蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題02解題技巧專題：判定三角形全等的基本思路(原卷版+解析)

專題02解題技巧專題：判定三角形全等的基本思路類型一已知兩邊對應(yīng)相等解題思路類型二已知兩角對應(yīng)相等解題思路類型三已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路類型一已知兩邊對應(yīng)相等基本解題思路：已知兩邊對應(yīng)相等：①找夾角對應(yīng)相等（SAS）；②找第三邊對應(yīng)相等（SSS）.例題：（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，，，．(1)求證：；(2)若，AE平分，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2021·新疆·七年級期末）如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，，，．求證：．2．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室八年級期末）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度數(shù)．類型二已知兩角對應(yīng)相等基本解題思路：已知兩角對應(yīng)相等：①找夾邊對應(yīng)相等（ASA）；②找非夾邊的邊對應(yīng)相等（AAS）.例題：（2022·云南昭通·八年級期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求證：BC=BD．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南長沙·八年級期中）如圖，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求證：AB=DC．2．（2022·四川瀘州·八年級期末）已知：．求證：．類型三已知一邊一角對應(yīng)相等基本解題思路：（1）有一邊和該邊的對角對應(yīng)相等：找另一角對應(yīng)相等(AAS).（2）有一邊和改邊的領(lǐng)角對應(yīng)相等：①找夾該角的另一邊對應(yīng)相等(SAS);②找另一角對應(yīng)相等(AAS或ASA).例題：（2021·四川南充·一模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求證：AF＝DE．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在△ABC和△DCE中，，，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：△ABC≌△DCE．(2)連結(jié)AE，當(dāng)，時，求△ACE的面積．2．（2021·重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，已知，，點(diǎn)D在AC邊上，，AE和BD相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，，求∠ADB的度數(shù)．一、解答題1．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，已知，AB＝AD，BC＝CD．(1)求證：△ABC≌△ADC；(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度數(shù)．2．（2022·福建福州·八年級期末）如圖，ECFB，EC=FB，其中點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上．請給題目添上一組條件：．使得ACE≌DBF，并完成其證明過程．3．（2022·浙江臺州·八年級期末）已知：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，EC＝6，求線段BF的長度．4．（2022·湖北省直轄縣級單位·八年級期末）如圖，已知：AB＝AC，BD＝CD，E為AD上一點(diǎn)．(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度數(shù)．5．（2022·廣西崇左·八年級期末）如圖，已知，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．6．（2022·江西撫州·七年級期末）如圖所示，已知等腰中，，，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且，于E，于F．(1)試說明：；(2)若，，求EF的長度．7．（2021·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校八年級期中）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于點(diǎn)F，(1)如圖1，求證：BE＝CD．(2)如圖2，連接AF，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有的全等三角形.8．（2022·陜西西安·七年級期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，，BE平分∠ABC，交AC邊于點(diǎn)E，連接DE．(1)試說明；(2)若，，求∠DEC的度數(shù)．9．（2022·重慶南岸·七年級期末）如圖，已知．(1)與全等嗎？請說明理由：(2)請說明．10．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F．(1)求證：BE＝CG；(2)判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．專題02解題技巧專題：判定三角形全等的基本思路類型一已知兩邊對應(yīng)相等解題思路類型二已知兩角對應(yīng)相等解題思路類型三已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路類型一已知兩邊對應(yīng)相等基本解題思路：已知兩邊對應(yīng)相等：①找夾角對應(yīng)相等（SAS）；②找第三邊對應(yīng)相等（SSS）.例題：（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，，，．(1)求證：；(2)若，AE平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)35°【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，進(jìn)而證明，即可得證；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，即可求解．(1)證明：，，在與中，，；(2)解：，AE平分，，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的意義，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·新疆·七年級期末）如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，，，．求證：．【答案】證明見詳解【解析】【分析】由已知可知AF=CE，從而根據(jù)SSS判定定理可證明△ADF≌△CBE即可．【詳解】證明：∵AE=CE，∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SSS），∴∠D=∠B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等碰與性質(zhì)，掌握三角形全等判定方法與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室八年級期末）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)102°【解析】【分析】（1）證明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE，再結(jié)合AB＝CD，可得結(jié)論；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)先求解∠AFB＝102°，結(jié)合△ABF≌△CDE，可得∠CED＝∠AFB＝102°．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠ECD，∵AE＝CF，∴AE-EF＝CF-EF∴AF＝CE，又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（SAS）．(2)解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，∵△ABF≌△CDE，∴∠CED＝∠AFB＝102°．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握“利用SAS證明三角形全等”是解本題的關(guān)鍵．類型二已知兩角對應(yīng)相等基本解題思路：已知兩角對應(yīng)相等：①找夾邊對應(yīng)相等（ASA）；②找非夾邊的邊對應(yīng)相等（AAS）.例題：（2022·云南昭通·八年級期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求證：BC=BD．【答案】證明見解析．【解析】【分析】先根據(jù)“AAS”直接判定三角形全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，可以證明BC=BD．【詳解】證明：在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（AAS），∴BC=BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南長沙·八年級期中）如圖，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求證：AB=DC．【答案】證明見解析．【解析】【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=DC．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川瀘州·八年級期末）已知：．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】證明∠CAD=∠BAE；直接運(yùn)用SAS公理，證明△CAD≌△EAB，即可解決問題．【詳解】證明：如圖，∵，∴，即，∵在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中隱含的相等關(guān)系．類型三已知一邊一角對應(yīng)相等基本解題思路：（1）有一邊和該邊的對角對應(yīng)相等：找另一角對應(yīng)相等(AAS).（2）有一邊和改邊的領(lǐng)角對應(yīng)相等：①找夾該角的另一邊對應(yīng)相等(SAS);②找另一角對應(yīng)相等(AAS或ASA).例題：（2021·四川南充·一模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求證：AF＝DE．