第二章電阻電路分析的基本方法

第二章電阻電路分析的基本方法本章以直流電路為研究對象，討論電路的幾種普遍的分析、計算方法。包括等效變換、支路電流法、結(jié)點電位法、疊加原理和戴維南定理等。這些方法可統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)方程法；它是以電路元件的伏安關(guān)系和基爾霍夫定律為基礎(chǔ)的，選擇適當?shù)奈粗兞浚⒁唤M獨立這些電阻電路的分析計算方法只要稍加擴展，即可用于交流電路的分析計算，所以本如果電路只有一個輸入端口或輸出端口，則這個電路稱為單口網(wǎng)絡(luò)或二端網(wǎng)絡(luò)。若二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含有電源，則稱為有源二端網(wǎng)絡(luò)。若內(nèi)部不含電源，則稱為無源二端網(wǎng)絡(luò)。如圖2-1(a)所示為一個有源二端網(wǎng)絡(luò)，a、b為此網(wǎng)絡(luò)的輸出端點。圖2-1(b)所示為無源二端網(wǎng)絡(luò)是由電阻元件組成的。在它內(nèi)部，電阻的連接可能很復(fù)雜，但對外部電路來說，可以用一個等效電阻來代替它。這個電阻就稱為這一無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。這里，“等效”是對外部電路來說。如圖2-1(b)中虛線框內(nèi)的四個電阻，可以用一個等效電阻來代替它們，只要端口上的U、I不變，則對虛線以外的電路來說是等效的，因為它不影響虛線以外的任何電路。但對虛線框內(nèi)部，也就是說對無源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部并不等效。電路原是四個電阻組成，現(xiàn)只有一個電阻，電路的結(jié)構(gòu)、參數(shù)完全不同，不可能等效。所(一)串聯(lián)電阻的等效化簡所謂串聯(lián)就是兩個或多個元件首尾相聯(lián)接流過同一電流。如圖2-2(a)所示為兩個電阻R?、R?串聯(lián)，可以用等效電阻R代替它們，如圖2-2(b)所示，只要R滿足如下關(guān)圖2-2電阻的串聯(lián)上式表明，串聯(lián)電阻的等效電阻值總是大于其中任一個電阻(二)分壓公式在電工技術(shù)中常常遇到把總電壓分為若干個分電壓的問題，方法之一是用電阻來串聯(lián)。在圖2-2(a)中，根據(jù)KVL有串聯(lián)電路中，電流相等。所以，兩個電阻上的電壓U?和U?分別為從式2-4可知，分電壓U?和U?與電阻值R?、R?成正比，阻值較大的電阻承受較高串聯(lián)電阻的分壓作用在電工技術(shù)中應(yīng)用很廣泛。例如電子線路中的信號分壓；電壓表例2.1.1已知有一表頭的內(nèi)阻Rg=1kΩ,允許通過的最大電流(指針偏至滿刻度)Ig=0.1mA問：(1)直接用這個表頭可測量多大的電壓?(2)欲使量程擴大為10V,則應(yīng)串聯(lián)多大的電阻?解：電壓表的使用方法是并聯(lián)于被測電路Ux上的(見圖2-3),表頭滿刻度時，表頭Ug=IgRg=0.1×10-3×1×103=欲使量程擴大為10v,可根據(jù)串聯(lián)電阻分壓原理，串入電阻Rf并使Rf兩端的電壓為由此可知，電壓表的量程愈大，則分壓電阻Rf也愈大。電壓表的等效內(nèi)電阻是很大的。(一)并聯(lián)電阻的等效化簡R代替它們，如圖2-4(b)所示，只要R滿足下列關(guān)系即可：若n個電阻并聯(lián)，則有(二)分流公式根據(jù)歐姆定律可得出總電流與各支路電流的關(guān)系。在圖2-4(a)所示的電路中，式2-7是兩個電阻并聯(lián)時的分流公式，它表明通過并聯(lián)電阻的電流大小與電阻值成反比，并聯(lián)電阻中阻值愈小的將從總電流中分圖2-4電阻的并聯(lián)在實際中，同一電壓等級的用電器是并聯(lián)在該電壓的電源上使用的。在電源電壓不變的條件下，并聯(lián)的負載愈多，即負載愈大，圖2-4電阻的并聯(lián)有時為了某種需要，可將電路中的某一段與電阻或變阻器并聯(lián)，例2.1.2用例2.1.1的表頭(Ig=0.1mA,Rg=1kΩ)制成毫安表，欲使量程擴大為100mA,問應(yīng)并聯(lián)阻值為多大的電阻?