第十一章三角形（B卷培優(yōu)卷單元重點綜合測試）

第十一章三角形（B卷·培優(yōu)卷）考試時間：120分鐘，滿分：120分一、選擇題：共10題，每題3分，共30分。1．（本題3分）若正多邊形的內(nèi)角和是，則該正多邊形的一個外角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是固定的，依此可以求出多邊形的一個外角．【詳解】正多邊形的內(nèi)角和是，多邊形的邊數(shù)為多邊形的外角和都是，多邊形的每個外角故選．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系，關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，難度適中．2．（本題3分）已知三角形的兩邊分別為1和4，第三邊長為整數(shù)，則該三角形的周長為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)第三邊是整數(shù)，從而求得周長．【詳解】設(shè)第三邊為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：41＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x為整數(shù)，∴x的值為4．三角形的周長為1+4+4=9．故選C.【點睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．關(guān)鍵是正確確定第三邊的取值范圍．3．（本題3分）下圖是由10把相同的折扇組成的“蝶戀花”（圖1）和梅花圖案（圖2）（圖中的折扇無重疊），則梅花圖案中的五角星的五個銳角均為（

）A．36° B．42° C．45° D．48°【答案】D【詳解】解∶如圖，梅花扇的內(nèi)角的度數(shù)是：360°÷3=120°，180°﹣120°=60°，∵正五邊形的每一個內(nèi)角=（5﹣2）?180°÷5=108°，∴梅花圖案中的五角星的五個銳角均為：108°﹣60°=48°．故選D．4．（本題3分）下列說法正確的是(

)A．三角形的三條高至少有一條在三角形內(nèi)B．直角三角形只有一條高C．三角形的角平分線其實就是角的平分線D．三角形的角平分線、中線、高都在三角形的內(nèi)部【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線和高線的定義以及在三角形的位置對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、三角形的三條高至少有一條在三角形內(nèi)，正確；B、直角三角形只有三條高，而題目中是只有一條高，錯誤；C、三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，錯誤；D、銳角三角形的角平分線、中線、高都在三角形的內(nèi)部，但鈍角三角形的高有的在外部，錯誤；故選A．【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，是基礎(chǔ)題，熟記概念以及在三角形中的位置是解題的關(guān)鍵．5．（本題3分）已知△ABC的三個內(nèi)角度數(shù)之比為3∶4∶5，則此三角形是（

）三角形．A．銳角 B．鈍角 C．直角 D．不能確定【答案】A【分析】設(shè)三角的度數(shù)分別為：3x°4x°5x°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得3x＋4x＋5x＝180，即可判斷．【詳解】解：∵△ABC的三個內(nèi)角度數(shù)之比為3∶4∶5，∴設(shè)三角的度數(shù)分別為：3x°4x°5x°，∴3x＋4x＋5x＝180，解得：x＝15，∴三個內(nèi)角的度數(shù)分別為：45°，60°，75°，∴此三角形為銳角三角形．故選：A．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理及一元一次方程的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．6．（本題3分）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°∠CBD∠CDB=360°80°=280°，故選D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．7．（本題3分）已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化簡|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的結(jié)果為（）A．2a+2b B．2a+2b﹣2c C．2b﹣2c D．2a【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系判斷a+bc和bac的正負(fù)，然后根據(jù)絕對值的定義化簡即可.【詳解】解：∵a、b、c為△ABC的三條邊長，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣(b﹣a﹣c)＝a+b﹣c+c+a﹣b＝2a．故選：D．【點睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，以及絕對值的定義，熟練掌握三角形三條邊的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.8．（本題3分）一名模型賽車手遙控一輛賽車，先前進1m，然后，原地逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<180°)．被稱為一次操作．若五次操作后，發(fā)現(xiàn)賽車回到出發(fā)點，則角α為(

