．相關系數(shù)變小B．決定系數(shù)變大C．殘差平方和變大D．解釋變量與預報變量的相關性變強【答案】BD【解析】根據(jù)散點圖可知，去掉點后，與的線性相關性加強，且為正相關，相關系數(shù)變大，則A錯D對，去掉點后，殘差平方和變小，則變大，B對C錯.故選：BD.4．（2024重慶·開學考試）（多選）為研究女兒身高與母親身高的關系，現(xiàn)經(jīng)過隨機抽樣獲得成對樣本數(shù)據(jù)，，下列說法正確的是（

）A．落在回歸直線上的樣本點越多，回歸直線方程的擬合效果越好B．樣本相關系數(shù)越大，變量線性相關程度越強C．決定系數(shù)越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好D．決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】BD【解析】對于A：回歸直線方程擬合效果的好壞是由決定系數(shù)來判斷的，故A錯誤；對于B：因為，且相關系數(shù)越接近，變量線性相關程度越強，故B正確；對于C：決定系數(shù)越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差，故C錯誤；對于D：決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故D正確.故選：BD考法四經(jīng)驗回歸模型的選擇【例4-1】（2023河南信陽·期末）如圖是兩個變量的散點圖，y關于x的回歸方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由散點圖可知，y與x負相關,故排除A,B,對于D：，點偏離較大，而點近似在曲線附近，所以y關于x的回歸方程是C的可能性大．故選：C．【例4-2】（2023江蘇）在一次數(shù)學建模活動中，某同學采集到如下一組數(shù)據(jù)：x0123y0.240.5112.023.988.02以下四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映y與x的函數(shù)系的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表格中的數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示，數(shù)據(jù)散點圖和指數(shù)型函數(shù)的圖象類似，所以選項B最能反映之間的函數(shù)關系.故選：B.【一隅三反】1．（2023河南）已知關于變量有相關關系，由觀測數(shù)據(jù)得到的樣本數(shù)據(jù)散點圖如圖所示，則該組觀測數(shù)據(jù)中關于的回歸方程可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點圖可知，所求回歸方程先減后增，選項中A，B均為定義域上的增函數(shù)，不符合題意；選項C中的函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，不符合題意；而選項D中的函數(shù)圖象增減性與散點圖符合題意，故D正確.故選：D．2．（2023福建福州）某個國家某種病毒傳播的中期感染人數(shù)y和天數(shù)x的散點圖如圖所示，下列最適宜作為感染人數(shù)y和天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖可知，圖象隨著x的增大而增高，且增長速度越來越快，結合選項，可判斷最適宜作為感染人數(shù)y和時間x的回歸方程.故選：B考法五非線性回歸方程【例5-1】（2023·四川遂寧）某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積x（單位：）與水生植物的株數(shù)y（單位：株）之間的相關關系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合x與y的關系，設，x與z的數(shù)據(jù)如表格所示：x3467z22.54.57得到x與z的線性回歸方程，則.【答案】/【解析】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，則.故答案為：【例5-2】（2024江西·期中）2020年是具有里程碑意義的一年，我們將全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標；2020年也是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年.為貫徹落實黨中央全面建設小康社會的戰(zhàn)略部署.某貧困地區(qū)的廣大黨員干部深入農(nóng)村積極開展“精準扶貧”工作﹒經(jīng)過多年的精心幫扶，2020年8月，為估計該地能否在2020年全面實現(xiàn)小康，統(tǒng)計了該地當時最貧困的一個家庭2020年1至7月的人均月純收入，作出散點圖如下.觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)其家庭人均月純收入(元)與時間代碼之間不具有線性相關關系(記2020年1月?2月…分別為，，…，依此類推)，現(xiàn)考慮用對數(shù)函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關系進行擬合.（1）根據(jù)散點圖判斷，與(，均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為家庭人均月純收入關于時間代碼的回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)（2）根據(jù)（1）的判斷結果及參考數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程.參考數(shù)據(jù)：其中，.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】（1）適宜；（2）.【解析】（1）根據(jù)散點圖判斷，函數(shù)適宜作為家庭人均月純收入關于時間代碼的回歸方程類型.（2）由，兩邊同時取常用對數(shù)得設，所以，因為，，，所以.把代入，得，所以，即，所以，即關于的回歸方程為.【一隅三反】1．（2023·全國·模擬預測）以函數(shù)模型去擬合一組數(shù)據(jù)，，…，，設，，，則c的值為．【答案】【解析】由，兩邊同時取對數(shù)可得，由，可得．因為，，所以直線過點，所以，得，所以．故答案為：2．（2024山東·開學考試）某市為繁榮地方經(jīng)濟，大力實行人才引進政策，為了解政策的效果，統(tǒng)計了2018-2023年人才引進的數(shù)量（單位：萬人），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖（表示年份代碼，年份代碼1-6分別代表2018-2023年）．(1)根據(jù)散點圖判斷與（均為常數(shù)）哪一個適合作為關于的回歸方程類型；（給出結論即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結果及表中的數(shù)據(jù)，求出關于的回歸方程，并預測該市2025年引進人才的數(shù)量；(3)從這6年中隨機抽取4年，記引進人才數(shù)量超過4萬人的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：5.151.5517.520.953.85其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：．【答案】(1)選擇更合適．(2)，12.68萬人(3)分布列見解析，2【解析】（1）根據(jù)散點圖可知，選擇更合適．（2）因為，所以兩邊同時取常用對數(shù)，得．設，則，先求關于的線性回歸方程．因為，，，所以．把代入上式，得，故預測該市2025年引進人才的數(shù)量為12.68萬人．（3）這6年中，引進人才的數(shù)量超過4萬人的年數(shù)有3個，所以的所有可能取值為1，2，3．，所以的分布列為123所以．3．（2024浙江寧波）某企業(yè)對2023年上半年的月利潤情況進行調查統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下：月份123456凈利潤（萬元）510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.(1)根據(jù)散點圖判斷，與（均為大于零的常數(shù)）哪一個更適宜作為描述與關系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結果求出關于的回歸方程；(3)已知該企業(yè)的產(chǎn)品合格率為，現(xiàn)隨機抽取9件產(chǎn)品進行檢測，則這9件產(chǎn)品中合格的件數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)驗回歸直線方程的系數(shù)公式為，，.【答案】(1)(2)(3)8件或9件【解析】（1）由于散點圖呈現(xiàn)在曲線附近，所以選擇（2）兩邊取對數(shù)，得，設，，建立關于的回歸方程，則，，所以關于的回歸方程為，所以.（3）設抽到的產(chǎn)品中有件合格品，則，所以，，即，，解得，所以最有可能是8件或9件.單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知與之間的一組數(shù)據(jù)：01231357則與的線性回歸方程必過定點（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由表格中的數(shù)據(jù)，可得，即數(shù)據(jù)的樣本中心為，所以回歸直線方程必過定點.故選：B.2．（2024安徽）下表數(shù)據(jù)為年我國生鮮零售市場規(guī)模（單位：萬億元），根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得市場規(guī)模關于年份代碼的線性回歸方程為，則（

