浙江省91聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年第二學(xué)期浙江省9+1高中聯(lián)盟高二年級期中考試數(shù)學(xué)命題：桐鄉(xiāng)市高級中學(xué)沈瑜方蕾審題：舟山中學(xué)婁文浩富陽中學(xué)徐益春考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準(zhǔn)考證號并核對條形碼信息；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；4．參加聯(lián)批學(xué)校的學(xué)生可關(guān)注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.1120 B.160 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得到通項(xiàng)公式，從而確定常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：D2.已知事件，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用條件概率公式求.【詳解】由條件概率公式知：，則.故選：B3.已知可導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即可求解.【詳解】對求導(dǎo)，故，故選：A4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.18 B.36 C.54 D.60【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，故，故選：D5.已知函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得到關(guān)于的不等式組，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令可得或（舍），?dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.故選：B6.已知函數(shù)為不相等的兩個實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)檢驗(yàn)充分性以及必要性即可判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為不相等的兩個實(shí)數(shù)，不妨設(shè)，當(dāng)時，有，即，解得，當(dāng)時，，，即，當(dāng)時，，，即，，則，當(dāng)時，一定有，且，則，所以“”是“”的充分必要條件；故選：C7.2024年伊始，隨著“廣西砂糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出，哈爾濱火爆出圈，成為旅游城市中的“頂流”．某班級六位同學(xué)也準(zhǔn)備共赴一場冰雪之約，制定了“南方小土豆，勇闖哈爾濱”的出游計(jì)劃，這六位同學(xué)準(zhǔn)備在行程第一天在圣索菲亞教堂、冰雪大世界、中央大街三個景點(diǎn)中選擇一個去游玩，已知每個景點(diǎn)至少有一位同學(xué)會選，六位同學(xué)都會進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個景點(diǎn)，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個景點(diǎn)，則不同的選法種數(shù)是（）A.132 B.144 C.150 D.168【答案】C【解析】【分析】分學(xué)生甲、乙選的景點(diǎn)沒有其他人選與有其他人選兩大類，采用先分組、再分配的方法計(jì)算可得.【詳解】若學(xué)生甲、乙選的景點(diǎn)沒有其他人選，則分組方式為或（其中為甲、乙），當(dāng)為時，則有種選法；當(dāng)為（其中為甲、乙）時，則有種選法；若學(xué)生甲、乙選景點(diǎn)有其他人選，則分組方式為或（其中為甲、乙與另一學(xué)生），當(dāng)時，則有種選法；當(dāng)為（其中為甲、乙與另一學(xué)生）時，則有種選法；綜上可得一共有種不同的選法.故選：C8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且關(guān)于n的不等式有3個解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造出常數(shù)列，再求通項(xiàng)，然后分離參變量，再利用數(shù)列的單調(diào)性思想，來研究不等式成立的條件即可.【詳解】由可得：，由上可得是常數(shù)列，當(dāng)時，，所以，即，而，則，令，則，當(dāng)時，，即，而，，，為了滿足不等式有三個解，則，此時有，滿足條件，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過數(shù)列遞推關(guān)系構(gòu)造出常數(shù)列，不等式恒成立或有解問題要用分離參變量方法，數(shù)列的單調(diào)性用作差或作商法來研究.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知隨機(jī)變量滿足，且，且，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用二次分布的期望與方差的公式，以及期望與方差的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量滿足，且，可得，解得，對于A中，由，所以A錯誤；對于B中，因?yàn)?，即，可得，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：BCD.10.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A.2024行中從左往右第1012個數(shù)與第1014個數(shù)相等B.C.記第10行的第個數(shù)為，則D.記第行的第個數(shù)為，則【答案】AC【解析】【分析】對于A，利用的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算，對于B，利用性質(zhì)計(jì)算即可；對于C、D，代入，利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】對于A，第2024行中數(shù)為的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，則從左往右第1012個數(shù)為，第1014個數(shù)為，由于，故A正確；對于B，由，可得，故B不正確；對于C，第行的第個數(shù)為，則，故C正確；對于D，第行的第個數(shù)為，則，故D錯誤；故選：AC11.有個等分為五個扇形的圓形幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤，這五個扇形分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，轉(zhuǎn)動圓盤等其靜止時，指針均指向扇形的內(nèi)部，記錄下對應(yīng)的數(shù)字．持續(xù)這個過程，記前次所得的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為，則（）A. B.C.是等比數(shù)列 D.是遞減數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，由全概率公式分析可得，由此分析A，進(jìn)而對該式變形可得，由數(shù)列與概率的關(guān)系分析B、C、D，綜合可得答案.【詳解】根據(jù)題意，有個等分為五個扇形的圓形幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤，這五個扇形分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，則每次旋轉(zhuǎn)中，指針指向數(shù)字為偶數(shù)的概率為，指向數(shù)字為奇數(shù)的概率為，則，又由，則，故A正確；對于，變形可得，，則，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，變形可得，對于B，，，則，故B錯誤；對于C，，此時，而，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤；對于D，，由于，故是遞減數(shù)列，故D正確.故選：AD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則__________．【答案】0.9【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解.【詳解】根據(jù)題意，，則，所以，則.