解：要擴大表頭測量電流的量程，須在表頭上并聯(lián)相應(yīng)的分流電阻，如圖2-5所示。圖中I為被測電流，分流電阻的電流為Ir。由于并聯(lián)支路承受同一電壓U,故有IgRg=IyRf而欲使電流表量程為100mA,應(yīng)并聯(lián)的電阻阻值Rf為由此可知，電流表量程愈大，并聯(lián)的分流電阻則愈小。因此，電流表的等效內(nèi)阻是很小的。所以測量電流時，必須把電流表串聯(lián)接在電路中，如果錯接成并聯(lián)，則電流表里會三、電阻的混聯(lián)一個電路中的電阻，既有串聯(lián)又有并聯(lián)，這樣的聯(lián)接方式稱為混聯(lián)。實際上，不管混為一個等效電阻，即從遠離所求端開始等效；而計算各支路電流、電壓，又應(yīng)從前到后，例2.1.3計算圖2-6a所示電阻電路的等效電阻R,并求電流I和I?。II圖2-6例2.1.3的圖解：(1)按電路結(jié)構(gòu)，根據(jù)電阻串聯(lián)與并聯(lián)的特征，看清哪些電阻是串聯(lián)的，哪些是并聯(lián)的。在圖2-6(a)中，R1與R2并聯(lián)，得R12=1QR3與R4并聯(lián)，得R34=2Q因而簡化為圖2-6(b)所示的電路。在這圖中，R34與R?串聯(lián)，而后再與R?并聯(lián)，得R3456=2Q,再簡化為圖2-6(c)所示的電路。由此最后簡化為圖2-6(d)所示的電(2)由圖2-6(d)得出(3)式(2-4)和式(2-7)分別為兩個電阻串聯(lián)的分壓公式和兩個電阻并聯(lián)的分流公式。這兩個公式在分析與計算電路時很有用處。在圖2-6(c)中，§2-2支路電流法前面已經(jīng)說過，凡是能夠用電阻串、并聯(lián)等效變換公式將電路化簡、并且用歐姆定律求解的電路都是簡單電路；反之，則為復(fù)雜電路。復(fù)雜電路的分析與計算的主要內(nèi)容是：給定網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、電源及元件的參數(shù)，要求計算出網(wǎng)絡(luò)里各個支路的電流及電壓、還有時不管實際電路如何復(fù)雜，它都是由節(jié)點和回路組成的，它的各支路電流、各部份電壓之間必定遵循基爾霍夫的兩個定律。而對于一段線性電阻電路來說，其電流和端電壓之間圖2-7支路電流法必定符合歐姆定律。所以我們分析與計算線性網(wǎng)絡(luò)的理論基礎(chǔ)和基本工支路電流法是以支路電流為未知量，根據(jù)KCL和KVL列出電路中下面就以圖2-7所示電路為例，說明支路電流法的要點。然后，圖2-7所示電路不屬于電阻的串、并聯(lián)電路，不可能用串、并聯(lián)這個復(fù)雜電路有兩個結(jié)點a和b,三條支路，兩個網(wǎng)孔。為應(yīng)用KCL和KVL,需先假定所求量I、Io和U的參考方向，并標注于圖中。然后，結(jié)點aI0=IS+I結(jié)點bIS+I=I0注意到這兩個結(jié)點電流方程是完全一樣的，即其中只有一個方程是獨立的，一般地說，對具有n個結(jié)點的電路，應(yīng)用KCL電流定律只能得到(n-1)個獨立方程。列KVL方程：繞行方向取順時針方向，并于圖中標出。事實上，在圖中還有另外一個回路aUsRblsa,取順時針繞行方向，其KVL方程為但是，上述三個回路電壓方程只有兩個是獨立的，第三個方程可以得到，是不獨立的，所以也無需列出。一般地說，對具有n個結(jié)點b條支路的電路，應(yīng)用KVL電壓定律可以得到[b-(n-1)]個獨立方程。二、解題步驟例2.2.1電路如圖2-8所示。電動勢E?=140V、E?=90V,電阻R?=202、R?=5Ω、圖2-8支路電流法舉例R?=62。要求計算R?所在支路電壓U?。本題是已知電源電動勢及所有電阻阻值，求解的是支路電壓U3及功率。2.定出所求各量的參考方向，并于圖中標出，注意U?與I?取關(guān)聯(lián)兩個結(jié)點，可列出一個獨立的KCL方程按照網(wǎng)孔列KVL方程，均取順時針方向為繞行方向。