2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 21 課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十一)

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十一)1．把－1125?化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－π4－6π B．7π4C．－π4－8π D．7π4D解析：－1125?＝－1440?＋315?＝－8π＋7π42．已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2a＋1，a－2)，且cosθ＝35，則實(shí)數(shù)a的值是(A．－2 B．2C．－2或211 D．B解析：由題設(shè)可知2a+12a+12+a－22所以4a2+4a+15a2+5＝925，則11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a3．點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)2π3弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(A．－12，3C．－12，－A解析：由三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為－14．(2024·惠州模擬)如果點(diǎn)P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(2sinθ，sinθcosθ)位于第四象限，所以2sinθ>05．(多選題)已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，則下列說法中正確的有A．扇形的半徑為2cmB．扇形的半徑為1cmC．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2ABC解析：設(shè)扇形的半徑為rcm，圓心角的弧度數(shù)為α，則由題意得2r+αr=所以圓心角的弧度數(shù)是4或1，扇形的半徑是1cm或2cm.6．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為2.若α＝π4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得sinπ故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)．7．若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是________.2解析：設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，所以正方形邊長(zhǎng)為2r，所以該圓弧的圓心角的弧度數(shù)是2rr＝8．設(shè)角α的終邊為射線OP，射線OP1與OP關(guān)于y軸對(duì)稱，射線OP2與OP1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則以射線OP2為終邊的角的集合是____________________.{β|β＝k·360?＋90?＋α，k∈Z}解析：依題意，以射線OP1為終邊的角γ＝k1·360?＋180?－α，k1∈Z，從而以射線OP2為終邊的角β＝－(k1·360?＋180?－α)＋k2·360?－90?＝(k2－k1)·360?＋90?＋α＝k·360?＋90?＋α(k1，k2，k∈Z)．9．“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖，當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為2π3時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的弦長(zhǎng)AB與弧長(zhǎng)AB之比為332π解析：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接由題意知圓心角α為2π3，則∠BOD＝π所以弦長(zhǎng)AB＝2AD＝2rsinπ3＝3r又弧長(zhǎng)AB＝2π3r，所以弦長(zhǎng)AB與弧長(zhǎng)AB之比為3r2π10．已知1sinα＝－1sinα，且(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點(diǎn)M35，m，且|OM|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值及解：(1)由1sinα＝－1sin由lg(cosα)有意義，可知cosα>0，所以角α在第四象限．(2)因?yàn)閨OM|＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±又角α為第四象限角，故m<0，從而m＝－45，sinα＝mOM＝－4511．(數(shù)學(xué)與文化)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，卷一《方田》中有如下兩個(gè)問題：[三三]今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？[三四]又有宛田，下周九十九步，徑五十一步．問為田幾何？翻譯為：[三三]現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑長(zhǎng)16步．問這塊田面積是多少？[三四]又有一扇形田，弧長(zhǎng)99步，直徑長(zhǎng)51步．問這塊田面積是多少？則下列說法正確的是()A．問題[三三]中扇形的面積為240平方步B．問題[三四]中扇形的面積為5049C．問題[三三]中扇形的面積為60平方步D．問題[三四]中扇形的面積為5049B解析：依題意，問題[三三]中扇形的面積為12lr＝12×30×162＝120(平方步)，問題[三四]中扇形的面積為12lr＝12×99×51212．已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為sin3π4，cosA．π4 B．C．5π4 D．D解析：角α的終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為sin3π4，cos3π4，即M22，－22，故點(diǎn)M在第四象限，且13．(數(shù)學(xué)與文化)(2024·常州模擬)趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形中較小的銳角為α，則sinαcosα的值為________.25解析：設(shè)直角三角形的短直角邊長(zhǎng)為x，一個(gè)直角三角形的面積為100－20因?yàn)樾≌叫蔚拿娣e為20，則邊長(zhǎng)為25，大正方形的面積為100，則邊長(zhǎng)為10.所以直角三角形的面積為12·x(x＋25)＝20，解得x＝25(x＝－45舍去)所以直角三角形的長(zhǎng)直角邊為45.故sinα＝55，cosα＝255，即sinαcosα14．若角α的終邊落在直線y＝3x上，角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)12，m，且sinαcosβ＜0，則cosα·sin±34解析：由角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)12，m，得cosβ＝12.又由sinα·cosβ＜0知，sinα＜0.因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝3x上，所以角α只能是第三象限角．記P為角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)P(x，y)(x＜0，y＜0)，則|OP|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即x2＋y2＝1.又由y＝3x，得x＝－12，y＝－32，所以cosα＝x＝－12.因?yàn)辄c(diǎn)12，m在單位圓上，所以122＋m2＝1，解得m＝±32，所以15.高為1m的圓柱形木材有一部分鑲嵌在墻體中，截面如圖所示(陰影為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分)．已知弦AB＝2dm，弓形高CD＝(20－103)cm，估算該木材鑲嵌在墻中的側(cè)面積約為______cm2.2000π3解析：設(shè)截面圓的半徑為R，連接CO(圖略)，點(diǎn)D則AD＝12AB＝10cmOD＝R－CD＝R－(20－103)(cm)．根據(jù)垂徑定理可得R2＝OD2＋AD2，解得R＝20，所以∠AOD＝π6，則∠AOB＝π故可得弧長(zhǎng)AB＝π3×20＝20π3(cm又木材的高為1米，即木材的高為100cm，所以該木材鑲嵌在墻中的側(cè)面積約為20π3×100＝2000π316．若角θ的終邊過點(diǎn)P(－4a，3a)(a≠0)，(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號(hào)．解：(1)因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a，sinθ＋cosθ＝35－45當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－35+4(2)當(dāng)a＞0時(shí)，sinθ＝35∈0cosθ＝－45∈－則cos(sinθ)·sin