專題03 尺規(guī)作圖與一般作圖問題（解析版）

專題03尺規(guī)作圖與一般作圖問題目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01作一條線段等于已知線段 1題型02作一個(gè)角等于已知角 6題型03作一個(gè)角的平分線 8題型04作一條線段的垂直平分線 11題型05過一點(diǎn)作已知直線的垂線 14中考練場 17 題型01作一條線段等于已知線段【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一條線段等于已知線段OAP（1）畫射線OP（2）在射線OP上截取OA=a圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑【典例分析】例1.（2023·廣東模擬）如圖，已知∠MAN，點(diǎn)B在射線AM上．(1)尺規(guī)作圖：①在AN上取一點(diǎn)C，使BC=BA；②作∠MBC的平分線BD.(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，求證：BD//AN．【答案】(1)解：①如圖，點(diǎn)C為所作；

②如圖，BD為所作；

(2)證明：∵AB=BC，

∴∠A=∠BCA，

∵BD平分∠MBC，

∴∠MBD=∠CBD，

∵∠MBC=∠A+∠BCA，

即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，

∴∠MBD=∠A，

∴BD//AN．

【解析】本題考查了作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角的角平分線，平行線的判定．

(1)①以B點(diǎn)為圓心，BA為半徑畫弧交AN于C點(diǎn)；

②利用基本作圖作BD平分∠MBC即可；

(2)先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠A=∠BCA，再利用角平分線的定義得到∠MBD=∠CBD，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠MBD=∠A，最后利用平行線的判定得到結(jié)論．例2.（2023·全國）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°．

(1)在斜邊AC上求作線段AO，使AO=BC，連接OB；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)

(2)若OB=2，求AB的長．【答案】解：(1)所作線段AO如圖所示：

(2)∵∠A=30°，∠ABC=90°，

∴AC=2BC，

∵AO=BC，

∴AC=2AO，

∴OC=AO，即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，

∵OB=2，

∴AC=2OB=4，

∴BC=2，

∴AB=AC【解析】(1)以A為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)O，則問題可求解；

(2)根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得AC=2BC，則有OC=AO，進(jìn)而問題可求解．

本題主要考查了含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1.（2023·江蘇模擬）如圖，P為∠AOB外一點(diǎn)，用兩種不同的方法過點(diǎn)P作直線l交OA，OB于點(diǎn)M，N，使得PM=MN.(要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)【答案】解：如圖1，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點(diǎn)，再作∠ODN=∠POD交OB于N點(diǎn)，則過PN的直線為l，直線所以直線l為所作；如圖2，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點(diǎn)，再在OB上截取ON=PD，則過PN的直線為l，直線l交OA所以直線l為所作．

【解析】如圖1，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點(diǎn)，再作∠ODN=∠POD交OB于N點(diǎn)，于是可證明四邊形OPDN為平行四邊形，連接PN交如圖2，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點(diǎn)，再在OB上截取ON=PD，則可證明四邊形OPDN為平行四邊形，連接PN交OA于本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．2.（2024·云南模擬）有這樣一個(gè)作圖題目：畫一個(gè)平行四邊形ABCD，使AB=3cm，BC=2cm，AC=4cm．

下面是小紅同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．

作法：如圖，

①作線段AB=3cm，

②以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；

③再以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；

④連結(jié)AD，BC，CD．

所以四邊形ABCD即為所求作平行四邊形．

根據(jù)小紅設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下列證明．

證明：

∵以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，

∴BC=______cm，AC=______cm．

∵以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，

∴CD=3cm.AD=2cm．

又∵AB=3cm，

∴AB=CD，AD=______．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(______)(填推理依據(jù))．【答案】(1)解：四邊形ABCD即為所求．