網(wǎng)孔abEja4.聯(lián)立求解，可得I?=4A、I?=6A、I?=10A。三個電流均為正值，表明電流的實際方§2-3結(jié)點電壓法圖2-9所示的電路是具有兩個結(jié)點a和b、四條支路的復(fù)雜電路，這類少結(jié)點多支路的電路特別適合于采用結(jié)點電壓法。結(jié)點間的電壓U稱為結(jié)點電壓，現(xiàn)結(jié)合圖2-9所示1.選一個結(jié)點作為參考結(jié)點，則其余結(jié)點對參考結(jié)點的電壓就是所需求的未知量。通圖2-9具有兩個結(jié)點的復(fù)雜電路2.標出各支路電流的參考方向，根據(jù)基爾霍夫電壓定律[參照圖1-36b]或歐姆定律用相應(yīng)由上式(2-8)可見，在已知電動勢和電阻的情況下，只要先求出結(jié)點電壓U,就可3.參考結(jié)點以外的各結(jié)點可應(yīng)用基爾霍夫電流定律得出。在圖2-9中，將式(2-8)代入上式，則得式(2-9)是求解只有二個結(jié)點的電路中結(jié)點電壓的公式，它是結(jié)點電壓法的特例。支路中電動勢與該支路電阻比值的代數(shù)和，也就是各含源支路的等等效電流源的電流是流入結(jié)點a的，則該支路的為正，反之為負。公式分母是各支路電例2.3.1用結(jié)點電壓法計算例2.2.1。解：圖2-8所示的電路也只有兩個結(jié)點a和b。結(jié)點電壓為例2.3.2計算圖2-10所示電路中A點和B點的電位。C點為參考點(VC=0)。解：圖2-10所示的電路有三個結(jié)點，設(shè)其中一個為參考點，則其他兩個結(jié)點的電位應(yīng)用基爾霍夫電流定律對結(jié)點A和B列方程圖2-10例2.3.2的電路VA=+10VVB=+20V§2-4疊加原理疊加原理是線性電路的一個重要的基本性質(zhì)，是構(gòu)成其它網(wǎng)絡(luò)理論的基礎(chǔ)，它說明了在線性電路中各個電源作用的獨立性。正確掌握疊加原理將能使我們進一步加深對線性電圖2-11疊加原理一、疊加原理的內(nèi)容疊加原理的內(nèi)容是：在多個電源共同作用的線性電路圖2-11(a)所示的電路中，恒流源Is與電壓源E共同作用在電阻R上，產(chǎn)生電流I。這個電流分別是由恒流源Is單獨作用時在R上產(chǎn)生的電流I′[如圖2-11(b)所示]和電壓源E單獨作用時在R上產(chǎn)生的電流I”[如圖2-11(c)所示]的代數(shù)和，即I=I′+I”。(一)電源單獨作用即兩端電壓為零，把恒壓源兩端視為“短路”即可[見圖2-11(b)],恒流源取零值時即電流為零，把恒流源視為“開路”即可[見圖2-11(c)]。但應(yīng)注意，電壓源、電流源的內(nèi)阻(二)代數(shù)和中的正負值電壓或分電流與總電壓或總電流方向一致時取正值，方向相反時取負值。在圖2-11中，定正方向也是從a指向b,與I的方向相同。所以求代數(shù)和時I=I'+I”。假若I"的假定正方圖2-12例2.4.1的電路例2.4.1用疊加原理計算圖2-12所示電路中各支路電流。已知E?=10V,E?=6V,R?=10Ω,R?=90Ω,R?=0.1Ω,解：圖2—12中，根據(jù)疊加原理，繪出E?和E2單獨作用時的電路，如圖2-12(b)、(c)所示。根據(jù)圖(b)可求出E?單獨作用時各支路的電流，即根據(jù)圖(c)求出E?單獨作用時各支路的電流，即§2-5戴維南定理與諾頓定理在一個有源網(wǎng)絡(luò)中，若只需求某一支路的電壓、電流、功率，則可以把需求支路從網(wǎng)絡(luò)中分離出來，網(wǎng)絡(luò)的剩余部分就是一個有源二端網(wǎng)絡(luò)。任何一個由電阻和電源組成的線性二端網(wǎng)絡(luò)均可以用一個電壓源來等效它。戴維南定理就是說明這種線性有源二端網(wǎng)絡(luò)等定理的內(nèi)容：任何一個線性有源二端網(wǎng)絡(luò)對于外電路來說，可用一個等效電壓源來代替(如圖2-13所示)。等效電壓源的電動勢E等于有源二端網(wǎng)絡(luò)輸出端開路時的輸出電壓Uo;內(nèi)電阻Ro等于二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨立電源為零值時在網(wǎng)絡(luò)輸出端的等效電阻。