第3講平面向量原卷版

第3講平面向量【復習目錄】一、平面向量的概念二、平面向量的線性運算三、平面向量的數量積運算四、用基底表示向量五、平面向量線性運算的坐標表示六、平面向量數量積運算的坐標表示七、共線向量八、平面向量共線定理的推論九、求平面向量的模十、求平面向量的夾角十一、投影向量十二、平面向量綜合【知識歸納】一．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb二．平面向量共線/垂直的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)=1\*GB2⑴a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0 =2\*GB2⑵a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0三．平面向量的數量積a·b=|a||b|·cosθ. cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)四．a在向量b上的投影向量：五．平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論符號表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【題型歸納】題型一、平面向量的概念1．（2122高一下·上海浦東新·期末）下列結論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒有方向 B．C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等2．（2021高一下·浙江麗水·期末）已知平面向量、、，下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則3．（2223高一下·湖北武漢·期末）下列命題正確的是（

）A．對于任意非零向量、、，若向量、在向量上的投影向量相等，則；B．若，則一定成立；C．向量與是共線向量，則、、、四點一定共線；D．若，且，則與所在直線的夾角是．題型二、平面向量的線性運算4．（2324高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，點是的中點，設，則（

）A． B．C． D．5．（2223高一下·山東青島·期末）中，點為上的點，且，若，則（

）A． B． C． D．6．（2324高一下·廣東·期末）如圖，點是的重心，點是邊上一點，且，，則（

）A． B． C． D．題型三、平面向量的數量積運算7．（2324高一下·上海·期末）已知是邊長為1的等邊三角形，點、分別是邊、的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2324高一下·四川·期中）如圖，在中，為上一點，且滿足，若則的值為（

）A． B． C． D．9．（2223高一下·北京海淀·期末）已知，，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4題型四、用基底表示向量10．（2324高一上·北京房山·期末）如圖，在中，點，滿足，，則（

）A． B．C． D．11．（2223高一下·安徽宣城·期末）已知是邊長為a的等邊三角形，點D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，連接DE并延長到點M，使得，連接DF并延長到點N，使得，則的值為（

）A． B． C． D．12．（2324高一上·浙江寧波·期末）在中，點為邊上的中點，點滿足，點是直線，的交點，過點做一條直線交線段于點，交線段于點（其中點，均不與端點重合）設，，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型五、平面向量線性運算的坐標表示13．（2223高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．14．（2223高一下·吉林長春·期末）已知向量，，，若與垂直，則實數的值為（

）A． B． C． D．15．（2223高一下·江蘇南京·期末）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．題型六、平面向量數量積運算的坐標表示16．（2223高一下·江蘇蘇州·期末）向量，且，則．17．（2223高一下·廣西·期末）已知向量，滿足，，，則；18．（2324高一下·上?！て谀┤鐖D，正六邊形的邊長為，半徑為1的圖的圓心為正六邊形的中心，若點在正六邊形的邊上運動，動點，在圓上運動且關于圓心對稱，則的取值范圍為題型七、向量的平行與垂直19．（2324高一上·遼寧·期末）已知，，若，則（

）A． B． C． D．20．（2223高一下·遼寧·期末）已知向量，，若，則（

）A．0或2 B．2 C．0或 D．21．（2223高一下·湖北武漢·期末）已知向量，，則“”是“”的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要題型八、平面向量共線定理的推論22．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（

）A． B． C． D．123．（2223高一下·福建莆田·期末）在中，為上一點，且滿足．若，則的值為（

）A．1 B． C． D．224．（2223高一下·四川遂寧·期末）在對角線相等的平行四邊形中，，，為上一點，若，，，則（

）A． B． C． D．題型九、求平面向量的模25．（2223高一上·遼寧錦州·期末）已知向量，，且，則為（

）A． B． C． D．26．（2223高一下·黑龍江·期末）已知向量，滿足，，且，的夾角為，則（

）．A． B．7 C． D．1927．（2223高一下·廣西玉林·期末）如圖，在中，為上一點，且滿足，若，則的值為（

）

A． B． C． D．題型十、求平面向量的夾角28．（2223高一下·河南安陽·期末）已知滿足，則夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．29．（2223高一下·福建漳州·期末）已知向量與垂直，若，且與向量的夾角是銳角，則（

