7.5 正態(tài)分布（解析版） 人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

.5正態(tài)分布考法一正態(tài)密度函數(shù)【例1-1】（2023江蘇·課時(shí)練習(xí)）已知正態(tài)分布密度函數(shù)，，則分別是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和【答案】B【解析】，.故選：B.【例1-2】（2024·江蘇）函數(shù)(其中)的圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函數(shù)圖象的對稱軸為直線，因?yàn)?，所以排除B，D；又正態(tài)曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.故選：A.【一隅三反】1．（2023陜西寶雞·期末）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)的意義，結(jié)合圖象可知，對稱軸位置相同，所以可得；且都在的右側(cè)，即，比較和圖像可得，其形狀相同，即，又的離散程度比和大，所以可得；故選：B2．（2023湖北武漢）設(shè)隨機(jī)變量，則X的密度函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，即，所以X的密度函數(shù)為A.故選：A3．（2023全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正態(tài)分布密度函數(shù)，可得.故選：C.考法二正態(tài)曲線的性質(zhì)【例2-1】（2024重慶大足·階段練習(xí)）某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．10 D．19【答案】B【解析】由題可知，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，且，則，解得.故選：B【例2-2】（2024新疆·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，所以，所以.故選：C【一隅三反】1．（2024·貴州貴陽）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值為（

）A．9 B．7 C．5 D．4【答案】B【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，所以，解得.故選：B.2．（23-24高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，已知，則（）A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425【答案】A【解析】.故選：A.3．（2023浙江·開學(xué)考試）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕郑裕蔬x：B.考法三指定區(qū)間的概率【例3-1】．（2023浙江·開學(xué)考試）某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)期末考試，每名學(xué)生的成績服從，成績不低于120分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為（

）附：若，則.A．23 B．46 C．159 D．317【答案】C【解析】由，得，則，估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為.故選：C【例3-2】（2024湖南常德）某校高三年級800名學(xué)生在高三的一次考試中數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?02分，則該學(xué)生數(shù)學(xué)成績的年級排名大約是（

）（附：，，）A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名【答案】B【解析】因?yàn)槌煽兘品恼龖B(tài)分布,，則，且，所以，因此該校數(shù)學(xué)成績不低于102分的人數(shù)即年級排名大約是．故選：B．【一隅三反】1．（2024黑龍江齊齊哈爾）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)后，每天小籠包的銷售量（單位：個(gè)），估計(jì)300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個(gè)的天數(shù)大約是（

）（若隨機(jī)變量，則，，）A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【解析】由題可知，，，所以300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個(gè)的天數(shù)大約是天．故選：B．2．（2024河南南陽）某班有45名學(xué)生，最近一次的市聯(lián)考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，若的學(xué)生人為18，則（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35【答案】C【解析】由題可設(shè)，則，又的學(xué)生人數(shù)為，故.故選：C3（2024河南南陽）（多選）已知某批零件的長度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，若從中隨機(jī)取一件，則下列結(jié)論正確的是（