(2)2

4

BC

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

【解析】解：(1)見答案；

(2)∵以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，

∴BC=2cm，AC=4cm．

∵以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，

∴CD=3cm.AD=2cm．

又∵AB=3cm，

∴AB=CD，AD=BC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．

故答案為：2，4，BC，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

(1)根據(jù)要求畫出圖形即可．

(2)根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形證明即可．

本題考查作圖?復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．題型02作一個(gè)角等于已知角【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一個(gè)角等于已知角以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C,D畫一條射線PO，以點(diǎn)P為圓心，OC長為半徑畫弧，交PO于點(diǎn)C′以P為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D′過點(diǎn)P、P畫射線PB′，則∠B′PO=∠BOC三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線【典例分析】例1.（2023·廣東模擬）作圖與計(jì)算．(1)已知：如圖，∠α，∠AOB．求作：以O(shè)A為一邊，在∠AOB的內(nèi)部作∠AOC=∠α(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)過點(diǎn)O分別引射線OA，OB，OC，且∠AOB=65°，∠BOC=30°，求∠AOC的度數(shù)．【答案】解：(1)如圖所示，∠AOC即為所求．(2)當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，∠AOC=∠AOB?∠BOC=65°?30°=35°；

當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65°+30°=95°.

綜上，∠AOC的度數(shù)為35°或95°．

【解析】解：(1)如圖所示，∠AOC即為所求．(2)當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，∠AOC=∠AOB?∠BOC=65°?30°=35°；

當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65°+30°=95°.

綜上，∠AOC的度數(shù)為35°或95°．【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，點(diǎn)M在∠AOB的邊OB上．

(1)過點(diǎn)M畫線段MC⊥AO，垂足是C；

(2)過點(diǎn)C作∠ACF=∠O.(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)【答案】解：(1)如圖，MC為所作；

(2)如圖，∠ACF為所作．

【解析】(1)利用基本作圖(過一點(diǎn)作已知直線的垂線)作CM⊥OA于C；

(2)利用基本作圖(作一個(gè)角等于已知角)作∠ACF=∠O．

本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線．題型03作一個(gè)角的平分線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一個(gè)角的平分線步驟：1.以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M；2.分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，相交于點(diǎn)P；3.畫射線OP,OP即為所求角平分線三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線【典例分析】例1.（2023·河南）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=AB．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE.求證：DE=BE．【答案】(1)解：如圖所示，即為所求，

(2)證明：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠DAE，

在△BAE和△DAE中

AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE,

∴△BAE≌△DAE(SAS)，

∴DE=BE【解析】(1)利用角平分線的作圖步驟作圖即可；

(2)證明△BAE≌△DAE(SAS)，即可得出結(jié)論．

本題考查了尺規(guī)作圖的基本作圖平分已知角的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．【變式演練】1..（2023·寧夏模擬）如圖，AE/?/BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C．(1)作∠ABF的平分線交AE于點(diǎn)D(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；(2)根據(jù)(1)中作圖，連接CD，求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】(1)解：如圖，BD即為∠ABF的平分線；

(2)證明：∵AE//BF，∴∠DAC=∠ACB．∵AC平分∠BAE，∴∠DAC=∠BAC，∴∠ACB=∠BAC，∴AB=BC．同理可證，AB=AD，∴AD=BC．又∵AD//BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖、菱形的判定、平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定定理．

(1)根據(jù)角平分線的作法即可作∠ABF的平分線BD；

(2)根據(jù)菱形的判定定理：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判斷四邊形ABCD是菱形．2.（2023·廣東模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的前提下，若AD=10，求CD的長度．【答案】解：(1)如圖所示：

BD即為所求作的圖形．

(2)如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵∠C=90°，∴DC⊥BC，

∵BD平分∠CBA，

∴DC=DE，

∵Rt△ADE中，∠A=30°，AD=10，

∴DE=12AD=5，

∴CD=5．

答：CD的長度為5【解析】(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D即可；

(2)在(1)的前提下，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和30度角所對直角邊等于斜邊一半，AD=10，即可求CD的長度．