）A． B． C． D．30．（2223高一下·河北保定·期末）已知為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C． D．0題型十一、投影向量31．（2324高一下·重慶渝中·期中）已知等腰中，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．32．（2324高一下·福建福州·期中）已知向量，則以下說法正確的是（

）A． B．方向上的單位向量為C．向量在向量上的投影向量為 D．若，則33．（2223高一下·遼寧鞍山·期末）已知外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．題型十二：向量在幾何中的應用34．（2223高一下·北京懷柔·期末）在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．35．（2223高一下·北京豐臺·期末）如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點，則的最大值為（

）

A． B． C． D．36．（2223高一下·吉林長春·期末）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．題型十三、平面向量綜合37．（2324高一下·天津河西·期中）已知向量，且．(1)求向量與的夾角；(2)求的值；(3)若向量與互相垂直，求k的值．38．（2324高一下·江蘇南通·期中）如圖，在中，已知分別為邊上的中點，相交于點.(1)求；(2)求的值.39．（2324高一上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．(1)用和表示；(2)求；(3)設，求的取值范圍．【專題強化】一、單選題40．（2324高一下·河北邢臺·期中）下列結論正確的是（

）A．平行向量不一定是共線向量 B．單位向量都相等C．兩個單位向量之和不可能是單位向量 D．41．（2324高一下·四川瀘州·期中）如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．42．（2324高一下·福建南平·期中）如圖所示，是直角三角形，，，點是斜邊的中點，點是線段靠近點的三等分點，則（

）A．0 B． C． D．43．（2324高一上·浙江寧波·期末）已知，，且，的夾角為，則（

）A．1 B． C．2 D．44．（2223高一下·全國·單元測試）若非零向量與滿足，且，則為（

）A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形D．等邊三角形45．（2223高一下·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．46．（2223高一下·天津·期末）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．47．（2324高一下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，，半圓在內，圓心為，半圓的直徑剛好在AC上，弧形部分與AB，BC相切，切點分別為和，在半圓的圓弧部分（含端點）上有一點，且，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．二、多選題48．（2324高一下·四川·期中）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結論正確的有（

）A．B．C．在上的投影向量為D．若點為正八邊形邊上的一個動點，則的最大值為49．（2324高一上·浙江寧波·期末）下列說法正確的是（

）A．已知，為平面內兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底B．，則存在唯一實數，使得C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．中，，，則為等邊三角形50．（2324高一上·遼寧沈陽·期末）如圖，在直角梯形中，，，，是線段的中點，線段與線段交于，則（

）A．B．C．D．51．（2223高一下·遼寧葫蘆島·期末）已知平面四邊形，是所在平面內任意一點，則下列命題正確的是（

）A．若，則四邊形是正方形B．若，則四邊形是矩形C．若，則為直角三角形D．若動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的重心三、填空題52．（2324高一下·上?！て谀┮阎?，則實數53．（2324高一下·上?！て谥校┤鐖D，在平行四邊形中，點在邊上，點在邊上，且與相交于點，若，則實數.54．（2324高一上·遼寧大連·期末）平面向量兩兩不共線，滿足，且．若，則的最大值為．55．（2223高一下·天津和平·期末）如圖，在中，是線段上的點，且，是線段的中點，延長交于點，設，則；若為邊長等于2的正三角形，則.

四、解答題56．（2324高一下·北京海淀·期中）已知向量，，(1)求；(2)求滿足的實數m，n的值；(3)若，求實數k的值．57．（2324高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，如圖，在中，點滿足在線段BC上且，點是AD與MN的交點，.(1)分別用來表示和(2)求的最小值58．（2324高一下·安徽蕪湖·期中）如圖，在四邊形ABCD中，，且，若P，Q為線段AD上的兩個動點，且.