滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題15.7軸對稱與等腰三角形章末題型過關(guān)卷練習(xí)(原卷版+解析)

第15章軸對稱與等腰三角形章末題型過關(guān)卷【滬科版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列圖形中，為軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．（3分）（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做格點．如圖，點A的坐標(biāo)為(1,1)，點B的坐標(biāo)為(3,3)，點C為第一象限內(nèi)的格點，若不共線的A，B，C三點構(gòu)成軸對稱圖形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（3分）（2022·山東·濱州市濱城區(qū)教學(xué)研究室八年級期末）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，連接CP，若∠BPC＝40°，則∠NAP的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（3分）（2022·浙江·永嘉縣崇德實驗學(xué)校七年級期中）如圖是一段長方形紙帶，∠DEF=21°，將紙帶沿EF折疊成圖，再沿BF折疊成圖，則圖中的∠CFE的度數(shù)為（）A．107° B．112° C．117° D．128°5．（3分）（2022·北京市建華實驗學(xué)校八年級期中）已知，△ABC是等邊三角形．點D是AB邊上的一個動點，點E是AC邊上的一個動點，且BD=CE，BE與CD交于點F．若△BFD是等腰三角形，則∠FBD的度數(shù)是（

）A．30°或60° B．20°或40° C．15°或30° D．20°或30°6．（3分）（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是A．6m B．8m C．110m D．9.6m7．（3分）（2022·江蘇·南京市竹山中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB、△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）（2022·天津市第五十五中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與邊AB，AC分別交于點D，E．已知△ABC與△BCE的周長分別為22cm和14cm，則BD的長為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm9．（3分）（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點A1作x軸的垂線，垂足為點O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點A2A．122018 C．122020 10．（3分）（2022·廣東·佛山市順德區(qū)拔萃實驗學(xué)校八年級期中）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點E，連接CD，分別交AE、AB于點F、G，過點A作AH⊥CD交BD于點H，EH=1，則下列結(jié)論：①∠ACD=15°；②△AFG是等腰三角形；③△ADF≌△BAH；④DF=2．其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級期中）若點Mm+1,2與點N3，1?n關(guān)于12．（3分）（2022·浙江·樂清市虹橋鎮(zhèn)第一中學(xué)八年級期中）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是BC中點，點E、F、G是線段AD上的三個點，若BC=4cm,AD=613．（3分）（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如果等腰三角形的周長是35cm，一腰上中線把三角形分成兩個三角形，其周長之差是4cm，則這個等腰三角形的底邊長是__.14．（3分）（2022·北京四中八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，D、C、E三點在一條直線上，且∠ADC=∠BEC=90°，過點C作FC⊥DE，且FC=AD+BE．若∠AFB=α，則∠DFE=______________．（用含α的式子表示）15．（3分）（2022·江蘇·南京秦淮外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知：如圖，△ABC中，E在BC上，D在BA上，過E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，則16．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠ACB=78°，∠ABC=60°，并且∠BAD+∠CAD=180°，則∠BDC的度數(shù)為__________．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·遼寧·阜新市育才中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A(2)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A(3)求△ABC的面積；(4)在y軸上找到一點P，使點P到點B、點C距離最短，畫出圖形，寫出點P坐標(biāo)．