)A．72° B．108°或144° C．144° D．72°或144°【答案】D【分析】因為賽車五次操作后回到出發(fā)點，五次操作一種是“正五邊形“二種是“五角星“形，根據(jù)α最大值小于180°，經(jīng)過五次操作，絕對不可能三圈或三圈以上．一圈360°或兩圈720度．分別用360°和720°除以5，就可以得到答案．【詳解】解：360÷5=72°，720÷5=144°．故選D．【點睛】本題主要考查了正多邊形的外角的特點．正多邊形的每個外角都相等．9．（本題3分）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點，E是△ABC的兩外角平分線的交點，若∠BOC=130°，則∠D的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和平角定義可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根據(jù)外角的性質(zhì)可得，繼而即可求解．【詳解】解：∵平分，平分的外角，∴，，∵，∴，∴，∴，故選擇C．【點睛】本題考查角平分線的定義，平角定義，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線定義和平角定義可得∠OCD＝90°，根據(jù)外角的性質(zhì)求得．10．（本題3分）如圖，在銳角中，，BD，BE分別是的高和角平分線，點F在CA的延長線上，交BA，BD，BC于點T，G，H，下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識，一一判定即可．【詳解】，，，，，，故①正確；∵BE平分，，，，，故②正確；，，，，由①得，，，，故③正確；為銳角，，又，，，，故④錯誤，故選：A．【點睛】本題考查了三角形角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，靈活運用所學(xué)知識解決問題．二、填空題：共6題，每題3分，共18分。11．（本題3分）在ΔABC中，，，則這個三角形是三角形．【答案】鈍角【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠C即可判斷．【詳解】在ΔABC中，，，∴∴這個三角形是鈍角三角形，故答案為：鈍角．【點睛】此題主要考查三角形的分類，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和．12．（本題3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和2倍，則這個多邊形是．【答案】六邊形【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理和外角和．能夠根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和外角和的特征，把求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題是解題的關(guān)鍵．多邊形的外角和是，則內(nèi)角和是．設(shè)這個多邊形是n邊形，內(nèi)角和是，這樣就得到一個關(guān)于n的方程，從而求出邊數(shù)n的值．【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得，解得：，即這個多邊形為六邊形．故答案為：六邊形．13．（本題3分）如圖，直線，的頂點C，B分別在直線m，n上，且，若，則．【答案】130【分析】運用平行線的性質(zhì)求出，再通過互余求出，互補求出．【詳解】解：如圖，設(shè)直線交于點E，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：130．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及互余互補的知識點，掌握平行線的性質(zhì)并熟練運用是解題關(guān)鍵．14．（本題3分）一個零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判斷這個零件是否合格，只要檢驗∠BCD的度數(shù)就可以了．量得∠BCD＝150°，這個零件（填“合格”不合格”）．【答案】不合格【分析】連接AC并延長，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，再求出∠BCD即可進行判定．【詳解】解：如圖，連接AC并延長，由三角形的外角性質(zhì)可得，∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，∴∠BCD＝∠3+∠4＝∠1+∠B+∠2+∠D＝∠BAD+∠B+∠D＝90°+25°+25°＝140°，∵140°≠150°，∴這個零件不合格．故答案為：不合格．【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出兩個三角形是解題的關(guān)鍵．15．（本題3分）如圖，，．【答案】【分析】過點B作于E，設(shè)AD為x，則AC為3x，用面積公式表示出和，根據(jù)，即可求解．【詳解】過點B作于E，，設(shè)AD為x，則AC為3x，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的面積公式的應(yīng)用，熟練掌握面積公式是解題關(guān)鍵．16．（本題3分）如圖，．

【答案】/540度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和與四邊形的內(nèi)角和公式得，，，三式相加，再由鄰補角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，

