專題03 規(guī)律探索及新定義問題（4大考點(diǎn)）2022-2024中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國用）

第第頁試卷第=page22頁，共=sectionpages88頁專題03規(guī)律探索及新定義問題（解析版）【考點(diǎn)歸納】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考點(diǎn)01數(shù)式類規(guī)律 1二、考點(diǎn)02圖形類規(guī)律 16三、考點(diǎn)03點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律 30四、考點(diǎn)04新定義問題 41考點(diǎn)01數(shù)式類規(guī)律一、考點(diǎn)01數(shù)式類規(guī)律1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（

）A．676 B．674 C．1348 D．1350【答案】D【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù)．由于，即前2024個數(shù)共有674組，且余2個數(shù)，∴奇數(shù)有個．故選：D2．（2024·重慶·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是（

）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點(diǎn)，再解答即可．【詳解】解：由圖可得，第1種如圖①有4個氫原子，即第2種如圖②有6個氫原子，即第3種如圖③有8個氫原子，即，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是：；故選：B．3．（2024·重慶·中考真題）已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項(xiàng)式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．【詳解】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，∴，當(dāng)時，則，∴，，滿足條件的整式有，當(dāng)時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，，當(dāng)時，則，∴，，，，，，滿足條件的整式有：，，，，，；當(dāng)時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，；當(dāng)時，，滿足條件的整式有：；∴滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；故②符合題意；滿足條件的整式共有個．故③符合題意；故選D4．（2022·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，，，，，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把第3個數(shù)轉(zhuǎn)化為：，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是，且奇數(shù)項(xiàng)是正，偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)，據(jù)此即可求解．【詳解】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：，∴，，，..．∴第n個數(shù)為：，∴第10個數(shù)為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)總結(jié)出存在的規(guī)律．5．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列等式：，，，，，，…根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個位數(shù)字是（

）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】C【分析】觀察等式，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)分別為：1，7，9，3，1，7，9，每4個數(shù)一組進(jìn)行循環(huán)，所以，進(jìn)而可得的結(jié)果的個位數(shù)字．【詳解】解：觀察下列等式：，，，，，，，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)分別為：1，7，9，3，1，7，，所以和的個位數(shù)字依次以1，8，7，0循環(huán)出現(xiàn)，，每4個數(shù)一組進(jìn)行循環(huán)，所以，而，，所以的結(jié)果的個位數(shù)字是7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了尾數(shù)特征、有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意尋找規(guī)律．6．（2023·四川巴中·中考真題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．1

1

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2

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3

3

1

當(dāng)代數(shù)式的值為1時，則x的值為（

）A．2 B． C．2或4 D．2或【答案】C【分析】由規(guī)律可得：，令，，可得，再解方程即可．【詳解】解：由規(guī)律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是從題干信息中總結(jié)規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活的應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．7．（2023·山東·中考真題）已知一列均不為1的數(shù)滿足如下關(guān)系：，，若，則的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意可把代入求解，則可得，，……；由此可得規(guī)律求解．【詳解】解：∵，∴，，，，…….；由此可得規(guī)律為按2、、、四個數(shù)字一循環(huán)，∵，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得到數(shù)字的一般規(guī)律．8．（2024·云南·中考真題）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，第個代數(shù)式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了數(shù)列的規(guī)律變化，根據(jù)數(shù)列找到變化規(guī)律即可求解，仔細(xì)觀察和總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，∴第個代數(shù)式是，故選：．9．（2023·云南·中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的規(guī)律可得，系數(shù)為，字母為，指數(shù)為1開始的自然數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個單項(xiàng)式是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，找到單項(xiàng)式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2023·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，．則按此規(guī)律排列的第n個單項(xiàng)式為．（用含有n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)系數(shù)和字母的次數(shù)與單項(xiàng)式的序號關(guān)系寫出即可．【詳解】解：系數(shù)為，次數(shù)為1；系數(shù)為，次數(shù)為2；系數(shù)為，次數(shù)為3；系數(shù)為，次數(shù)為4；第n個單項(xiàng)式的系數(shù)可表示為：，字母a的次數(shù)可表示為：n，∴第n個單項(xiàng)式為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化類規(guī)律探究，掌握單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)并發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為．【答案】【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．12．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列各式：，，，…請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：．【答案】/【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．13．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組對這個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，只有一種取法，即；當(dāng)時，有和兩種取法，即；當(dāng)時，可得；……．若，則的值為；若，則的值為．【答案】9144【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當(dāng)n為偶數(shù)或奇數(shù)時的不同取法是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)前幾個n值所對應(yīng)k值，找到變化規(guī)律求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，只有一種取法，則；當(dāng)時，有和兩種取法，則；當(dāng)時，有，，，四種取法，則；故當(dāng)時，有，，，，，六種取法，則；當(dāng)時，有，，，，，，，，九種取法，則；依次類推，當(dāng)n為偶數(shù)時，，故當(dāng)時，，故答案為：9，144．14．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：；；；；…如果單把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個數(shù)對：．