18．（6分）（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠址到A，B兩村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）？(2)若要使廠址到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？19．（8分）（2022·山東·東埠初中八年級階段練習(xí)）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，有一個以格點為頂點的△ABC．(1)請在同樣大小的網(wǎng)格中，畫出所有與△ABC成軸對稱且以格點為頂點的不同的三角形，并畫出對稱軸．（說明：每個網(wǎng)格中只畫一種情況的圖形．）(2)通過觀察（1）中完成的圖形，你有哪些數(shù)學(xué)結(jié)論？20．（8分）（2022·貴州省三穗中學(xué)八年級期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，點D為線段AB的中點，動點P以2cm/s的速度從B點出發(fā)在射線BC上運(yùn)動，同時點Q以αcm/s（α＞0且α≠2）的速度從C點出發(fā)在線段CA上運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒．(1)若AB＝AC，P在線段BC上，求當(dāng)α為何值時，能夠使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為直角三角形？(3)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為等邊三角形？21．（8分）（2022·廣東·中山紀(jì)念中學(xué)八年級期中）如圖1所示，直線AB交x軸于點Aa,0，交y軸于點B0,b，且a、b滿足(1)如圖1，若C的坐標(biāo)為?1,0，且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接OH，求證：∠OHP=45°；(3)如圖3，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當(dāng)M點在y軸正半軸上運(yùn)動的過程中，求SΔ22．（8分）（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)八年級期中）已知△ABC為等邊三角形，邊長為8，點D，E分別是邊AB,BC上的動點，以DE為邊作等邊△DEF．(1)如圖1，若點F落在邊AC上．①求證：AD=BE；②連接AE,DC交于M點，則∠CMB=__________．(2)如圖1，當(dāng)△BDE為直角三角形時，求BE(3)如圖2，當(dāng)AD=2BE時，點G為BC邊的中點，求GF的最小值．23．（8分）（2022·遼寧鞍山·八年級期中）在△ABC中AB=AC，經(jīng)過點C的直線CP交邊AB于點Q，∠ACP=12∠BAC，D是直線PC上一動點，以AD為邊在AD的左側(cè)作△ADE，使AE=AD且∠EAD=∠BAC(1)如圖，求證：CD=BE；(2)探究點E的運(yùn)動路徑，并直接寫出你得到的結(jié)論；（提示：嘗試取幾個不同位置的點D，畫圖探索結(jié)論）(3)當(dāng)∠QCB=60°時，若BE=AC，求∠AEB的度數(shù)．（直接寫出答案）第15章軸對稱與等腰三角形章末題型過關(guān)卷【滬科版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列圖形中，為軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形概念，一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就是軸對稱圖形．2．（3分）（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做格點．如圖，點A的坐標(biāo)為(1,1)，點B的坐標(biāo)為(3,3)，點C為第一象限內(nèi)的格點，若不共線的A，B，C三點構(gòu)成軸對稱圖形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作出點C，即可得到滿足條件的點C的個數(shù)．【詳解】解：滿足條件的點C有4個．故選：B．【點睛】本題考查利用軸對稱設(shè)計圖案，坐標(biāo)與圖形變化?對稱等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．3．（3分）（2022·山東·濱州市濱城區(qū)教學(xué)研究室八年級期末）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，連接CP，若∠BPC＝40°，則∠NAP的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PF=PH=PE，然后根據(jù)角平分線的判定定理得出CP平分∠ACM，在根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，從而可以求出∠NAP的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過P作PE⊥BC，PF⊥BA，PH⊥AC，∵BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，∴PF=PH，PF=PE，∠PBC∴PH=PE，∴CP平分∠ACM，∴∠PCM∵∠BPC=∠PCM-∠PBC=40°，∴12∴∠ACM∴∠BAC∴∠CAN∵AP平分∠NAC，∴∠NAP故選：C．