考點04 一次函數(shù)應(yīng)用（解析版）

考點四一次函數(shù)應(yīng)用知識點整合一、一次函數(shù)的實際應(yīng)用1．主要題型：（1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達式；（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實際問題的最值等．2．用一次函數(shù)解決實際問題的一般步驟為：（1）設(shè)定實際問題中的自變量與因變量；（2）通過列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；（3）確定自變量的取值范圍；（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；（5）檢驗所求解是否符合實際意義；（6）答．3．方案最值問題：對于求方案問題，通常涉及兩個相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過列不等式，求解出某一個事物的取值范圍，再根據(jù)另一個事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案．4．方法技巧求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：（1）可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計算出每個分段函數(shù)的取值，再進行比較．顯然，第（2）種方法更簡單快捷．考向一一次函數(shù)的應(yīng)用一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達式→確定函數(shù)增減性→根據(jù)自變量的取值范圍確定最值．典例引領(lǐng)1．2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生6.2級地震，造成嚴重的人員傷亡和財產(chǎn)損失．為支援災(zāi)區(qū)的災(zāi)后重建，甲、乙兩縣分別籌集了水泥200噸和300噸支援災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需要調(diào)往災(zāi)區(qū)A鎮(zhèn)100噸，調(diào)往災(zāi)區(qū)B鎮(zhèn)400噸．已知從甲縣調(diào)運一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運費分別為40元和80元；從乙縣調(diào)運一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運費分別為30元和50元．(1)設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，求總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？【答案】(1)(2)總運費最低的調(diào)運方案是從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥0噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸．，最低運費是元．【分析】（1）設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，再根據(jù)每噸的運費列出總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍，求出最低的調(diào)運方案及最低運費即可；本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式組的實際應(yīng)用問題，用x表示運往各地的噸數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，