【答案】【分析】根據(jù)題意單另把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，可發(fā)現(xiàn)第個數(shù)對的第一個數(shù)為：，第個數(shù)對的第二個位：，即可求解．【詳解】解：每個數(shù)對的第一個數(shù)分別為3，7，13，21，31，…即：，，，，，…則第個數(shù)對的第一個數(shù)為：，每個數(shù)對的第二個數(shù)分別為5，10，17，26，37，…即：；；；；…，則第個數(shù)對的第二個位：，∴第n個數(shù)對為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數(shù)字的差的規(guī)律解決問題．15．（2024·江西·中考真題）觀察a，，，，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個式子為．【答案】【分析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個式子是多少即可．【詳解】解：∵a，，，，…，∴第n個單項(xiàng)式的系數(shù)是1；∵第1個、第2個、第3個、第4個單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，∴第n個式子是．∴第100個式子是．故答案為：．16．（2022·湖南·中考真題）有一組數(shù)據(jù)：，，，，．記，則．【答案】【分析】通過探索數(shù)字變化的規(guī)律進(jìn)行分析計算．【詳解】解：；；；，，當(dāng)時，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算，探索數(shù)字變化的規(guī)律是解題關(guān)鍵．17．（2023·浙江·中考真題）觀察下面的等式：，，，，…．(1)嘗試：___________．(2)歸納：___________（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．【答案】(1)6(2)n(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以直接得到結(jié)果；（2）根據(jù)題目中給出的式子,可以直接得到答案；（3）將（2）中等號左邊用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，，故答案為：6；（2）由題意得：，故答案為：n；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，平方差公式，正確理解題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18．（2022·安徽·中考真題）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．【詳解】（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：，故答案為：；（2）解：第n個等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．19．（2022·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……(1)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(2)請運(yùn)用分式的有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分?jǐn)?shù)的分母為3，4，5，…，另一個分?jǐn)?shù)的分母為前面兩個分母的乘積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．【詳解】（1）解：∵第一個式子，第二個式子，第三個式子，……∴第（n+1）個式子；（2）解：∵右邊==左邊，∴．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分式加法運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中各分母的變化規(guī)律．20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）圖是1個碗和4個整齊疊放成一摞的碗的示意圖，碗的規(guī)格都是相同的．小亮嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探究整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度（單位：）隨著碗的數(shù)量（單位：個）的變化規(guī)律．下表是小亮經(jīng)過測量得到的與之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)：個123468.410.813.2(1)依據(jù)小亮測量的數(shù)據(jù)，寫出與之間的函數(shù)表達(dá)式，并說明理由；(2)若整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度不超過，求此時碗的數(shù)量最多為多少個？【答案】(1)(2)10個【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表達(dá)式即可解答；（2）根據(jù)（1）中y和x的關(guān)系式列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，∴，檢驗(yàn)∶當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴；（2）解：根據(jù)題意，得，解得，∴碗的數(shù)量最多為10個．21．（2024·安徽·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“正整數(shù)N能否表示為（均為自然數(shù)）”的問題．(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（為正整數(shù)）：奇數(shù)的倍數(shù)表示結(jié)果一般結(jié)論