【點睛】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，判斷CP平分∠ACM以及運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．4．（3分）（2022·浙江·永嘉縣崇德實驗學(xué)校七年級期中）如圖是一段長方形紙帶，∠DEF=21°，將紙帶沿EF折疊成圖，再沿BF折疊成圖，則圖中的∠CFE的度數(shù)為（）A．107° B．112° C．117° D．128°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EFB=∠DEF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠EFB處重疊了3層，然后根據(jù)∠CFE=180°-3∠EFB代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：∵∠DEF=21°，長方形ABCD的對邊AD∥BC，∴∠EFB=∠DEF=21°，由折疊，∠EFB處重疊了3層，∴∠CFE=180°-3∠EFB=180°-3×21°=117°．故選：C．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，觀察圖形判斷出∠EFB處重疊了3層是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2022·北京市建華實驗學(xué)校八年級期中）已知，△ABC是等邊三角形．點D是AB邊上的一個動點，點E是AC邊上的一個動點，且BD=CE，BE與CD交于點F．若△BFD是等腰三角形，則∠FBD的度數(shù)是（

）A．30°或60° B．20°或40° C．15°或30° D．20°或30°【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS證明△BCD≌△CBE，得出∠BCD=∠CBE,設(shè)∠BCD=∠CBE=x，則∠DBF=60°?x，分三種情況：①若FD=FB，則∠FBD=∠FDB>∠A，證出∠FBD<60°，得出FD=FB的情況不存在；②若DB=DF，則∠FBD=∠BFD=2x，得出方程60°?x=2x，解方程即可得出結(jié)果；③若BD=BF，則∠BDF=∠BFD=2x，由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，在△BCD和△CBE中，∵BD=CE∠ABC=∠ACB∴△BCD≌△CBE，∴∠BCD=∠CBE,

設(shè)∠BCD=∠CBE=x，則∠DBF=60°?x，若△BFD是等腰三角形，分三種情況：①若FD=FB，則∠FBD=∠FDB>∠A，∴∠FBD=∠FDB>60°，而∠FBD<60°，∴FD=FB的情況不存在；②若DB=DF，則∠FBD=∠BFD=2x，∴60°?x=2x，解得：x=20°，∴∠FBD=40°；

③若BD=BF，如圖所示：則∠BDF=∠BFD=2x，在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，∴60°?x+2x+2x=180°，解得：x=40°，∴∠FBD=20°；綜上所述：∠FBD的度數(shù)是40°或20°．故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)；關(guān)鍵是通過進(jìn)行分類討論求解．6．（3分）（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是A．6m B．8m C．110m D．9.6m【答案】D【分析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，此題得解．【詳解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP=CP．過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示．∵S∴BQ=BC?AD故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，利用點到直線垂直線段最短找出PC+PQ的最小值為BQ是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2022·江蘇·南京市竹山中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB、△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用分類討論的思想，當(dāng)PB=PC，BP=BC，CP=BC時分別找到點P即可．【詳解】如圖所示，l為長方形ABCD的對稱軸，即l為AB的垂直平分線，∴當(dāng)P在l上時滿足PA=PB，作BC的中垂線交l于P1，滿足P作BP=BC與l交于P2、P3兩點，滿足P2作CP=BC與l交于P4、P5兩點，滿足P4滿足題意的點P共5個，故選：D．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2022·天津市第五十五中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與邊AB，AC分別交于點D，E．