）年份20172018201920202021年份代碼12345市場規(guī)模4.24.44.75.15.6A．1.01 B．3.68 C．3.78 D．4.7【答案】C【解析】由題意得，，，所以.故選：C.3．（2024江西上饒）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，則（

）345678-3.0-2.00.5-0.52.54.0A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】做出散點圖，由散點圖判斷的正負.從整體上看這些點大致分布在一條直線的周圍，且該回歸直線的斜率為正，在軸上的截距為負則，故選：C4．（2024遼寧）下列有關回歸分析的說法正確的是（

）A．樣本相關系數(shù)越大，則兩變量的相關性就越強.B．回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線.C．回歸直線方程不一定過樣本中心點.D．回歸分析中，樣本相關系數(shù)，則兩變量是負相關關系.【答案】D【解析】由知識點：兩變量的相關性就越強，則相關系數(shù)越接近或可知A不正確；由回歸直線是基于樣本數(shù)據(jù)使殘差平方和最小的擬合直線可判斷B不正確；由回歸直線方程一定過樣本中心點可知C不正確；由當相關系數(shù)時兩個變量正相關，時兩個變量負相關可得D正確.故選:D5．（2023·江蘇蘇州）為研究某地區(qū)疫情結束后一段時間內的復工率，用模型（1）和模型（2）模擬復工率y（%）與復工時間x（x的取值為5，10，15，20，25，30天）的回歸關系：模型（1），模型（2），設兩模型的決定系數(shù)依次為和.若兩模型的殘差圖分別如下，則（