______按上表規(guī)律，完成下列問題：（）（

）（

）；（）______；(2)興趣小組還猜測：像這些形如（為正整數(shù)）的正整數(shù)不能表示為（均為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：假設(shè)，其中均為自然數(shù)．分下列三種情形分析：若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則______為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．若一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則為奇數(shù)．而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)．由可知，猜測正確．閱讀以上內(nèi)容，請在情形的橫線上填寫所缺內(nèi)容．【答案】(1)（），；（）；(2)【分析】（）（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）利用完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)，最后提取公因式即可；本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）（）由規(guī)律可得，，故答案為：，；（）由規(guī)律可得，，故答案為：；（2）解：假設(shè)，其中均為自然數(shù)．分下列三種情形分析：若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．若一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則為奇數(shù)．而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)．由可知，猜測正確．故答案為：．考點(diǎn)02圖形類規(guī)律二、考點(diǎn)02圖形類規(guī)律22．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（

）A．90 B．91 C．92 D．93【答案】B【分析】本題主要考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到有關(guān)圖形個數(shù)的規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形知道第1個圖形有1個正方形，第2個有個，第3個圖形有個，…由此得到規(guī)律求得第6個圖形中正方形的個數(shù)即可．【詳解】第1個圖形有1個正方形，第2個圖形有個正方形，第3個圖形有個正方形，……第6個圖形有（個）正方形，故選：B.23．（2024·重慶·中考真題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是（）A．20 B．21 C．23 D．26【答案】C【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過觀察圖形找到相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：第①個圖案中有個菱形，第②個圖案中有個菱形，第③個圖案中有個菱形，第④個圖案中有個菱形，∴第個圖案中有個菱形，∴第⑧個圖案中菱形的個數(shù)為，故選：C．24．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數(shù)是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【分析】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律．根據(jù)前幾個圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含n的代數(shù)式表示出第n個圖形中三角形的個數(shù)，從而可求第674個圖形中三角形的個數(shù)．【詳解】解：第1個圖案有4個三角形，即，第2個圖案有7個三角形，即，第3個圖案有10個三角形，即，…，按此規(guī)律擺下去，第n個圖案有個三角形，則第674個圖案中三角形的個數(shù)為：（個）．故選：B．25．（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到規(guī)律，即可求解.【詳解】解：因?yàn)榈冖賯€圖案中有2個圓圈，；第②個圖案中有5個圓圈，；第③個圖案中有8個圓圈，；第④個圖案中有11個圓圈，；…，所以第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到第n個圖案的規(guī)律為是解題的關(guān)鍵.26．（2023·重慶·中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是（

）

A．39 B．44 C．49 D．54【答案】B【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計算的規(guī)律，由此即可得到答案．【詳解】解：第①個圖案用了根木棍，第②個圖案用了根木棍，第③個圖案用了根木棍，第④個圖案用了根木棍，……，第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是根，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計算的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．27．（2022·江西·中考真題）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，第2個圖中H的個數(shù)為4+2，第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2，第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3=10，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵．28．（2023·黑龍江綏化·中考真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

【答案】/【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．29．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，稱點(diǎn)為第一個“花朵”的花心，點(diǎn)為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”的花心的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，，，，推導(dǎo)得到，滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，由此得到滾動2024次后停止?jié)L動，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，由題意得，，，∴，∴，，，∴，∴，，同理，，，滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，∴滾動2024次后停止?jié)L動，則時，，故答案為：．30．（2023·山西·中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規(guī)律，第n個圖案中有個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）

【答案】【分析】由于第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，，可得第個圖案中有白色圓片的總數(shù)為．【詳解】解：第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，，∴第個圖案中有個白色圓片．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律．31．（2023·湖北十堰·中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為（用含n的式子表示）．

【答案】/【分析】當(dāng)時，有個三角形；當(dāng)時，有個三角形；當(dāng)時，有個三角形；第n個圖案有個三角形，每個三角形用三根計算即可．【詳解】解：當(dāng)時，有個三角形；當(dāng)時，有個三角形；當(dāng)時，有個三角形；第n個圖案有個三角形，每個三角形用三根，故第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減的數(shù)字規(guī)律問題，熟練掌握規(guī)律的探索方法是解題的關(guān)鍵．32．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第（7）個圖案中有個火柴棒．