故答案為：0.913.將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)填入圖所示的格子中，要求每個數(shù)字都要填入，且每個格子只能填一個數(shù)，其中1與2相鄰（有公共邊的兩格子稱為相鄰）的不同的填法有__________種（結(jié)果用數(shù)字作答）．【答案】336【解析】【分析】由排列組合以及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【詳解】1從第一排開始排，滿足題意有如下情況．如右圖，此時2所在位置2種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置3種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置２種，其他全排即可，有種，同理，由圖形對稱性知道，1從第二排開始排，與前面第一排情況數(shù)一樣.種.故答案為：336.14.已知實(shí)數(shù)，且函數(shù)，則函數(shù)的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得的幾何意義為，兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到軸的距離之和，其中點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在拋物線上，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】由題意得，設(shè)，，則點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在拋物線上，的幾何意義為，兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到軸的距離之和．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則由拋物線的定義知，所以，所以，問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值，設(shè)曲線上的點(diǎn)，到點(diǎn)的距離最小，則與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，即，所以，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知，兩函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)，所以方程的解為，則．所以，所以函數(shù)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將看作是，兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到軸的距離之和，利用拋物線的性質(zhì)求解.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解直線方程，（2）根據(jù)恒成立，即可由求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，故在處的切線方程為，即【小問2詳解】由題意知在(0,+∞)恒成立，，化簡得在恒成立，而，所以16.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，化簡求得，進(jìn)而由求得，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知得，當(dāng)時，，進(jìn)而兩式相減可得，即，從而利用分組求和法與裂項(xiàng)相消法分別對為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況可求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】由，整理得，因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，于是，解得或（舍去）.又，解得.所以.【小問2詳解】由已知得兩式相減得，即，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，.所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于由得，從而利用分組求和法與裂項(xiàng)相消法分別對為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況可求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17.小明參加一個抽紙牌游戲，規(guī)則如下：有九張質(zhì)地完全相同的紙牌，其中有一張大王牌，其余四種花色為：紅桃、黑桃、方塊、梅花各2張．逐次從9張牌中不放回地隨機(jī)抽取一張紙牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一張新的大王牌．（1）求小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下，第三次抽牌抽到紅桃牌的概率．（2）抽牌過程中，若抽到大王牌，則宣告游戲結(jié)束：若累計(jì)抽到兩張花色相同的紙牌，也宣告游戲結(jié)束；否則游戲繼續(xù)．用X表示小明在游戲中一共抽到的紙牌數(shù)，求X的分布列．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”,設(shè)事件B表示“第三次抽到紅桃牌”,利用條件概率公式能求出小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下,第三次抽牌抽到紅桃牌的概率(2)X的可能所有取值為:1,2,3,4,5分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出的分布列即可.【小問1詳解】設(shè)事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”,設(shè)事件B表示“第三次抽到紅桃牌”.則．則小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下，第三次抽牌抽到紅桃牌的概率為.【小問2詳解】X的可能所有取值為:1,2,3,4,5．，，，，，則X的分布列為：X12345P18.已知數(shù)列，滿足，記．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：；（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法計(jì)算，即可求得；（2）由題可得，令，可將問題轉(zhuǎn)化為證明，再由導(dǎo)數(shù)即可證明；（3）由（2）中的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的求和公式可證，再由放縮法以及裂項(xiàng)相消法可證，即可得證.【小問1詳解】設(shè)，即，因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)?，則，所以，所以.【小問2詳解】證明：令，因?yàn)?，所以，要證，只要證，即可．因?yàn)?，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，則，所以得證．小問3詳解】由（2）可知，，所以，即，另一方面，所，則，所以19.藥房里有若干味藥．藥劑師用這些藥配成22副藥方，每副藥方中恰有5味藥，從中任選的三味藥都恰好只包含在某一副藥方中．（1）藥房中共有幾味藥？（2）藥物分為烈性藥和非烈性藥，要求每副藥方中至少有一味是烈性藥．（i）假設(shè)藥房中有7味烈性藥，證明：全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥；（ii）證明：全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥．【答案】（1）12（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意列出方程，即可求解；（2）設(shè)共有烈性藥r味，1味烈性藥味非烈性藥稱為三藥組”，考慮問題的反面，從而列出方程，結(jié)合該方程的解的情況，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)共有n味藥，一共可形成個“三藥組”，另一方面，每個“三藥組”恰有一副藥方包含它，22副藥方中，每副藥方可形成個“三藥組”，合計(jì)220個“三藥組”，所以，所以．【小問2詳解】設(shè)共有烈性藥r味，假設(shè)每副藥方中至多含有3味烈性藥，不妨把1味烈性藥味非烈性藥稱為“三藥組”，共有個“三藥組”，另一方面，因?yàn)槊?種烈性藥恰有一副藥方包含它，故有副藥方恰含有3種烈性藥，每