a ba b圖2-13戴維南定理在圖2-14中，N代表有源二端網(wǎng)絡(luò)，a、b為輸出端，No表示N中所有獨立電源為零值時(即恒壓源短路、恒流源開路)所得的無源二端網(wǎng)絡(luò)。圖2-14(a)中的Uo是輸出端開路時的輸出電壓，也稱為“開路電壓”,它不同于圖2-13中接有R時的Uab。圖2-13b中的等效電壓源表示的電路也稱為戴維南等效電路，其中等效電壓源的內(nèi)電b圖2-15例2.5.1的電路例2.5.1在圖2-15電路中，已知E?=140V,E?=90V,R?=20Ω,R?=50,R?=6Ω。求流過R?的電流I?。解：根據(jù)戴維南定理，電路中除電阻R?以外，其余部分(虛線框內(nèi)部分)構(gòu)成有源二路中分離出來，如圖2—15b所示，求圖中的Uo。中電源取零值，即恒壓源短路，恒流源開路。這樣便得到一個無源二端網(wǎng)絡(luò)，如圖2—15 并聯(lián)、混聯(lián)的方法；也可先求出ab端的短路電流Is[把圖2-15(b)中a、b端短路]和輸根據(jù)圖2-15c可以求得：第三步，繪出戴維南等效電路，如圖2-21d所示，再求出I?。繪制戴維南等效電路時，要注意E的極性，應(yīng)與第一步中Uo的正方向相符合。故圖2還應(yīng)強調(diào)，以上的變換只是對R?支路來說是等效的，對虛線框內(nèi)被變換部分的電路本身并不等效，故不能用圖2-15電路來計算R?或R?支路的電流。例2.5.2在圖2-16a的橋式電路中，已知Us=10V,Is=2A,R?=8Ω,R?=4Ω,R?=6Ω,R?=2Ω。求流過R?的電流I。(1)求等效電源電動勢E,把R?從電路中除去，計算余下的有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uo,如圖2-16(b)所示?？汕蟮?2)求等效電源內(nèi)電阻Ro,如圖2—16(c)所示。(3)由戴維南等效電路求I,如圖2-16d所示。一個有源二端網(wǎng)絡(luò)可以通過戴維南定理用一個電壓源來等效，也可以應(yīng)用諾頓定理用諾頓定理：任何一個線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，對于外電路來說，可以用一個等效電流源來代替，等效電流源的電激流Is等于有源二端網(wǎng)絡(luò)輸出端短路時的輸出電流，內(nèi)電阻Ro等于有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨立電源為零值時在網(wǎng)絡(luò)輸出端的等效電阻，如圖2-17所示。圖2-17諾頓定理例2.5.3用諾頓定理計算例2.5.1中的支路電流I?。解：圖2-15(a)的電路可化為圖2-18所示的等效電路。等效電源的電流Is可由圖2-19求得等效電源的內(nèi)阻R?同例2.5.1一樣，可由圖2-15(c)求得§2-6最大功率傳輸定理實際中許多電子設(shè)備所用的電源，無論是直流穩(wěn)壓源，還是各種波形的信號發(fā)生器，其內(nèi)部電路結(jié)構(gòu)都是相當復(fù)雜的，但它們在向外供電時都是引出兩個端子接到負載?？梢哉f它們就是一個有源二端網(wǎng)絡(luò)。當所接負載不同時，二端網(wǎng)絡(luò)傳輸給負載的功率也就不同?，F(xiàn)在我們討論對給定的有源二端網(wǎng)絡(luò)，當負載為何值時網(wǎng)絡(luò)傳輸給負載的功率最大呢?負載所能得到的最大功率又是多少呢?為了回答這兩個問題，我們將有源二端網(wǎng)絡(luò)等效成戴維南電源模型，如圖2-20所則電源傳輸給負載R的功率則電源傳輸給負載R的功率由上式可知，當RL=RO時PL有極大值。所以有源二端網(wǎng)絡(luò)傳輸給負載的最大功率條件是，負載電阻RL等于網(wǎng)絡(luò)等效電源內(nèi)阻RO。將(2—11)式代入(2—10)式即可得到有源網(wǎng)絡(luò)傳輸給負載的最大功率為通常，當RL=RO時，稱為最大功率匹配。這里應(yīng)注意，其一不要錯誤地把最大功率傳輸定理理解為要使負載功率最大，應(yīng)使戴維南等效電源內(nèi)阻RO等于RL。