已知△ABC與△BCE的周長分別為22cm和14cm，則BD的長為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】A【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，根據(jù)三角形的周長公式計算即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA=EB，AD=BD=1∵△BCE的周長是14cm，∴BC+BE+EC=14cm，即AC+BC=14cm；∵△ABC的周長是22cm，∴AB+AC+BC=22cm，∴AB=22?14=8（cm），∴BD=1故選：A【點睛】本題主要考查了段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點A1作x軸的垂線，垂足為點O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點A2A．122018 C．122020 【答案】C【分析】根據(jù)點A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點A1作x軸的垂線，垂足為點O1，得點A1的縱坐標(biāo)是2×12；根據(jù)以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，過點【詳解】解：∵點A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點A1作x∴∠A1OO1=90°-60°=30°，∴O1A1＝12OA1＝2×以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A∴∠A2O1O2=90°-60°=30°，O∴O2A2＝12O1A2＝2×12×12以O(shè)2A2同理，得點A3的縱坐標(biāo)是2×1按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得點A2021的縱坐標(biāo)是2×122021故選：C．【點睛】本題考查了圖形和數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、等邊三角形、垂線、圖形和數(shù)字規(guī)律、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解．10．（3分）（2022·廣東·佛山市順德區(qū)拔萃實驗學(xué)校八年級期中）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點E，連接CD，分別交AE、AB于點F、G，過點A作AH⊥CD交BD于點H，EH=1，則下列結(jié)論：①∠ACD=15°；②△AFG是等腰三角形；③△ADF≌△BAH；④DF=2．其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150°，據(jù)此可判斷；②求出∠AFG和∠FAG度數(shù)，從而得出∠AGF度數(shù)，據(jù)此得出答案；③根據(jù)ASA證明△ADF≌△BAH即可判斷；④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，則∠EAH=30°，DF=2EH即可得出．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且頂角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正確；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，∴△AFG三個內(nèi)角都不相等，∴△AFG不是等腰三角形，故②錯誤；由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°，則∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∠ADF=∠BAH，DA=AB，∴△ADF≌△BAH（ASA），故③正確；∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°，∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°，∴AH=2EH，∵EH=1，△ADF≌△BAH（ASA）∴DF=AH，∴DF=AH=2EH=2，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點的應(yīng)用．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級期中）若點Mm+1,2與點N3，1?n關(guān)于【答案】5【分析】利用關(guān)于x軸對稱“橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”求得m、【詳解】解：∵點Mm+1,2與點N3，∴m+1=3,2+1?n=0，∴m=2,n=3，∴m+n=5．故答案為：5．【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)變化，掌握關(guān)于軸對稱坐標(biāo)變化法則是解題關(guān)鍵．12．（3分）（2022·浙江·樂清市虹橋鎮(zhèn)第一中學(xué)八年級期中）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是BC中點，點E、F、G是線段AD上的三個點，若BC=4cm,AD=6【答案】6【分析】先根據(jù)“AB=AC，D是BC中點”求出EB=EC，F(xiàn)B=FC，GB=GC，再根據(jù)SSS得到△EBF≌△ECF，同理可得△GBD≌△GCD，進(jìn)而得到S陰影【詳解】解：∵AB=AC，D是BC中點，∴BD=DC=2cm，AD是線段BC∴EB=EC，F(xiàn)B=FC，GB=GC，∵在△EBF和△ECF中，EF=EFEB=EC∴△EBF≌△ECFSSS∴S△ECF同理可得△GBD≌△GCDSSS則S△GBD∴S====6【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一，線段垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證出S陰影13．