）．（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．A．B．長度誤差落在內(nèi)的概率為0.6826C．長度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長度誤差落在內(nèi)的概率為0.1599【答案】ABC【解析】由圖中密度函數(shù)解析式，可得，A選項(xiàng)正確；又由圖像可知，則長度誤差落在內(nèi)的概率為，B選項(xiàng)正確；長度誤差落在內(nèi)的概率為，C選項(xiàng)正確；長度誤差落在內(nèi)的概率為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.考法四正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例4-1】（2024江蘇南通）某大型公司招聘新員工，應(yīng)聘人員簡歷符合要求之后進(jìn)入考試環(huán)節(jié).考試分為筆試和面試，只有筆試成績高于75分的考生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績.(1)從參加筆試的1000名考生中隨機(jī)抽取4人，求這4人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；(2)甲?乙?丙三名應(yīng)聘人員進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，且他們通過面試的概率分別為.設(shè)這三名應(yīng)聘人員中通過面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，【答案】(1)0.499(2)分布列見解析，【解析】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”，由已知得，所以，則，即這4人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為0.499.（2）由題意可得：的可能取值為，則：，，，，可得隨機(jī)變量的分布列為0123所以.【一隅三反】1．（2024廣東廣州·階段練習(xí)）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值作為估計(jì)值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ⅱ）若設(shè)備狀態(tài)正常，記表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【答案】(1)(2)（i）需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；（ii），【解析】（1）由頻率分布直方圖，得．．（2）（i）由（1）可知，，所以，，顯然抽查中的零件指標(biāo)，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，所以抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，故，所以，X的數(shù)學(xué)期望．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）近期，廣西軍訓(xùn)沖上了熱搜，軍訓(xùn)項(xiàng)目包括無人機(jī)模擬轟炸、戰(zhàn)場救護(hù)、實(shí)彈打靶、坦克步兵同步行軍等.十萬學(xué)生十萬兵，無懼挑戰(zhàn)、無懼前行，青春正當(dāng)時(shí).為了深入了解學(xué)生的軍訓(xùn)效果，某高校對參加軍訓(xùn)的2000名學(xué)生進(jìn)行射擊、體能、傷病自救等項(xiàng)目的綜合測試，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名軍訓(xùn)學(xué)生，對其測試成績（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求出的值并估計(jì)這100名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（單位：分）.(2)現(xiàn)該高校為了激勵(lì)學(xué)生，舉行了一場軍訓(xùn)比賽，共有三個(gè)比賽項(xiàng)目，依次為“10千米拉練”“實(shí)彈射擊”“傷病救援”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，三個(gè)項(xiàng)目通過各獎(jiǎng)勵(lì)300元、200元、100元，不通過則不獎(jiǎng)勵(lì).學(xué)生甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中通過的概率依次為，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否通過是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次比賽中累計(jì)所獲獎(jiǎng)勵(lì)的金額為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)若該高校軍訓(xùn)學(xué)生的綜合成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定軍訓(xùn)成績不低于98分的為“優(yōu)秀標(biāo)兵”，據(jù)此估計(jì)該高校軍訓(xùn)學(xué)生中優(yōu)秀標(biāo)兵的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】(1)，平均數(shù)為76分(2)分布列見解析，期望為(3)46【解析】（1）依題意，得，解得.由頻率分布直方圖，知成績的平均數(shù)為.所以估計(jì)這100名學(xué)生測試成績的平均數(shù)為76分.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，100，200，300，400，500，600.，，，，，，.所以的分布列為0100200300400500600所以.（3）由（1）可知.因?yàn)?，所以，所以，所以該高校軍?xùn)學(xué)生中“優(yōu)秀標(biāo)兵”的人數(shù)約為46.單選題1．（2024山西太原·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.2．（2024·河南信陽）對A，B兩地國企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國企員工的上班遲到時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時(shí)間為X（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時(shí)間為Y（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，故曲線的對稱軸在曲線的左側(cè)，排除C、D；由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A.故選：B．3（2023江西·開學(xué)考試）若隨機(jī)變量，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】A【解析】因?yàn)椋剩蔬x：A．4．（2024陜西渭南）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】A【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以.故選：A.5（2024廣西南寧）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由對稱性可知，故.故選：A6（2024廣西桂林）已知隨機(jī)變量，且，則下列說法不正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對A，由題意得，故A正確；對B，，故B正確；對C，，因?yàn)?，則，故C錯(cuò)誤；對D，因?yàn)椋瑒t，故D正確；故選C7（2024河南駐馬店）為了解高三學(xué)生體能情況，某中學(xué)對所有高三男生進(jìn)行了1000米跑測試，測試結(jié)果表明所有男生的成績（單位：分）近似服從正態(tài)分布，，，則下列說法不正確的是（

）A．若從高三男生中隨機(jī)挑選1人，則他的成績在內(nèi)的概率為0.2B．若從高三男生中隨機(jī)挑選1人，則他的成績在內(nèi)的概率為0.4C．若從高三男生中隨機(jī)挑選2人，則他們的成績都不低于75的概率為0.25D．越大，的值越小【答案】D【解析】，，故A，B正確.無論為何值，，若從高三男生中隨機(jī)挑選2人，則他們的成績都不低于75的概率為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：D8．（2023·廣東）某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果得到其產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱正品，其余的產(chǎn)品作為廢品處理．根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，得到產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖，將樣本平均數(shù)作為的近似值，將樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，已知質(zhì)量差，則下列說法中不正確的是（