【答案】15【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究．根據(jù)題意得到第（1）、（2）、（3）個圖形中火柴棒的數(shù)量，由此可得第（n）個圖形有根火柴棒，即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：第（1）個圖形有根火柴棒，第（2）個圖形有根火柴棒，第（3）個圖形有根火柴棒，……第（n）個圖形有根火柴棒，∴第（7）個圖案中有根火柴棒，故答案為：1533．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，線段，以AB為直徑畫半圓，圓心為，以為直徑畫半圓①；取的中點(diǎn)，以為直徑畫半圓②；取的中點(diǎn)，以為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個小半圓的弧長之和為．【答案】/【分析】由AB＝2，可得半圓①弧長為，半圓②弧長為（）2π，半圓③弧長為（）3π，半圓⑧弧長為（）8π，即可得8個小半圓的弧長之和為π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．【詳解】解：∵，∴，半圓①弧長為，同理，半圓②弧長為，，半圓③弧長為，……半圓⑧弧長為，∴8個小半圓的弧長之和為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握圓的周長公式和找到弧長的變化規(guī)律．34．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“○”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．【答案】12【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；…，所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；由題知，解得，又n為正整數(shù)，則，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．故答案為：12．35．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：下圖是一個三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)……第行有個點(diǎn)……容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10．(1)探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為_____，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為______，那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為______(2)體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運(yùn)用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？【答案】(1)36；120；(2)不能(3)一共能擺放20排．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計算即可求解；（2）根據(jù)前n行的點(diǎn)數(shù)和是500，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可判斷；（2）先得到前n行的點(diǎn)數(shù)和是，再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．【詳解】（1）解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為，那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為；故答案為：36；120；；（2）解：不能，理由如下：由題意得，得，，∴此方程無正整數(shù)解，所以三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和不能是500；故答案為：不能；（3）解：同理，前行的點(diǎn)數(shù)之和為，由題意得，得，即，解得或（舍去），∴一共能擺放20排．36．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點(diǎn)，每個點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，，），如圖1所示．小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進(jìn)行評價．【答案】分析問題：方案1：；；；方案2：；方案3：；解決問題：方案3路徑最短，理由見解析【分析】分析問題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案3：根據(jù)圖得出斜著鏟每兩個點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)題意得一共有列，行，斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長，同時有個，即可得出總路徑長；解決問題：利用作差法比較三種方案即可．題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．【詳解】解：方案1：根據(jù)題意每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，∴每行鏟的路徑長為，∵每列有k個籽，呈交錯規(guī)律排列，∴相當(dāng)于有行，∴鏟除全部籽的路徑總長為，故答案為：；；；方案2：根據(jù)題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，∴每列鏟的路徑長為，∵每行有n個籽，呈交錯規(guī)律排列，，∴相當(dāng)于有列，∴鏟除全部籽的路徑總長為，故答案為：；方案3：由圖得斜著鏟每兩個點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)題意得一共有列，行，斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長，同時有個，∴鏟除全部籽的路徑總長為：；解決問題由上得：，∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；，∵，當(dāng)時，，，∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．37．（2023·安徽·中考真題）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含的式子填空：(1)第個圖案中“”的個數(shù)為；(2)第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為______________．【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個圖案中“”的個數(shù)的倍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：第1個圖案中有個，第2個圖案中有個，第3個圖案中有個，第4個圖案中有個，……∴第個圖案中有個，故答案為：．（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，（3）解：依題意，，第個圖案中有個，∴，解得：（舍去）或．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)03點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律三、考點(diǎn)03點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律38．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過程如下：若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的平移運(yùn)動，熟練掌握知識點(diǎn)，利用反向運(yùn)動理解是解決本題的關(guān)鍵．先找出規(guī)律若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，按照的反向運(yùn)動理解去分類討論：①先向右1個單位，不符合題意；②先向下1個單位，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標(biāo)為，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為．【詳解】解：由點(diǎn)可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，又要向上平移1個單位，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則按照“和點(diǎn)”反向運(yùn)動16次求點(diǎn)Q坐標(biāo)理解，可以分為兩種情況：①先向右1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0，應(yīng)該是向右平移1個單位得到，故矛盾，不成立；②先向下1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，則應(yīng)該向上平移1個單位得到，故符合題意，那么點(diǎn)先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標(biāo)為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，故選：D．39．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小好同學(xué)用計算機(jī)軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)中心對稱．若點(diǎn)，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，則的值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】本題是坐標(biāo)規(guī)律題，求函數(shù)值，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)題意可得，，即可求解．【詳解】解：∵這個點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，∴，∴，∴，而即，∵，當(dāng)時，，即，∵關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，即當(dāng)時，，∴，故選：D．40．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環(huán)．當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】由題得點(diǎn)的位置每4個一循環(huán)，經(jīng)計算得出在第三象限，與，，，…符合同一規(guī)律，探究出，，，...的規(guī)律即可．【詳解】解：由圖得，，…點(diǎn)C的位置每4個一循環(huán)，，∴在第三象限，與，，，…符合規(guī)律，∴坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．41．（2024·山東·中考真題）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)中的，分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中，均為正整數(shù)．例如，點(diǎn)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)，經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)，以此類推．則點(diǎn)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)．【答案】【分析】本題考查了新定義，點(diǎn)的規(guī)律，根據(jù)新定義依次計算出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找出規(guī)律，最后應(yīng)用規(guī)律求解即可．【詳解】解：點(diǎn)經(jīng)過1次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，經(jīng)過2次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，經(jīng)過3次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，……，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)經(jīng)過3次運(yùn)算后還是，∵，∴點(diǎn)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)，故答案為：．42．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，，，，，，，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知個點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，的坐標(biāo)為，據(jù)此可求得的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，，，，，，，…，，∴可知個點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，的坐標(biāo)為，∵，∴的坐標(biāo)為．∴的坐標(biāo)為故答案為：．43．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動滾動，第一次滾動后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動方式，依次求出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，,是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，等邊三角形高為，由題知，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；繼續(xù)滾動有，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個為一組，，的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，故答案為：．44．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線與軸相交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】【分析】直線直線可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)，把代入直線解析式即可求得的橫坐標(biāo)，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)；同理，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得解，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)與字母的序號之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線l：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，過，，作軸交x軸于點(diǎn)M，軸交于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)N，