（3分）（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如果等腰三角形的周長是35cm，一腰上中線把三角形分成兩個三角形，其周長之差是4cm，則這個等腰三角形的底邊長是__.【答案】9cm或433【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)等腰三角形的腰長為xcm，則底邊長為35?2xcm，再根據(jù)兩個三角形的周長差是4cm，求出x【詳解】解：如圖所示，等腰△ABC中，AB=AC，點D為AC∵點D為AC的中點，∴AD=CD=當(dāng)△ABD的周長大于△AB+AD+解得x=13∴底邊長為35?13×2=9（cm）；當(dāng)△BCD的周長大于△則BC+CD+解得x=底邊長為35?31綜上所述，這個等腰三角形的底邊長為9cm或433故答案為：9cm或433【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解.14．（3分）（2022·北京四中八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，D、C、E三點在一條直線上，且∠ADC=∠BEC=90°，過點C作FC⊥DE，且FC=AD+BE．若∠AFB=α，則∠DFE=______________．（用含α的式子表示）【答案】90°?α##?α+90°【分析】連接AE，BD，先證明△ADC?△CEB,再證△CDF?△EBD,可得到△BDF是等腰直角三角形，則∠BFD=45°，再證△ADE?△ECF，得△AEF是等腰直角三角形，得∠AFE=45°，由∠DFE=∠BFD+∠AFE?∠AFB可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接AE，BD，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∵AC=BC，∠ADC=∴△ADC?△CEB（AAS）,∴AD=CE，CD=BE，∠ACD=∴DE=CE+CD=AD+BE，∵CF=AD+BE，∴DE=CF，∵CF⊥DE，∴∠BED=∴△CDF?△EBD（SAS）,∴DF=BD，∠CFD=∠EDB，∴∠BDF=∠CDF+∠EDB=∠CDF+∠CFD=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴∠BFD=45°，∵AD=CE，∠ADE=∠ECF=90°，∴△ADE?△ECF（SAS）,∴∠AED=∠EFC，∴∠AEF=∠CEF+∠AED=∠CEF+∠EFC=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFE=45°，∵∠AFB=α，∴∠DFE=∠BFD+∠AFE?∠AFB=45°+45°?α=90°?α．故答案為：90°?α．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2022·江蘇·南京秦淮外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知：如圖，△ABC中，E在BC上，D在BA上，過E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，則【答案】83##【分析】在FA上取一點T，使得FT=BF，連接ET，在CB上取一點K，使得CK=ET，連接DK．想辦法證明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出【詳解】解：在FA上取一點T，使得FT=BF，連接ET，在CB上取一點K，使得CK=ET，連接DK．∵BF=FT，∠EFB=∠EFT=90°，EF=EF，∴△EFB≌∴EB=ET，∠B=∠ETB，∵∠ETB=∠1+∠AET，∴∠AET=∠2，∵AE=CD，∴△AET≌∴DK=AT，∴∠ETB=∠DKB，∴∠B=∠DKB，

∴DB=DK，∴BD=AT，∴AD=BT，∵BT=2BF=8∴AD=8故答案為：83【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．16．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠ACB=78°，∠ABC=60°，并且∠BAD+∠CAD=180°，則∠BDC的度數(shù)為__________．【答案】21°##21度【分析】過點D分別作BA、BC、AC的三條垂線DE、DF、DG，利用角平分線的性質(zhì)DE=DF=DG，然后再證明ΔADE≌ΔADG,ΔDGC≌ΔDFC，推出∠ADC=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，推出∠BDA=39°，從而得到∠BDC的度數(shù)．【詳解】解：過點D作DE⊥BA于點E，DF⊥BC于點F，DG⊥AC于點G，∵對角線BD平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠DBA=∠DBC=30°，DE=DF，∠BDE=∠BDF=60°，∵∠BAD+∠CAD=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠CAD=∠DAE，∴DE=DG，∴DE=DG=DF，∴ΔADE≌ΔADG,ΔDGC≌ΔDFC(HL)，∴∠ADG=∠ADE=∠CDG=∠CDF=1∴∠ADG+∠CDG=12(∠GDE+∠GDF)∵∠BDE=∠BDF=60°，∴∠EDF=120°，∴∠ADG+∠CDG=60°即∠ADC=60°，∵∠ABC=60°,∠ACB=78°，∴∠BAC=180°?60°?78°=42°，∴∠CAD=1∠BDA=180°?30°?42°?69°=39°，∴∠BDC=∠ADC?