∵，，，∴①+②+③得，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．三、解答題：共9題，共72分，其中第17~18題每小題4分，第19~20題每小題6分，第21題8分，第22~23題每小題10分，第24~25題每小題12分。17．（本題4分）如圖，是的角平分線，在上取點D，使．若，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，從而求出，再利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明，可得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，最后用角平分線求出即可．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；∴，在中，，∵，∴，∵是的角平分線，∴．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，準(zhǔn)確識別圖形是解題的關(guān)鍵．18．（本題4分）如圖，在中，，，分別是，上的點，連接，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】三角形外角的性質(zhì)得出，，然后利用等量代換求解即可．【詳解】解：是的外角，．，．是的外角，，，即．又，，．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，結(jié)合圖形建立各角之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．19．（本題6分）△ABC中，內(nèi)角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分線交于點P，AP交BC于D．過B作BG⊥AP于G．若∠GBP=55°，求∠ACB的度數(shù)．【答案】【分析】由∠GBP=55°，∠BGP=90°，得到∠BPG=35°，根據(jù)角平分線的定義得到∠EBP=∠CBP，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，由∠ACB=∠EBC∠BAC=2∠EBP2∠BAP，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠GBP=55°，∠BGP=90°，∴∠BPG=35°，∵BP平分∠CBE，∴∠EBP=∠CBP，∵∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，∵AP平分∠BAC，∵∠ACB=∠EBC∠BAC=2∠EBP2∠BAP=2(∠BAP+35°∠BAP)=70°．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．20．（本題6分）在中，，邊上的中線把三角形的周長分為10和18兩部分，求腰長．【答案】12【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成10和18兩部分，可得|ABBC|=1810=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，然后分別從AB＞BC與AB＜BC去分析求解即可求得答案．【詳解】解：如圖，∵AB=AC，BD是AC邊上的中線，即AD=CD，∴|ABBC|=1810=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，若AB＞BC，則ABBC=8，又∵2AB+BC=28，聯(lián)立方程組：，解得：AB=12，BC=4，12、12、4三邊能夠組成三角形；若AB＜BC，則BCAB=8，又2AB+BC=28，聯(lián)立方程組：，解得：AB=，BC=，、、三邊不能夠組成三角形；∴腰長AB為12．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時要想到兩種情況，進行分類討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．21．（本題8分）如圖，在中，點D在上，點E在上，交于F.已知交于G,交于H，.（1）求的度數(shù).（2）若，，求的度數(shù).【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得，然后求出，再根據(jù)兩直線平行線，同位角相等可得；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）∵，∴，∵，∴．22．（本題10分）如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對角線，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求證：AD⊥AC；（2）探求∠BAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由見解析.【分析】（1）利用直角三角形的兩銳角互余、三角形的內(nèi)角和定理、以及角的和差即可得；（2）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得，再由題（1）的結(jié)論和推出，聯(lián)立化簡求解即可得.【詳解】（1）∵在ΔABC中，在中，，即；（2），理由如下：由題（1）知，.【點睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余、三角形的內(nèi)角和定理、以及角的和差，熟記三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.23．（本題10分）如圖，在中，，分別是，的平分線，，分別是，的平分線．(1)若，直接寫出，的度數(shù)；(2)當(dāng)變化時，的值是否變化?請說明理由．【答案】(1)，(2)的值不變．理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用表示出，再根據(jù)角平分線的定義表示出，然后在中利用三角形的內(nèi)角和定理可得出的度數(shù)；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及其推論以及角平分線的定義即可得出的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中與的式子即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，、分別是和的角平分線，，，，在中，；、分別是與的外角平分線，，，，．（2）的值不變．理由如下：，分別平分，，，．．同理．．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟知三角形的內(nèi)角和等于是解答此題的關(guān)鍵．24．（本題12分）（1）如圖，中，點D、E在邊上，平分，，，，求的度數(shù)；（2）如圖，若把（1）中的條件“”變成“F為延長線上一點，”，其它條件不變，求的度數(shù)；（3）若把（1）中的條件“”變成“F為延長線上一點，”，其它條件不變，請畫出相應(yīng)的圖形，并求出的度數(shù)；（4）結(jié)合上述三個問題的解決過程，你能得到什么結(jié)論？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）見解析【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)求角度即可；（2）作于H，由（1）的結(jié)論和平行的性質(zhì)得到；（3）作于H，由（1）的結(jié)論和平行的性質(zhì)得到；（4）的角平分線與角平分線上的點作的垂線的夾角中的銳角為15°．【詳解】解：（1），∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）作于H，如圖，由（1）得，∵．∴，∴；（3）作于H，如圖，由（1）得，∵，∴，∴；（4）結(jié)合上述三個問題的解決過程，得到的角平分線與角平分線上的點作的垂線的夾角中的銳角為1