∵為等邊三角形，∴∴，∴∴，當(dāng)時，，解得：，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，解得：，∴；而，同理可得：的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，特殊圖形點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.45．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形，，，，…都是平行四邊形，頂點(diǎn)，，，，，…都在軸上，頂點(diǎn)，，，，…都在正比例函數(shù)（）的圖象上，且，，，…，連接，，，，…，分別交射線于點(diǎn)，，，，…，連接，，，…，得到，，，…．若，，，則的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形可先求得，，，，，，，，，從而得，，，，利用三角形的面積公式即可得解．【詳解】解：∵，，，∴點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，，，，，∴軸，∴，∵，∴，∵四邊形，，，，…都是平行四邊形，∴，，，，∴，，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，同理可得，，，，，，，∴，，∴，∵在上，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)規(guī)律，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．46．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)按如下規(guī)律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按這個規(guī)律，則是第個點(diǎn)．

【答案】99【分析】先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，找出規(guī)律，再計算求解．【詳解】解：橫縱坐標(biāo)和是0的有1個點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)和是1的有2個點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)和是2的有3個點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)和是3的有4個點(diǎn)，，橫縱坐標(biāo)和是的有個點(diǎn)，，，橫縱坐標(biāo)和是13的有14點(diǎn)，分別為：、、、、、、、、、、、、、、是第個點(diǎn)，故答案為：99．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，找到坐標(biāo)的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)04新定義問題四、考點(diǎn)04新定義問題47．（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運(yùn)算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運(yùn)算結(jié)果為3036．圖2表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的是（