∠BDA=60°?39°=21°．故答案為：21°．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用各個知識點進(jìn)行綜合推理是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·遼寧·阜新市育才中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A(2)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A(3)求△ABC的面積；(4)在y軸上找到一點P，使點P到點B、點C距離最短，畫出圖形，寫出點P坐標(biāo)．【答案】(1)見解析，A10,2，B(2)見解析，A20,?2，B(3)S(4)畫出圖形見解析，P【分析】（1）根據(jù)題意畫出原圖形關(guān)于x對稱的圖形即可；（2）根據(jù)題意畫出原圖形關(guān)于y對稱的圖形即可；（3）根據(jù)題意求ΔABC（4）連接點B2、C，與y軸的交點即是點P，再求出點P【詳解】（1）ΔA1B1C1（2）△A2B2C2（3）S（4）如圖P【點睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠址到A，B兩村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）？(2)若要使廠址到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作出AB的垂直平分線與EF的交點即可，交點即為廠址所在位置；（2）利用軸對稱求最短路線的方法是作出A點關(guān)于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，即可得出答案．【詳解】（1）解：作出AB的垂直平分線與EF的交點M，交點M即為廠址所在位置；（2）如圖所示：作A點關(guān)于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，點N即為所求．【點睛】本題考查了作線段的垂直平分線，軸對稱求線段和最小值問題，掌握軸對稱的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2022·山東·東埠初中八年級階段練習(xí)）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，有一個以格點為頂點的△ABC．(1)請在同樣大小的網(wǎng)格中，畫出所有與△ABC成軸對稱且以格點為頂點的不同的三角形，并畫出對稱軸．（說明：每個網(wǎng)格中只畫一種情況的圖形．）(2)通過觀察（1）中完成的圖形，你有哪些數(shù)學(xué)結(jié)論？【答案】(1)見解析(2)軸對稱圖形是全等圖形，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用軸對稱圖形的性質(zhì)解決問題．【詳解】（1）圖形如圖所示：（2）軸對稱圖形是全等圖形，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分．【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)．20．（8分）（2022·貴州省三穗中學(xué)八年級期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，點D為線段AB的中點，動點P以2cm/s的速度從B點出發(fā)在射線BC上運(yùn)動，同時點Q以αcm/s（α＞0且α≠2）的速度從C點出發(fā)在線段CA上運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒．(1)若AB＝AC，P在線段BC上，求當(dāng)α為何值時，能夠使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為直角三角形？(3)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為等邊三角形？【答案】(1)2.5（cm/s）(2)出發(fā)2.5S或10S時，△BPD為直角三角形(3)當(dāng)x=5時，△BPD為等邊三角形【分析】（1）分當(dāng)△BPD≌△CQP，即BP=CQ時，當(dāng)△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ時，兩種情況討論求解即可；（2）分當(dāng)∠BPD=90°時，當(dāng)∠BDP=90°時，兩種情況討論求解即可．（3）當(dāng)BD=BP時，又∠B=60°，即2x=10，即可求解．（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，

又點P與點Q同時出發(fā)，但速度不同，∴BP≠CQ

