江蘇省南通市海安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題創(chuàng)新班含解析

PAGE20-江蘇省南通市海安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（創(chuàng)新班，含解析）一、選擇題1.已知集合，集合，則中元素的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出整數(shù)的個數(shù)，即可得出答案.【詳解】解不等式，得，，的取值有、、、、、、，因此，中元素的個數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集元素個數(shù)的計算，考查計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用以及平方差公式進(jìn)行化簡，再代值即可.【詳解】原式==因?yàn)?，故，代入原?.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算，留意三次方差公式的利用，先化簡后求值.3.冪函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，則m=（）A.－1 B.2 C.－1或2 D.1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，求得參數(shù)，再依據(jù)奇偶性進(jìn)行取舍.【詳解】由冪函數(shù)定義可知，，解得或；當(dāng)時，，是奇函數(shù)，不滿意題意；當(dāng)時，，是偶函數(shù)，滿意題意.綜上所述：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義，以及冪函數(shù)的奇偶性，屬基礎(chǔ)題.4.函數(shù)，若，則（）A.－1 B.1 C.－9 D.9【答案】C【解析】【分析】推斷的奇偶性，依據(jù)奇偶性，列方程求解即可.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且=故是奇函數(shù)；則因?yàn)?，可得，解?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；值得留意的是函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，且為奇函數(shù)，可以當(dāng)作一個一般性結(jié)論進(jìn)行總結(jié).5.若等差數(shù)列的公差，且，則的前17項(xiàng)的和（）A.17 B.18 C.30 D.32【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的下標(biāo)和性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，進(jìn)行整理化簡即可.【詳解】等價于因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，故其等價于解得：，因故；由等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的下標(biāo)和性質(zhì)，以及前項(xiàng)和的性質(zhì)，屬性質(zhì)應(yīng)用題；除本題解法外，也可以采納基本量進(jìn)行計算，但計算量較大，不舉薦.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正切函數(shù)的和角公式，結(jié)合已知條件，化簡求值即可.【詳解】=.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用正切函數(shù)的和角公式進(jìn)行恒等改變和化簡，其難點(diǎn)在于反湊的技巧.7.函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的肯定值不超過，則的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二分法，估算的零點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行推斷.【詳解】因?yàn)?，是單調(diào)增函數(shù)，又，故的零點(diǎn)所在區(qū)間為，若使得的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的肯定值不超過，只需的零點(diǎn)在區(qū)間即可.明顯A選項(xiàng)中，的零點(diǎn)為滿意題意，而選項(xiàng)B中的零點(diǎn)1，C選項(xiàng)中的零點(diǎn)0，D選項(xiàng)中零點(diǎn)均不滿意題意.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)的求解，以及用二分法估算函數(shù)的零點(diǎn)，屬綜合基礎(chǔ)題.8.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將函數(shù)按題意平移得到，再由題中條件得到＝3，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得：，所以，＝3，得：.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的平移以及對數(shù)的運(yùn)算，熟記函數(shù)平移的法則以及對數(shù)的定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.設(shè)是定義在R上的函數(shù)，若存在兩個不相等實(shí)數(shù)、，使得，則稱函數(shù)為“創(chuàng)新函數(shù)”.則下列函數(shù)不是“創(chuàng)新函數(shù)”的是（）①②③④A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】依據(jù)對創(chuàng)新函數(shù)的定義，對每個選項(xiàng)的函數(shù)進(jìn)行逐一推斷即可.【詳解】依據(jù)創(chuàng)新函數(shù)的定義，其本質(zhì)含義是：函數(shù)上，存在一點(diǎn)，使得函數(shù)圖像上其它兩點(diǎn)關(guān)于該點(diǎn)對稱即可.對A：函數(shù)為R上的奇函數(shù)，故函數(shù)上存在對稱點(diǎn)，對函數(shù)上隨意其它關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，均滿意創(chuàng)新函數(shù)的定義；對B：函數(shù)也是R上的奇函數(shù)，故函數(shù)上存在對稱點(diǎn)，對函數(shù)上隨意其它關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，均滿意創(chuàng)新函數(shù)的定義；對C：函數(shù)是R上的偶函數(shù)，但存在點(diǎn)，對函數(shù)上的和兩點(diǎn)，關(guān)于對稱，故滿意創(chuàng)新函數(shù)的定義；對D：不存在點(diǎn)，使得函數(shù)圖像上其它兩點(diǎn)關(guān)于該點(diǎn)對稱.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問題，涉及函數(shù)圖像以及函數(shù)性質(zhì)，屬函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題.10.已知函數(shù)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，并推斷出函數(shù)的單調(diào)性，由可得出關(guān)于的不等式組，解出即可.【詳解】，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由可得，即，解得.因此，不等式的解集為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，分析出函數(shù)的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于中等題.11.已知直線，與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，則直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）A.大于 B.等于 C.小于 D.不確定【答案】B【解析】【分析】求出、、、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線與的函數(shù)解析式，然后求出這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由題意可知點(diǎn)、、、，設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)解析式為，則，解得,所以直線的函數(shù)解析式為，同理可知直線的函數(shù)解析式為，兩直線均過原點(diǎn)，所以，直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)的求解，考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是求出兩條直線對應(yīng)的一次函數(shù)解析式，考查計算實(shí)力，屬于中等題.12.已知點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，滿意，，則實(shí)數(shù)m為（）A.2 B.-2 C.4 D.-4【答案】D【解析】【分析】將已知向量關(guān)系變?yōu)椋?，可得到且共線；由和反向共線，可構(gòu)造關(guān)于的方程，求解得到結(jié)果.