）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．A．樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為B．若產(chǎn)品質(zhì)量差為mg，則該產(chǎn)品為優(yōu)等品C．該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率是D．從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取件，約有件優(yōu)等品【答案】A【解析】對于A：的頻率為，的頻率為，的頻率為，且，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以，則，解得，故A錯(cuò)誤；對于B：由題意知，，優(yōu)等品質(zhì)量差在即內(nèi)，而，故B正確；對于C：一等品質(zhì)量差在即內(nèi)，則正品質(zhì)量差在和內(nèi)，即在內(nèi)，所以產(chǎn)品為正品的概率為，故C正確；對于D：優(yōu)等品質(zhì)量差在內(nèi)，所以產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為0.6827，從正品中隨機(jī)抽取件，有件優(yōu)等品，故D正確．故選：A多選題9．（2023廣西桂林·期末）某市對歷年來新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該正態(tài)分布的均值為 B．C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)椋瑢τ贏選項(xiàng)，該正態(tài)分布的均值為，A對；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，D錯(cuò).故選：AB.10．（2022·江蘇·模擬預(yù)測）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，那么當(dāng)n比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，.任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（且）.當(dāng)時(shí)，對任意實(shí)數(shù)x，記，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．隨機(jī)變量，當(dāng)減小，增大時(shí)，概率保持不變D．隨機(jī)變量，當(dāng)，都增大時(shí)，概率單調(diào)增大【答案】AC【解析】】對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，故A正確；對于B,當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中代表標(biāo)準(zhǔn)差，代表均值,即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC11．（2023山東聊城）尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)環(huán)境，是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求，近年來，各地區(qū)以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生態(tài)環(huán)境，我國生態(tài)文明建設(shè)發(fā)生了歷史性、全局性的變化.一地區(qū)的科研部門調(diào)查某綠色植被培育的株高（單位：）的情況，得出，則下列說法正確的是（

）A．該地植被株高的均值為100B．該地植被株高的方差為10C．若，則D．隨機(jī)測量一株植被，其株高在以上的概率與株高在以下的概率一樣【答案】AC【解析】因?yàn)椋?，對于A，因?yàn)椋跃禐?00，所以A正確;對于B，因?yàn)椋苑讲顬?00，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋?，解得，所以C正確；對于D，因?yàn)?，，所以隨機(jī)測量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大，所以D錯(cuò)誤故選：AC.12．（2024云南）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，．記的密度函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】

