用一元二次方程解決幾何圖形問題

第3課時(shí)用一元二次方程解決幾何圖形問題01教學(xué)目標(biāo)1．能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型．并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理．2．列一元二次方程解有關(guān)特殊圖形問題的應(yīng)用題．02預(yù)習(xí)反饋閱讀教材P20～21“探究3”，完成下面的探究內(nèi)容．如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm)分析：封面的長寬之比是27∶21＝9∶7，中央矩形的長寬之比也應(yīng)是9∶7，若設(shè)中央的長方形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是eq\f(1,2)(27－9a)∶eq\f(1,2)(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7.設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，左、右邊襯的寬均為7xcm，則中央的矩形的長為(27－18x)cm，寬為(21－14x)cm.要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三．于是可列出方程(27－18x)(21－14x)＝eq\f(3,4)×27×21.整理，得16x2－48x＋9＝0.解方程，得x1＝eq\f(6＋3\r(3),4)(不合題意，舍去)，x2＝eq\f(6－3\r(3),4).上、下邊襯的寬均為eq\f(54－27\r(3),4)cm，左、右邊襯的寬均為eq\f(42－21\r(3),4)cm.03新課講授例(教材P20探究3變式題)如圖，學(xué)校課外生物小組的實(shí)驗(yàn)園地是長為32米、寬為20米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，使種植面積為504平方米，求小道的寬．【思路點(diǎn)撥】將圖中縱向的兩條路全部平移到圖形的左邊，橫向的小路平移到圖形的上方，則原圖可以變換成如圖所示的形狀，種植面積和圖中陰影矩形的面積相等．設(shè)小道的寬為x，則陰影矩形的長、寬分別可以用含x的代數(shù)式表示出來．根據(jù)矩形的面積公式就可以列出方程，解方程即可．【解答】設(shè)小道的寬為x米，依題意，得(32－2x)(20－x)＝504.整理，得x2－36x＋68＝0，即(x－2)(x－34)＝0.解得x1＝2，x2＝34(舍)．答：小道的寬為2米．【方法歸納】這類問題，通常采用平移的方法，使剩余部分為一完整矩形．【跟蹤訓(xùn)練】如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm、長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條(圖中陰影部分)，橫、豎彩條的寬度比為3∶2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)彩條的寬度．(精確到0.1cm)解：設(shè)橫彩條的寬度為3xcm，則豎彩條的寬度為2xcm.根據(jù)題意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－eq\f(1,4))×20×30.解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合題意，舍去)．故3x≈1.8，2x≈1.2.答：橫彩條寬約為1.8c