）A．< B．=C．> D．、關系不能確定【答案】A【解析】根據(jù)殘差點圖，模型（2）殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域寬度窄，擬合精度較高，所以<，故選：A.6．（2024河南）兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，其中擬合效果最好的模型是（

）A．模型1的決定系數(shù) B．模型2的決定系數(shù)C．模型3的決定系數(shù) D．模型4的決定系數(shù)【答案】D【解析】決定系數(shù)越大（接近1），模型的擬合效果越好；決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差．模型4的決定系數(shù)最大、最接近1，其擬合效果最好.故選：D.7．（2024天津）下列說法中正確的個數(shù)為（

）個①互斥事件一定是對立事件.②在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量增加個單位；③兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于；④在回歸分析模型中，若相關指數(shù)越大，則殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.A． B． C． D．【答案】C【解析】對于①，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件未必是對立事件，①錯誤；對于②，根據(jù)回歸直線方程中回歸系數(shù)的含義可知：當解釋變量每增加一個單位時，預報變量增加個單位，②正確；對于③，根據(jù)相關系數(shù)的計算公式可知：相關系數(shù)的絕對值越接近，兩個變量的線性相關性越強，③正確；對于④，根據(jù)回歸分析的基本思想可知：相關指數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合度越高，④正確.故選：C.8．（2024·浙江）假設變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，兩個變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計，即求使取最小值時的的值，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，上式是關于的二次函數(shù)，因此要使取得最小值，當且僅當?shù)娜≈禐?故選：A.多選題9．（2024河南）已知變量之間的經(jīng)驗回歸方程為，且變量的數(shù)據(jù)如下表所示：5681214108651則下列說法正確的是（

）A．變量之間負相關 B．C．當時，可估計的值為11 D．當時，殘差為【答案】AC【解析】對于A選項，由，可得變量之間負相關，故A選項正確；對于B選項，，將代入經(jīng)驗回歸方程，有，可得，故B選項錯誤；對于C選項，由上知，當時，，故C選項正確；對于D選項，當時，，殘差為，故D選項錯誤．故選：AC．10（2023·江蘇）蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率x（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫y（單位：℃）存在著較強的線性相關關系．某地觀測人員根據(jù)下表的觀測數(shù)據(jù)，建立了y關于x的經(jīng)驗回歸方程，則下列說法正確的是（

）x（單位：次數(shù)/分鐘）2030405060y（單位：℃）2527.52932.536A．k的值是20B．變量x，y呈正相關關系C．若x的值增加1，則y的值約增加0.25D．當蟋蟀52次/分鳴叫時，該地當時的氣溫預測值為33.5℃【答案】ABC【解析】由表格中的數(shù)據(jù)，可得：，，因為回歸直線方程，可得，所以A正確；由經(jīng)驗回歸方程可知，可得變量x，y呈正相關關系，所以B正確；由回歸系數(shù)，可得的值增加1，則的值約增加0，所以C正確；當時，可得，所以D不正確．故選：ABC.11．（2023重慶沙坪壩·階段練習）兩個具有相關關系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)為，，求得樣本中心點為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為；若將數(shù)據(jù)調整為，，求得新的樣本中心點為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為，則以下說法正確的有（