∴當(dāng)BP=CP，BD=CQ時，△BPD≌△CQP，則2x=16-2x，解得x=4．又點D是AB的中點，∴CQ=BD=10，∴4α=10，解得α=2.5（cm/s）（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠BPD=90°時，又∠B=60°，∴∠BDP=30°∴2×2x=10,②當(dāng)∠BDP=90°時，又∠B=60°，∴∠BPD=30°∴2x=2×10，解得：x=10s∴出發(fā)2.5S或10S時，△BPD為直角三角形．（3）當(dāng)BD=BP時，又∠B=60°，△BPD為等邊三角形∴2x=10，解得x=5∴當(dāng)x=5時，△BPD為等邊三角形【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2022·廣東·中山紀(jì)念中學(xué)八年級期中）如圖1所示，直線AB交x軸于點Aa,0，交y軸于點B0,b，且a、b滿足(1)如圖1，若C的坐標(biāo)為?1,0，且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接OH，求證：∠OHP=45°；(3)如圖3，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當(dāng)M點在y軸正半軸上運(yùn)動的過程中，求SΔ【答案】(1)0,?1(2)見解析(3)1【分析】（1）由題意得出a=2，b=?2，證明△BCO≌△APOASA，得出OP=OC=1（2）過點O作OE⊥BC于點E，OF⊥AP于點F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出OE=OF，得出HO平分∠AHC，即可得出∠OHP=1（3）連接OD，證明△BOD是等腰直角三角形，得出∠BOD=45°，則∠DOM=135°=∠DAN，證明△ADN≌△ODMASA，得出S【詳解】（1）解：∵a+b2∴a+b=0，a?2=0，解得，a=2，b=?2，則OA=OB，∵C的坐標(biāo)為?1,0，∴OC=1，∵AH⊥BC，∴∠PBH+∠BPH=90°，∵∠PAO+∠OPA=90°，∠BPH=∠OPA，∴∠PBH=∠PAO，∵在△BCO和△APO中∠CBO=∠PAOOB=OA∴△BCO≌△APOASA∴OP=OC=1，∴點P坐標(biāo)為0,?1，故答案為：0,?1．（2）證明：過點O作OE⊥BC于點E，OF⊥AP于點F，如圖所示：∵△BCO≌△APO，∴OE=OF，∵OE⊥BC，OF⊥AP，∴HO平分∠AHC，∵∠AHC=90°，∴∠OHP=1（3）解：連接OD，如圖所示：∵OA=OB，∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°，∴∠DAN=135°，∵點D為AB的中點，∴OD⊥AB，OD=1∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠BOD=45°，∴∠DOM=135°=∠DAN，∵DN⊥DM，∴∠ODM+∠MDA=∠MDA+∠ADN，∴∠ADN=∠ODM，∵在△ADN和△ODM中∠DAN=∠DOMAD=OD∴△ADN≌△ODMASA∴S△ADN∴S△BDM故答案為：1．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理，本題綜合性強(qiáng)，作出輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)八年級期中）已知△ABC為等邊三角形，邊長為8，點D，E分別是邊AB,BC上的動點，以DE為邊作等邊△DEF．(1)如圖1，若點F落在邊AC上．①求證：AD=BE；②連接AE,DC交于M點，則∠CMB=__________．(2)如圖1，當(dāng)△BDE為直角三角形時，求BE(3)如圖2，當(dāng)AD=2BE時，點G為BC邊的中點，求GF的最小值．【答案】(1)①見解析；②60°(2)83或(3)2【分析】（1）①證明△ADF≌△BED，即可求證；②證明△ABE≌△CAD，可得∠BAE=∠DCA，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解；（2）當(dāng)∠BED=90°時，此時BD=2BE，進(jìn)而求得BE，當(dāng)∠BDE=90°時，此時BE=2BD，同樣求得此時的BE；（3）在BC上截取BH=BD，連接DH，證明△BDE≌△FEH，推出∠FHC=60°，CH=2FH，再證明CF平分∠ACB，得出點【詳解】（1）①證明∶∵△ABC為等邊三角形，△DEF是等邊三角形，∴∠A=∠B=60°,DF=DE,∠EDF=60°，∴∠ADF+∠AFD=180°?∠A=120°,∠ADF+∠BDE=180°?∠EDF=120°，∴∠AFD=∠BDE，∴△ADF≌△BEDAAS∴AD=BE；②解∶由①得：AD=BE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=60°,AB=AC，∴△ABE≌△CAD，∴∠BAE=∠DCA，∴∠CME=∠DCA+∠CAM=∠BAE+∠CAM=∠BAC=60°．故答案為：60°（2）解：如圖，當(dāng)∠BED=90°時，由（1）得：△ADF≌∴AD=BE，∴BD=AB?AD=8?BE，∵∠B=60∴∠BDE=90°?∠B=30°，∴BD=2BE，∴8?BE=2BE，∴BE＝BE=8如圖2，當(dāng)∠BDE=90°時，∵BD=8?AD=8?BE,∠BED=30°，∴BE=2BD，∴BE=28?BE∴BE=16綜上所述：BE=83或（3）解：如圖3，設(shè)AD=2x,BE=x，∴BD=AB?AD=8?2x，在BC上截取BH=BD，連接DH，∵∠B=60∴△BDH是等邊三角形，∴∠BDH=60°,DH=BD=BH=2x，∴CH=BC?BH=2x，∵△DEF是等邊三角形，∴DE=DF,∠EDF=60°，∴∠BDH=∠EDF，∴∠BDH?∠EDH=∠EDF?∠EDH，即：∠BDE=∠HDF，∴△BDE≌∴FH=BE=x,∠DHF=∠B=60°，∴∠FHC=180°?∠BHD?∠DHF=60°，作射線CF，如圖4，在