如圖，作出隨機(jī)變量服從的正態(tài)分布曲線.因，故由圖知.對于A項(xiàng)，由圖可知，必有，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因，由圖知，，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因，不妨取，則可理解為由直線和曲線及軸圍成的近似直角梯形的面積，高為，則即為梯形的中位線長，此時(shí)顯然大于，即有成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，因，則可理解為由直線和曲線及軸圍成的近似直角梯形的面積，高為，則即為梯形的中位線長，此時(shí)顯然小于，即有成立，故D項(xiàng)正確.故選：BD.填空題13．（2023吉林長春·期中）設(shè)隨機(jī)變量，X的正態(tài)密度函數(shù)為，則.【答案】0【解析】由正態(tài)密度函數(shù)結(jié)構(gòu)特征可知，.故答案為：014（2024河南·開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】1【解析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，解得．故答案為：1.15（2024海南）為準(zhǔn)備2022年北京一張家口冬奧會(huì)，某冰上項(xiàng)目組織計(jì)劃招收一批9~14歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運(yùn)動(dòng)員，共有10000名運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加測試，其測試成績（滿分100分）服從正態(tài)分布，成績?yōu)?0分及以上者可以進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)，已知80分及以上的人數(shù)為228人，請你通過以上信息，推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)的人數(shù)為．附：，，．【答案】13【解析】正態(tài)分布，可知，分及以上的人數(shù)為人，則，由正態(tài)分布曲線的對稱性可得：，得，所以，則，則分及以上的人數(shù)為人.故答案為：.16．（2024·遼寧·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)參考數(shù)據(jù)：若則，，【答案】公交【解析】由題意可知從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間不超過48分鐘，小明就不會(huì)遲到；若選擇自駕，則；若選擇地鐵，則；若選擇公交，則，而，故選擇公交上班遲到的可能性最小，故答案為：公交解答題17．（2024·河南南陽）象棋是中國棋文化之一，也是中華民族的文化瑰寶，源遠(yuǎn)流長，雅俗共賞.某地舉辦象棋比賽，規(guī)定:每一局比賽中勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局.(1)若甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽冠亞軍的激烈角逐，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，先得3分者奪冠，比賽結(jié)束.(i)求比賽結(jié)束時(shí)，恰好進(jìn)行了3局的概率;(ii)若前兩局甲、乙各勝一局，記表示到比賽結(jié)束還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，本賽季參賽選手總得分近似地服從正態(tài)分布.若，則參賽選手可獲得“參賽紀(jì)念證書”;若，則參賽選手可獲得“優(yōu)秀參賽選手證書”.若共有200名選手參加本次比賽，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的選手人數(shù).(結(jié)果保留整數(shù))附:若，則，.【答案】(1)(i)；(ii)分布列見解析，(2)164【解析】（1）(i)比賽結(jié)束時(shí)恰好進(jìn)行了3局，甲奪冠的概率為，乙奪冠的概率為，所以比賽結(jié)束時(shí)恰好進(jìn)行了3局的概率為(ii)的可能取值為2，3因?yàn)?，，所以的分布列如?23故（2）因?yàn)楸荣惓煽兘频胤恼龖B(tài)分布，所以比賽選手可獲得“參賽紀(jì)念證書”的概率:所以估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的選手人數(shù)為16418（20224廣東）2020年國慶節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握國慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了3日上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)站點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段9:20~9:40記作、9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.(1)估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間內(nèi)通過該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列；(3)根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9:20~10:40之間通過該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.假如4日全天共有1000輛車通過該收費(fèi)站點(diǎn)，估計(jì)在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.附：若隨機(jī)變量T服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)10∶04(2)分布列見解析(3)819【解析】（1）解：這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為：，即10∶04；（2）由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在20，60這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即，所以X的可能的取值為0，1，2，3，4.所以，，，，.所以X的分布列為：X01234P（3）由（1）得，所以，估計(jì)在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)也就是在46，100通過的車輛數(shù)，由，得，所以估計(jì)在之間通過的車輛數(shù)為.19（2024山東濟(jì)寧）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為引導(dǎo)和帶動(dòng)青少年重溫中國共產(chǎn)黨的百年光輝歷程，某市組織全市中學(xué)生參加中國共產(chǎn)黨百年歷史知識(shí)競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）；(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在的人數(shù)為，試求的分布列和均值；(3)用樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識(shí)競賽的學(xué)生的得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加知識(shí)競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2000人，若這2000名學(xué)生的得分相互獨(dú)立，試問得分高于90分的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，．【答案】(1)71.67(2)分布列見解析，(3)3【解析】（1）設(shè)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)的估計(jì)值為，則，即.（2）從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，其中得分在[80,90）的人數(shù)為.若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在[80,90）的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，3.則，，，，則的分布列為0123P所以.（3）由頻率分布直方圖估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)為45×10×0.010＋55×10×0.015＋65×10×0.020＋75×10×0.030＋85×10×0.015＋95×10×0.010＝70.5，所以取，由已知，，.所以，故這2000名學(xué)生得分高于90分的人數(shù)最有可能為.20．（2024·江西）面試是求職者進(jìn)入職場的一個(gè)重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個(gè)問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯(cuò)不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識(shí)，每道題答對得4分，答錯(cuò)不得分.(1)若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.附：若（），則，，.【答案】(1)16(2)【解析】（1）因?yàn)榉恼龖B(tài)