）附，，A． B．C． D．【答案】BC【解析】，А錯誤；的計算中，數(shù)據(jù)不變，也不變，所以不變，B正確；，C正確；由于，變成了，，，從而，都不變，所以，D錯誤.故選：BC12（2023·廣東湛江）某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如下表所示：編號12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成如下所示的散點圖：由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關系數(shù)為，決定系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析確定為離群點（對應殘差過大），把它去掉后，再用剩下的9組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關系數(shù)為，決定系數(shù)為．則以下結論中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】身高的平均數(shù)為，因為離群點的橫坐標168小于平均值，縱坐標89相對過大，所以去掉離群點后經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大，所以，，所以A正確，B錯誤；去掉離群點后成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度更強，擬合效果會更好，所以，所以C正確，D錯誤．故選：AC．填空題13．（2024全國·模擬預測）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為，則可以預測，當時，的值為.456789908483807568【答案】58【解析】由題意得，，，將代入中，可得，∴當時，.故答案為：58.14．（2023全國·專題練習）x和y的散點圖如圖所示，在相關關系中，若用擬合時的決定系數(shù)為，用擬合時的決定系數(shù)為，則，中較大的是.【答案】【解析】由題圖知，用擬合的效果比擬合的效果要好，所以，故較大者為.故答案為：.15．（2024內蒙古）下列四個命題中為真命題的是.（寫出所有真命題的序號）①若隨機變量服從二項分布，則其方差；②若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則；③已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是6；④對具有線性相關關系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.【答案】①②④【解析】對于①，若隨機變量服從二項分布，則其方差，故①正確；對于②，若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則，故②正確；對于③，已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是，故③錯誤；對于④，對具有線性相關關系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則，則，即實數(shù)的值是，故④正確.故答案為：①②④16．（2023·陜西西安）數(shù)學興趣小組對具有線性相關的兩個變量x和y進行了統(tǒng)計分析，得到了下表：x4681012ya2bc6并由表中數(shù)據(jù)求得y關于x的回歸方程為，若a，b，c成等差數(shù)列，則．【答案】3【解析】由題意得，代入回歸方程得，則，所以，又，所以，故答案為：3解答題17．（2024青海）某企業(yè)投資兩個新型項目，投資新型項目的投資額（單位：十萬元）與純利潤（單位：萬元）的關系式為，投資新型項目的投資額（單位：十萬元）與純利潤（單位：萬元）的散點圖如圖所示．（1）求關于的線性回歸方程；（2）若該企業(yè)有一筆資金（萬元）用于投資兩個項目中的一個，為了收益最大化，應如何設計投資方案？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1）由散點圖可知，取時，的值分別為，所以，，，則．故關于的線性回歸方程為．（2）因為投資新型項目的投資額（單位：十萬元）與純利潤（單位：萬元）的關系式為，所以若投資項目，則該企業(yè)所得純利潤為萬元；因為關于的線性回歸方程為，所以若投資項目，則該企業(yè)所得純利潤的估計值為萬元．因為，所以當時，投資項目；當時，投資或項目；當時，投資項目．18．（2024福建）某市政府為調查集貿蔬菜市場個體承包攤戶年收入情況，隨機抽取了6個攤戶進行分析，得到樣本數(shù)據(jù)，），其中和分別表示第個攤戶和該攤戶年收入（單位：萬元），如下123456567798(1)請用相關系數(shù)判斷該組數(shù)據(jù)中與之間線性相關關系的強弱（若，相關性較強；若，相關性一般；若，相關性較弱）；(2)求關于的線性回歸方程；(3)若該集貿蔬菜市場個體承包攤戶有300個，根據(jù)題設估計該集貿蔬菜市場個體承包攤戶年收入總值.參考公式：相關系數(shù)，對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，.【答案】(1)與之間具有較強的線性相關關系(2)(3)210萬元【解析】（1）題意計算得，則，，則，所以，，，所以相關系數(shù)，因為與的相關系數(shù)滿足，所以與之間具有較強的線性相關關系．（2）由（1）可得，，所以（3）由題設得，可估計該集貿蔬菜市場個體承包攤戶年收入總值約為（萬元）．19．（2024江蘇）某公司為了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.對公司近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，進行了對比分析，建立了兩個模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，并得到一些統(tǒng)計量的值.令，，（，，，…，），經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：(1)請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？(2)根據(jù)（1）的分析及表中數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程.附：（1）相關系數(shù)；（2）線性回歸方程中，的計算公式分別為：，.【答案】(1)模型②的擬合程度更好(2)【解析】（1）設模型①和②的相關系數(shù)分別為，.由題意可得，，所以，由相關系數(shù)的相關性質可得，模型②的擬合程度更好.（2）因為，可得，即，可得，，所以關于的線性回歸方程為，即關于的回歸方程為.20．（2023·新疆哈密·期末）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如表：零件的個數(shù)x（個）2345加工的時間y（小時）2.5344.5

參考公式：，(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出關于的線性回歸方程；(3)預測加工10個零件需要多少小時？【答案】(1)作圖見解析(2)(3)8.05【解析】（1）

（2），，，，，由公式得，所以所求回歸方程為.（3）當時，，所以預測加工個零件需要小時.21．（2024重慶）研究表明，學生的學習成績y（分）與每天投入的課后學習時間x（分鐘）有較強的線性相關性．某校數(shù)學小組為了研究如何高效利用自己的學習時間，收集了該校高三（1）班學生9個月內在某學科（滿分