【詳解】由得：設(shè)，則三點(diǎn)共線如下圖所示：與反向共線本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及向量的幾何意義，關(guān)鍵是通過向量線性運(yùn)算關(guān)系得到三點(diǎn)共線的結(jié)果，從而得到向量模長之間的關(guān)系.二、填空題13.已知實(shí)數(shù)、、、滿意，，，，則________.【答案】【解析】【分析】將指數(shù)式化為對數(shù)式，利用換底公式可計算出的值.【詳解】，，同理，，，由換底公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)換底公式的應(yīng)用，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若,均為公差為d的等差數(shù)列，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩個數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合特殊的幾項(xiàng)，找尋等量關(guān)系，解方程求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，故，，，又也是公差為的等差數(shù)列，則，兩邊平方得：①，兩邊平方得：②②-①可得：③把③代入①得：.故或，因數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，故舍去；當(dāng)，代入③解得.故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和，利用基本量處理即可.15.已知向量與的夾角為，且，，實(shí)數(shù)k滿意與的夾角為鈍角，則k的取值范圍為________.【答案】且【解析】【分析】依據(jù)向量的夾角為鈍角，則數(shù)量積為負(fù)數(shù)進(jìn)行計算，但留意解除平角的可能.【詳解】由已知條件可知：，因?yàn)榕c的夾角為鈍角故，即：整理得：，解得：；設(shè)，且，解得，解得，又故，即此時.此時，與的夾角為平角，故.綜上所述：故答案為：且.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量共線定理，屬向量基礎(chǔ)題.16.已知且，且，方程組的解為或，則________.【答案】【解析】【分析】利用換底公式得出，分別消去和，可得出二次方程，利用韋達(dá)定理可求出和的值，進(jìn)而可計算出的值.【詳解】由換底公式得，由①得，代入②并整理得，由韋達(dá)定理得，即，則，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)的換底公式，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，韋達(dá)定理，考查了計算實(shí)力，屬于中檔題．三、解答題17.設(shè)集合，集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再依據(jù)公共元素為代入集合，即可求出實(shí)數(shù)的值；（2）由推出，然后分、、、四種狀況探討，求出對應(yīng)的實(shí)數(shù)的值或取值范圍，綜合可得出結(jié)果.【詳解】由題意得.（1），，，即，或.當(dāng)時，，，滿意；當(dāng)時，，，滿意.綜上所述，或；（2），.①當(dāng)時，方程無解，，解得；②當(dāng)時，，無解；③當(dāng)時，，無解；④當(dāng)時，，無解.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合和集合以及元素和集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目，特殊提示，第一問求出參數(shù)的值后肯定要留意代入檢驗(yàn)，避開出錯．18.“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”供應(yīng)了極大的便利，某共享單車公司支配在甲、乙兩座城市共投資萬元，依據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益與投入（單位：萬元）滿意，乙城市收益與投入（單位：萬元）滿意，設(shè)甲城市的投入為（單位：萬元），兩個城市的總收益為（單位：萬元）.（1）求及定義域；（2）試問如何支配甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大？【答案】（1），定義域?yàn)椋唬?）當(dāng)甲城市投入萬元，乙城市投入萬元時，總收益最大.【解析】【分析】（1）由化簡，并結(jié)合題意得出該函數(shù)的定義域；（2）配方，得出函數(shù)的最大值及其對應(yīng)的的值即可．【詳解】（1）由題意可得，且有，解得，故函數(shù)定義域?yàn)椋唬?），當(dāng)時，即當(dāng)萬元時，.當(dāng)甲城市投入萬元，乙城市投入萬元時，總收益最大為萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查了二次函數(shù)最值的計算，考查計算實(shí)力，屬于中等題．19.在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角的大?。唬?）若，，O為的外心，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，將角化邊，反湊余弦定理，求出角度；（2）利用向量數(shù)量積的幾何意義，用表示出和，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）由正弦定理得∴∴.又，∴.（2），故①同理②由①②可得：故：當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.

即當(dāng)時，取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查由正弦定理進(jìn)行角化邊，以及余弦定理的運(yùn)用，涉及向量數(shù)量積的幾何意義，以及利用均值不等式求最值，是解三角形、向量、均值不等式的綜合題.20.設(shè)函數(shù)在定義域具有奇偶性.（1）求的值；（2）已知在上的最小值為，求的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，.【解析】【分析】（1）分類探討，當(dāng)為奇函數(shù)時，由可解得的值；當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時，由可解得的值；（2）按及兩種狀況分類探討，在時，換元；在時，換元，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值為，對二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類探討，利用二次函數(shù)的單調(diào)性得出關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，，；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，，對一切都成立，.綜上所述，；（2）①當(dāng)時，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，.二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，舍去；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，或（舍去）；當(dāng)時，.②當(dāng)時，，令，當(dāng)時，，內(nèi)層函數(shù)在時單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在時單調(diào)遞增，，.二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，（舍）.所以，當(dāng)時，.綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的最值，考查換元思想及分類探討思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力，難度中等．21.已知等差數(shù)列與公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿意，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和，且恒成立，求的最小值.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】分析】（1）依據(jù)已知，利用數(shù)列的基本量求通項(xiàng)公式，列方程求解即可；（2）先分組求和，再運(yùn)用公式法以及錯位相減法求前項(xiàng)和；（3）由（1）結(jié)論可得，運(yùn)用裂項(xiàng)求和，再進(jìn)行適度放縮.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解之得.∴，∴.（2）∴.令，則，∴∴，∴.（3），故=因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的基本量求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及分組求和，裂項(xiàng)求和，屬數(shù)列綜合題.22.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)同時滿意下列三個條件：①對隨意的，都有；②；③對隨意、且，都有成立