）A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“□”表示5C．運(yùn)算結(jié)果小于6000 D．運(yùn)算結(jié)果可以表示為【答案】D【分析】本題考查了整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，理解題意，正確的邏輯推理時解決本題的關(guān)鍵．設(shè)一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)分別為和，則，即，可確定時，則，由題意可判斷A、B選項(xiàng)，根據(jù)題意可得運(yùn)算結(jié)果可以表示為：，故可判斷C、D選項(xiàng)．【詳解】解：設(shè)一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)分別為和如圖：則由題意得：，∴，即，∴當(dāng)時，不是正整數(shù)，不符合題意，故舍；當(dāng)時，則，如圖：，∴A、“20”左邊的數(shù)是，故本選項(xiàng)不符合題意；B、“20”右邊的“□”表示4，故本選項(xiàng)不符合題意；∴上面的數(shù)應(yīng)為，如圖：∴運(yùn)算結(jié)果可以表示為：，∴D選項(xiàng)符合題意，當(dāng)時，計算的結(jié)果大于6000，故C選項(xiàng)不符合題意，故選：D．48．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）定義新運(yùn)算“”，規(guī)定：，則的運(yùn)算結(jié)果為（

）A． B． C．5 D．3【答案】D【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查新定義的運(yùn)算，理解題意中的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．49．（2022·四川巴中·中考真題）對于實(shí)數(shù)，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且【答案】A【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0方程沒有實(shí)數(shù)根．50．（2024·四川眉山·中考真題）定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【詳解】解：由題意得，，即，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為．故選：B．51．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．【答案】8【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．本題考查了新定義計算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)定義，得，故答案為：8．52．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：例如：，．若，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運(yùn)算的定義．根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程求解即可．【詳解】解：∵，而，∴①當(dāng)時，則有，解得，；②當(dāng)時，，解得，綜上所述，x的值是或，故答案為：或．53．（2023·湖南懷化·中考真題）定義新運(yùn)算：，其中，，，為實(shí)數(shù)．例如：．如果，那么．【答案】【分析】根據(jù)新定義列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵∴即解得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解一元一次方程，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵．54．（2022·湖南長沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；QGYW（強(qiáng)國有我）：我知道，所以我估計比大．其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是（填寫網(wǎng)名字母代號）．【答案】DDDD【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將化為，再與比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據(jù)2的乘方的個位數(shù)字的規(guī)律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得，即可判斷QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的．【詳解】是200個2相乘，YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；，DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；，2的乘方的個位數(shù)字4個一循環(huán)，，的個位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；，，且，故QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的；故答案為：DDDD．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．55．（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運(yùn)算：對于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，．若，則x的值為．【答案】/【分析】根據(jù)新定義可得，由此建立方程解方程即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵即，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．56．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”為，例如，則關(guān)于的不等式有且只有一個正整數(shù)解時，的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于的不等式，再由不等式的解集有且只有一個正整數(shù)解得出關(guān)于的不等式組求解可得．【詳解】解：根據(jù)題意可知，解得：有且只有一個正整數(shù)解解不等式①，得：解不等式②，得：故答案為：．57．（2023·四川成都·中考真題）定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數(shù)是；第23個智慧優(yōu)數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，當(dāng)，，則第1個一個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第2個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為，當(dāng)，，則第4個智慧優(yōu)數(shù)為，當(dāng)，，則第5個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第6個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第7個智慧優(yōu)數(shù)為……時有4個智慧優(yōu)數(shù)，同理時有個，時有6個，列表如下，觀察表格可知當(dāng)時，時，智慧數(shù)為，時，智慧數(shù)為，，時，智慧數(shù)為，，時，智慧數(shù)為，第1至第10個智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，第11至第20個智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，第21個智慧優(yōu)數(shù)，第22個智慧優(yōu)數(shù)為，第23個智慧優(yōu)數(shù)為故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，平方差公式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．58．（2020·青?！ぶ锌颊骖}）對于任意兩個不相等的實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算“”如下：，如：．那么．【答案】【分析】根據(jù)新定義，將，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是將，正確代入再化簡．59．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對于一個二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．【答案】4【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點(diǎn)，使得，則，，中存在一點(diǎn)，有，解得，則，拋物線“開口大小”為，故答案為：．60．（2023·山東棗莊·中考真題）對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，例如：，．根據(jù)上面的材料，請完成下列問題：(1)___________，___________；(2)若，求x的值．【答案】(1)1；