空間向量運算的坐標(biāo)表示高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一章

空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

1.3.2

空間向量運算的坐標(biāo)表示一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)會求出空間向量的坐標(biāo)空間向量垂直，平行及模長的坐標(biāo)表示及應(yīng)用運用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何問題學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧回憶上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些知識？1.空間直角坐標(biāo)系的概念.2.空間點的坐標(biāo).3.空間向量的坐標(biāo).新課導(dǎo)入

前面我們通過引入空間直角坐標(biāo)系，將空間向量的坐標(biāo)與空間點的坐標(biāo)一一對應(yīng)起來.那么有了空間向量的坐標(biāo)表示，類比平面向量的坐標(biāo)運算，是否可以探究出空間向量運算的坐標(biāo)表示并給出證明？新知探究問題1

你能類比平面向量的坐標(biāo)運算，類比出空間向量的坐標(biāo)運算？平面向量的坐標(biāo)運算類比空間向量的坐標(biāo)運算你能證明嗎？新知探究

下面證明：空間向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示設(shè)為空間的一個單位正交基底,則：所以,得到利用向量數(shù)量積的分配律以及

由上述結(jié)論可知，空間向量運算的坐標(biāo)表示與平面向量運算的坐標(biāo)表示是完全一致的．新知探究問題2

我們回憶下平面向量的坐標(biāo)表示證明平行、垂直，求取模長、角度等問題。類比到空間向量中，是否有類似的公式？平面向量坐標(biāo)運算已知,則當(dāng)時類比空間向量坐標(biāo)運算已知,則當(dāng)時鞏固練習(xí)課本P211.已知求:2.已知求x的值.OP2P1新知探究問題3

你能利用空間向量運算的坐標(biāo)表示推導(dǎo)空間兩點間的距離公式嗎?如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)是空間中任意兩點，則于是所以——空間兩點間的距離公式

將空間向量的運算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來，不僅可以解決夾角和距離的計算問題，而且可以使一些問題的解決變得簡單.典例解析例2

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是BB1,

D1B1的中點，求證：EF⊥DA1.

OADCBA1D1C1B1EF證明：問題4

你能從例2的解答過程中體會到根據(jù)問題的特點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量表示相關(guān)元素，并通過向量及其坐標(biāo)的運算求解問題的基本思路嗎？新知探究建系表示運算定結(jié)果

建立恰當(dāng)坐標(biāo)系

用向量表示元素

進(jìn)行向量坐標(biāo)運算

由運算結(jié)果定結(jié)論ADCBA1D1C1B1E1F1M典例解析例3

如圖示，在棱長為1的正方體ABCD

–A1B1C1D1中，M為BC1的中點，E1,F1分別在棱A1B1,C1D1上，(1)求AM的長.

(2)求BE1與DF1所成角的余弦值.ADCBA1D1C1B1E1F1M典例解析例3

如圖示，在棱長為1的正方體ABCD

–A1B1C1D1中，M為BC1的中點，E1,F1分別在棱A1B1,C1D1上，(1)求AM的長.

(2)求BE1與DF1所成角的余弦值.鞏固練習(xí)課本P213.在z軸上求一點M，使點M到點A(1,0,2)與點B(1,-3,1)的距離相等.鞏固練習(xí)課本P214.如圖,正方體OABC-D'A'B'C'的棱長為a,點N,M分別在AC,BC'上,AN=2CN，BM=2MC',求MN的長.AOCBA'D'C'B'MN鞏固練習(xí)課本P21

5.如圖，在正方體ABCD

–A1B1C1D1中，M是AB的中點，求DB1與CM所成角的余弦值.ADCBA1D1C1B1M課堂達(dá)標(biāo)1.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

，則AB1與BC1所成角的大小為().(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°ACBA1C1B1xOyzB課堂達(dá)標(biāo)

C

課堂達(dá)標(biāo)3.若A(-1,2,3)，B(2,1,4)，C(m,n,1)三點共線，則m+n的值為______.

-3課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)會了哪些主要內(nèi)容？1.空間向量運算的坐標(biāo)表示