本題考查了作圖?基本作圖、角平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)．題型04作一條線段的垂直平分線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)4.作一條垂直平分線1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線【典例分析】例1．（2023·陜西）如圖，已知銳角△ABC，∠B=48°.請用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使PB=PC，且∠PBC=24°.(保留作圖痕跡，不寫作法)

【答案】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．

【解析】先作∠ABC的平分線BD，再作BC的垂直平分線l，直線l交BD于P點(diǎn)，則P點(diǎn)滿足條件．

本題考查了作圖?復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式演練】1.（2023·廣西模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．(1)尺規(guī)作圖；作對角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡)；(2)若直線MN分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是菱形．【答案】(1)解：如圖，直線MN即為所求；

(2)證明：設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O，

由作圖可知，EF垂直平分線段AC，

∴OA=OC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE//CF，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中

∵∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE【解析】本題考查作圖?基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．

(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可．2.（2023·寧夏模擬）如圖，AD是△ABC的角平分線．

(1)作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；(用直尺和圓規(guī)作圖，標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法．)(2)連接DE、DF，求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】解：(1)如圖，直線EF即為所求．

(2)∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠AOE=∠AOF=90°，AO=AO，

∴△AOE≌△AOF(ASA)，

∴AE=AF，

∵EF垂直平分線段AD，

∴EA=ED，F(xiàn)A=FD，

∴EA=ED=DF=AF，

∴四邊形AEDF是菱形．

【解析】本題考查作圖?基本作圖，線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．

(1)利用尺規(guī)作線段AD的垂直平分線即可．

(2)利用三角形全等的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，再根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證明．題型05過一點(diǎn)作已知直線的垂線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)5.過一個(gè)點(diǎn)作已知直線的垂線點(diǎn)在直線上以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P、C；作直線PC，直線PC即為所求作的垂線等腰三角形“三線合一”；兩點(diǎn)確定一條直線點(diǎn)在直線外在直線另一側(cè)去點(diǎn)M；以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；作直線PQ，直線PQ即為所求作的垂線【典例分析】例1．（2023·湖北模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．⑴過點(diǎn)E作CD的垂線，垂足為點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；⑵根據(jù)(1)中作圖，連接DF，若AC=BC，求證：四邊形DECF是菱形．【答案】解：(1)如圖，

EF即為所求．

(2)∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，

∴∠ACD=∠BCD，CD⊥AB．

∵E是AC的中點(diǎn)

∴DE/?/BC，DE=AE=CE．

∴∠DEF=∠EFC．

∵EF⊥CD，DE=CE，

∴∠DEF=∠CEF．

∴∠EFC=∠CEF．

∴CE=CF．

∴DE=CF．

∴四邊形DECF是平行四邊形．

∴四邊形DECF是菱形．

【解析】本題主要考查的是尺規(guī)作圖，菱形的判定，難度適中；

(1)先以E點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長度為半徑畫弧，與CD交于兩點(diǎn)，再分別以交點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，連接交點(diǎn)和E點(diǎn)，即可；

(2)先證四邊形DECF是平行四邊形，再證菱形；【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°.以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑作圓，延長BA交⊙C于點(diǎn)D．

(1)請?jiān)趫D中作出點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)C1；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，連接C1D，證明：直線C1D與【答案】(1)解：過點(diǎn)C作BD的垂線，交BD于點(diǎn)E，再以點(diǎn)E為圓心，CE的長為半徑畫弧，交CE的延長線于點(diǎn)C1．