【答案】見解析【解析】【分析】利用推出，通過“邊角邊”證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明AF＝DE．【詳解】證明：，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于簡單題，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在△ABC和△DCE中，，，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：△ABC≌△DCE．(2)連結(jié)AE，當(dāng)，時，求△ACE的面積．【答案】(1)見解析(2)30【解析】【分析】（1）利用AAS可證明結(jié)論；（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，則BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面積．(1)證明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）；(2)解：由（1）得：△ABC≌△DCE，∴BC＝CE＝5，∴△ACE的面積為×12×5＝30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，已知，，點(diǎn)D在AC邊上，，AE和BD相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；（2）根據(jù)，，求出，根據(jù)，即可求出．(1)解：證明：和相交于點(diǎn)，．在和中，，．又，，．在和中，，；(2)解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定．一、解答題1．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，已知，AB＝AD，BC＝CD．(1)求證：△ABC≌△ADC；(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)100°【解析】【分析】（1）利用SSS即可證明△ABC≌△ADC；（2）首先利用三角形內(nèi)角和定理得出∠B的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案．（1）證明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）解：∵∠1＝30°，∠2＝50°，∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵△ABC≌△ADC，∴∠D＝∠B＝100°，答：∠D的度數(shù)為100°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形，靈活運(yùn)用全等三角形的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建福州·八年級期末）如圖，ECFB，EC=FB，其中點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上．請給題目添上一組條件：．使得ACE≌DBF，并完成其證明過程．【答案】AC＝DB，證明見解析．【解析】【分析】可添加條件AC＝DB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECA＝∠FBD，再根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推出即可．【詳解】解：添加的條件是AC＝DB，證明：∵EC∥FB，∴∠ECA＝∠FBD，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（SAS），故答案為：AC＝DB（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和平行線的性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等，此題是一道開放型的題目，答案不唯一．3．（2022·浙江臺州·八年級期末）已知：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，EC＝6，求線段BF的長度．【答案】(1)證明見解析(2)18【解析】【分析】（1）由AB∥DE得∠B=∠DEF，已知條件中還有AB=DE，BC=EF，可以根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF；（2）若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則EB=EC=6，所以BC=EF=12，由BF=EB+EF可以求出BF的長．(1)（1）證明：如圖，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．(2)解：∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，EC=6，∴EB=EC=6，∴BC=EB+EC=6+6=12，∴BC=EF=12，∴BF=EB+EF=6+12=18，∴線段BF的長度為18．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，找到并根據(jù)已知條件證明△ABC和△DEF全等所缺少的條件是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖北省直轄縣級單位·八年級期末）如圖，已知：AB＝AC，BD＝CD，E為AD上一點(diǎn)．(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)SSS即可證明△ABD≌△ACD；（2）只要證明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，進(jìn)而得到答案．(1)證明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；(2)解：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，在△EDB和△EDC中，，∴△EDB≌△EDC（SAS），∴∠BED＝∠CED，∵∠BED＝50°，∴∠CED＝∠BED＝50°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形題意，熟練掌握兩個三角形全等判定與性質(zhì)．5．（2022·廣西崇左·八年級期末）如圖，已知，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BEF≌△CDA即可得出結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論即可求解．(1)證明：在和中，，∴，∴．(2)解：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江西撫州·七年級期末）如圖所示，已知等腰中，，，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且，于E，于F．(1)試說明：；(2)若，，求EF的長度．【答案】(1)證明見解析(2)cm【解析】【分析】（1）證出，根據(jù)AAS可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，CE＝BF，則可得出結(jié)論；(1)證明：∵AE⊥CD于E，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，在△ACE和△CBF中，∠CAE＝∠BCF，∠AEC＝∠CFB，AC＝CB，∴△ACE≌△CBF（AAS）；(2)∵△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∴AE＝CF＝CE-EF=BF-EF，∵AE=2cm，BF=6cm，∴EF=4cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2021·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校八年級期中）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于點(diǎn)F，(1)如圖1，求證：BE＝CD．(2)如圖2，連接AF，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有的全等三角形.【答案】(1)證明見解析(2)△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF【解析】【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（AAS），即可作答；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，先證明△BEF≌△DCF（ASA），即可得到△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS），即可求解．(1)證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°=∠BEF＝∠CDF=90°，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AE＝AD，∵AC＝AB，∴AC﹣AD＝AB﹣AE，即BE＝DC；(2)由（1）可知△ABD≌△ACE，BE＝DC，∴∠B＝∠C，AE＝AD，又∵∠BEF＝∠CDF=90°，BE＝DC，∴△BEF≌△DCF（ASA），∴BF＝CF，EF＝DF，又∵AE=AD，∠AEF＝∠ADF=90°，AB=AC，∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS）．則總的全等三角形有：△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的知識，掌握AAS、ASA、SSS、SAS等證明全等三角形的方法是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·陜西西安·七年級期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，，BE平分∠ABC，交AC邊于點(diǎn)E，連接DE．(1)試說明；(2)若，，求∠DEC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)平分，可得，即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，可得出，再由三角形內(nèi)角和為180°，即可求解．(1)解：∵BE平分∠ABC，∴．∵，∴．(2)∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·重慶南岸·七年級期末）如圖，已知．(1)與全等嗎？請說明理由：(2)請說明．【答案】(1)△ABM≌△AND，理由見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）由S