如果RL固定而RO可變的話，則應(yīng)使RO等于零時(uoc一定)方能使RL上獲得功率最大。另一常易產(chǎn)生的錯誤概念是由線性二端網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率時，因為RO與RL消耗的功率相等，所以其功率傳遞效率為50%。于是就得出一個結(jié)論：如果負載功率來自一個只具有內(nèi)阻RO的電壓源，那末負載得到最大功率時的效率確實是50%,但是二端網(wǎng)絡(luò)和它的等效電路，就內(nèi)部功率而言一般是不等效的，由等效內(nèi)阻RO算得的功率一般并不等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率，因此實際上當負載得到最大功率時，其功率傳輸效率未必是50%。例2.6.1電路如圖2-21(a)所示。試求：(1)RL為何值時獲得最大功率；(2)RL獲得的最大功率；(3)10V電壓源的功率傳輸效率。解：(1)斷開負載RL,求得單口網(wǎng)絡(luò)N?的戴維南等效電路參數(shù)為：如圖2-21(b)所示，由此可知當RL=Ro=1Ω時可獲得最大功率。(2)由式2-12求得R獲得的最大功率路(3)先計算10V電壓源發(fā)生的功率。當路10V電壓源發(fā)出37.5W功率，電阻R.吸收功率6.25W,其功率傳輸效率為%本章小結(jié)1.無源二端網(wǎng)絡(luò)和有源二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓電流關(guān)系相同的兩個網(wǎng)絡(luò)稱為等效網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)的等效變換可以將電路化簡，而不會影響電路其余部分的電壓和電流。一個無源二端網(wǎng)絡(luò)可等效為一個電阻，該電阻等(1)(1)串聯(lián)電阻的等效電阻等于各電阻的和，串連電阻上電壓的分配與電(2)(2)并聯(lián)電阻的等效電導(dǎo)等于各電導(dǎo)的和，并聯(lián)電阻上電流的分配與電2.支路電流法分析、求解電路(1)以b個支路的電流為未知量，列(n-1)個結(jié)點的KCL方程；用支路電流表示電阻電壓，列[b-(n-1)]個回路的(2)聯(lián)立求解b個方程，得到支路電流，然后再求其余電壓。3.結(jié)點電壓法求解電路(1)以獨立結(jié)點電壓為未知量，用結(jié)點電壓表示支路電壓、支路電流，列(n-1)個獨立結(jié)點的KCL方程。(2)聯(lián)立求解結(jié)點方程，得到各結(jié)點電壓，然后再求其余電壓和電流。(3)如果電路中存在電壓源與電阻串聯(lián)的組合，先把它們等效變換為電流源與電(4)彌爾曼定理：結(jié)點分析法在單結(jié)點偶電路中的應(yīng)用。先求獨立結(jié)點的電壓，它等于各獨立源注入該結(jié)點的電流的代數(shù)和與該4.疊加原理(1)疊加原理是線性電路中普遍適用的一個重要原理。(2)疊加原理體現(xiàn)了電源的獨立作用原理。(4)注意計算某一支路總電流或總電壓時各分量正、負符號的處理。(5)疊加原理只適用于線性電路計算電壓及電流，不適用于計算功率。戴維南定理和諾頓定理：含獨立源的二端網(wǎng)絡(luò)，對其外部而言一般可用電壓源與電阻串聯(lián)組合或電流源與電阻并聯(lián)組合等效。電壓源的電壓等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc,電流戴維南定理和諾頓定理只適用于線性二端網(wǎng)絡(luò)，且在只需要計算復(fù)雜電路中某一支6.最大功率傳輸定理由含獨立源的二端網(wǎng)絡(luò)傳輸給外接可變電阻R的功率為最大的條件是R應(yīng)與二端網(wǎng)絡(luò)IOOIO題圖2-52-1試估算題圖2-1所示兩個電路中的電流I。2-2通常電燈開得愈多，總負載電阻愈大還是愈小?題圖2-22-3在題圖2-2中，R?=R?=R?=R?=300Ω,R?=600Ω,試求開關(guān)S斷開和閉合時a和b之2-4電位器Rp的電阻為