如圖，點(diǎn)C1即為所求．

(2)證明：連接CD，

∵點(diǎn)C與點(diǎn)C1關(guān)于直線BD的對稱，

即BD為線段CC1的垂直平分線，

∴CD=C1D，DE⊥CC1，

∴△CDC1為等腰三角形，

∴∠CDE=∠C1DE，

∵AB=AC，∠B=22.5°，

∴∠ACB=∠B=22.5°，

∴∠CAD=∠B+∠ACB=45°，

在⊙C中，CA=CD，

∴∠ADC=∠CAD=45°，

∴∠CDE=∠C1DE=45°【解析】(1)過點(diǎn)C作BD的垂線，交BD于點(diǎn)E，再以點(diǎn)E為圓心，CE的長為半徑畫弧，交CE的延長線于點(diǎn)C1．

(2)連接CD，由(1)可得，BD為線段CC1的垂直平分線，進(jìn)而可得∠CDE=∠C1DE，由∠CAD=∠B+∠ACB=45°，則∠ADC=45°，即可得1.（2023·廣東）在所給的圖形中，根據(jù)以下步驟完成作圖：

(1)尺規(guī)作圖：在線段AD的延長線上截取DE=AD；

(2)連接BE，交線段CD于點(diǎn)F；

(3)作射線AF，交線段BC的延長線于點(diǎn)G．

【答案】解：(1)如圖，DE為所作；

(2)如圖；

(3)如圖，射線AF為所作．

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖?基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了直線、射線和線段的畫法．

(1)(2)(3)根據(jù)題中的幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形即可．

2.（2022·陜西）如圖，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC=45°.(保留作圖痕跡．不寫作法)

【答案】解：如圖，∠PBC即為所求．

【解析】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，熟練掌握作一個(gè)角等于已知角的作圖步驟作圖即可．

根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作圖步驟作圖，作∠PBC=∠C即可．3.（2021·四川）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．

(1)尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．

①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；

②過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E．

(2)在(1)作出的圖形中，求DE的長．【答案】解：(1)如圖，DE為所作；

(2)∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=12∠ACB=45°，

∵DE⊥BC，

∴△CDE為等腰直角三角形，

∴DE=CE，

∵DE/?/AC，

∴△BDE∽△BAC，

∴DEAC=BEBC【解析】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

(1)利用基本作圖，先畫出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；

(2)利用CD平分∠ACB得到∠BCD=45°，再判斷△CDE為等腰直角三角形，所以DE=CE，然后證明△BDE∽△BAC，從而利用相似比計(jì)算出DE．4.（2021·山東）如圖，已知△ABC.求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，并且圓心O在∠A的平分線上．

【答案】解：根據(jù)題意可知，先作∠A的平分線AM，再作線段BC的垂直平分線GH，AM，GH相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑，作⊙O，如圖所示：

【解析】此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確掌握角平分線和垂直平分線的作法是解題關(guān)鍵．作出∠A的平分線和線段BC的垂直平分線，找到它們的交點(diǎn)，即為圓心O，再以O(shè)B為半徑畫出⊙O即可．5.（2020·福建）如圖△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點(diǎn)；并證明AP=AQ。(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

【答案】解：BQ就是所求的∠ABC的平分線，P、Q就是所求作的點(diǎn)．

證明：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BPD+∠PBD=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠AQP+∠ABQ=90°．

∵∠ABQ=∠PBD，

∴∠BPD=∠AQP．

∵∠BPD=∠APQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴AP=AQ．

【解析】本題考查的是作圖?基本作圖，熟知角平分線的作法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出BQ即可.先根據(jù)垂直的定義得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°.再根據(jù)余角的定義得出∠AQP+∠ABQ=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，據(jù)此可得出結(jié)論．6.（2019·江蘇）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8．

(1)用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)若(1)中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長．

【答案】解：(1)如圖直線MN即為所求．

(2)∵M(jìn)N垂直平分線段AB，

∴DA=DB，設(shè)DA=DB=x，

在Rt△ACD中，∵AD2=AC2+CD2，

∴x2【解析】本題考查作圖?基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確做出圖形是解題的關(guān)鍵．

(1)分別以A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN即可．

(2)設(shè)AD=BD=x，在7.（2020·廣東