則總費用

整理得：

∵，解得，即總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）∵，∴y隨x的增大而減小∵，∴當時，最低運費為：，此時從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥0噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸．答：總運費最低的調(diào)運方案是從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥0噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸．，最低運費是元．2．河南新密伏羲山小馬高原風景秀麗，成為新晉河南打卡景區(qū)，景區(qū)為旅游旺季的到來做物資準備，需要購買A、B兩種型號的帳篷．若購買種型號帳篷2頂和種型號帳篷4頂，則需5200元；若購買種型號帳篷3頂和種型號帳篷1頂，則需2800元．(1)求每頂種型號帳篷和每頂種型號帳篷的價格；(2)若該景區(qū)需要購買A、B兩種型號的帳篷共70頂（兩種型號的帳篷均需購買），且購買A種型號帳篷數(shù)量不超過購買種型號帳篷數(shù)量的，為使購買帳篷的總費用最低，應(yīng)購買種型號帳篷和種型號帳篷各多少頂？【答案】(1)每頂A種型號帳篷600元，每頂B種型號帳篷1000元；(2)購買種型號帳篷17頂，購買種型號帳篷55頂．【分析】本題考查二元一次方程組和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組和函數(shù)關(guān)系式．（1）設(shè)每頂種型號帳篷元，每頂種型號帳篷元，根據(jù)若購買種型號帳篷2頂和種型號帳篷4頂，則需5200元；若購買種型號帳篷3頂和種型號帳篷1頂，則需2800元列得二元一次方程組，即可解得答案；（2）設(shè)購買種型號帳篷頂，總費用為元，由購買種型號帳篷數(shù)量不超過購買種型號帳篷數(shù)量的，可得，而，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)每頂種型號帳篷元，每頂種型號帳篷元，根據(jù)題意得：，解得：，每頂種型號帳篷600元，每頂種型號帳篷1000元；（2）解：設(shè)購買種型號帳篷頂，總費用為元，則購買種型號帳篷頂，購買種型號帳篷數(shù)量不超過購買種型號帳篷數(shù)量的，，解得，根據(jù)題意得：，，隨的增大而減小，當時，取最小值，最小值為（元，，答：購買種型號帳篷17頂，購買種型號帳篷55頂．3．年月日凌晨，甘肅省積石山發(fā)生級地震，牽動全國人民的心！習近平總書記第一時間作出重要指示，要求全力開展搜教，盡最大努力保障人民群眾生命財產(chǎn)安全．王阿姨一家也想為災(zāi)區(qū)盡自己的一份力，于是她與丈夫決定開車前往外的災(zāi)區(qū)進行支援，如圖表示王阿姨離家的距離（千米）與離開家的時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系，請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)求圖中段與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求王阿姨與丈夫離開家多久后，離家的距離為千米？【答案】(1)；(2)王阿姨與丈夫離開家小時后，離家的距離為千米．【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）把代入（）中所求的函數(shù)解析式計算即可求解；本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)圖中段與之間的函數(shù)關(guān)系式為，∵圖象經(jīng)過、兩點，∴，解得，∴圖中段與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：當時，，解得，∴王阿姨與丈夫離開家小時后，離家的距離為千米．4．如圖，在平面直角坐標系中，，．(1)求直線的函數(shù)表達式：(2)點在線段上，過點作軸交軸于點，過點作交軸于點，若，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)過，設(shè)一次函數(shù)解析式為，再將代入解析式求解，即可解題．（2）本題考查一次函數(shù)的幾何綜合，以及平行四邊形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意證明四邊形為平行四邊形，得到，再將的長代入解析式，即可解題．【詳解】（1）解：一次函數(shù)過，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將代入中，有，解得，直線的函數(shù)表達式為：．（2）解：軸，，四邊形為平行四邊形，，，即的縱坐標為，將代入中，有，解得，的坐標為．5．某種機器油箱容量為，工作前先將空油箱加滿，然后停止加油立即開始工作，下表記錄了整個過程60分鐘內(nèi)5個時刻的油箱里的油量，其中（單位：L）表示油箱里的油量，（單位：）表示時間．1020405060302515105(1)在平面直角坐標系中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)點，再選出最符合實際的函數(shù)模型，求出機器工作時關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．(2)求出油箱中油量為時的值．【答案】(1)描點見解析，；(2)或．．【分析】（1）按照題意描點，根據(jù)描的點可知最符合實際的函數(shù)模型是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍即可；（2）求出加油過程中油箱中油量與時間的函數(shù)關(guān)系式，再求出時，自變量x的值，求出工作過程中時，自變量x的值，即可得到答案．此題考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形集合和分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：描點如下：根據(jù)平面直角坐標系中描出的點，可知最符合實際的函數(shù)模型是一次函數(shù)，且，設(shè)一次函數(shù)解析式是，把點代入得，，解得，∴一次函數(shù)解析式是，當時，，當時，，當時，，可見機器工作時關(guān)于的函數(shù)解析式為，自變量的取值范圍是；（2）工作前先將空油箱加滿，由圖象可知油箱中的油量是時間的正比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為，把點代入得，，解得，∴,當加油過程中，時，，解得，工作過程中，，當時，，解得，綜上可知，油箱中油量為時的值為或．變式拓展6．為響應(yīng)政府低碳生活，綠色出行的號召，某公交公司決定購買一批節(jié)能環(huán)保的新能源公交車，計劃購買型和型兩種公交車，其中每輛的價格、年載客量如表：型型價格（萬元/輛）年載客量（萬人/年）60100若購買型公交車1輛，型公交車2輛，共需400萬元；若購買型公交車2輛，型公交車1輛，共需350萬元．(1)求，的值；(2)計劃購買型和型兩種公交車共10輛，如果該公司購買型和型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案?(3)在（2）的條件下，請用一次函數(shù)的性質(zhì)說明哪種方案使得購車總費用最少?最少費用是多少萬元?【答案】(1)的值為100，的值為150；(2)有4購買方案(3)購車總費用最少的方案是購買型公交車9輛，購買型公交車1輛，購車總費用為1050萬元【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；正確列出函數(shù)解析式．（1）利用總價單價數(shù)量，結(jié)合“購買型公交車1輛，型公交車2輛，共需400萬元；若購買型公交車2輛，型公交車1輛，共需350萬元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買型公交車輛，則購買型公交車輛，根據(jù)“購買型和型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)，即可得出的值，得出購買方案；（3）設(shè)購車總費用為萬元，根據(jù)總費用=購買兩種公交車費用之和列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)得出最值．【詳解】（1）解：依題意得：，解得：，答：的值為100，的值為150；（2）解：設(shè)購買型公交車輛，則購買型公交車輛，依題意得：解得：又為整數(shù)有4購買方案；（3）解：設(shè)購車總費用為萬元，則，（且為整數(shù)），隨的增大而減小當時，最小，最小值為（元），購車總費用最少的方案是購買型公交車9輛，購買型公交車1輛，購車總費用為1050萬元．7．2022年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費12元/噸，建筑垃圾處理費10元/噸的收費標準，共支付餐廚和建筑垃圾處理費3400元，從2023年元月起，收費標準上調(diào)為：餐廚垃圾處理費40元/噸，建筑垃圾處理費20元/噸．若該企業(yè)2023年處理的這兩種垃圾數(shù)量與2022年相比沒有變化，就要多支付垃圾處理費6600元．(1)該企業(yè)2023年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸？(2)該企業(yè)計劃2023年將上述兩種垃圾處理總量減少到240噸，且建筑垃圾處理量不超過餐廚垃圾處理量的3倍，則2023年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費共多少元？【答案】(1)餐廚垃圾，建筑垃圾(2)該企業(yè)2023年最少需要支付6000元垃圾處理費【分析】本題主要考查了二元一次方程組以及一元一次不等式，找準等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)餐廚垃圾x噸，建筑垃圾y噸，根據(jù)題意列方程組計算即可；（2）設(shè)餐廚垃圾a噸，則建筑垃圾噸，根據(jù)題意進行計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)餐廚垃圾x噸，建筑垃圾y噸，，解得，答：餐廚垃圾，建筑垃圾；（2）解：設(shè)餐廚垃圾a噸，則建筑垃圾噸，，，，總費用，當時總費用T最少，，答：該企業(yè)2023年最少需要支付6000元垃圾處理費．8．甲、乙兩人參加全程7.5千米的“徐馬歡樂跑”，已知他們參賽時各自的路程（千米）與時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系分別如圖所示．下面是甲、乙兩人的對話：甲：我前面跑得有點快了，在距離起點___________①___________千米的補給站休息了___________②___________分鐘，我的成績是___________③___________分鐘．乙：我在補給站見到你了，我的成績是___________④___________分鐘．根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)填空：①___________，②___________，③___________，④___________；(2)已知甲、乙兩人于上午7：50起跑，則兩人何時在補給站相遇？(3)當乙抵達終點時，甲距離終點還有多少千米？【答案】(1)5，15，70，60(2)8：30(3)1千米【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：（1）根據(jù)圖象提供的信息進行解答即可；（2）求出乙行駛5千米所用時間即可；（3）運用待定系數(shù)法求出線段所在直線函數(shù)解析式，求出乙抵達終點時，甲行駛的距離即可解決問題．【詳解】（1）解：根據(jù)圖象可得：甲在距離起點5千米的補給站休息了分鐘，他的成績是70分鐘到達終點；乙的成績是60分鐘到達終點．故答案為：5；15；70；60；（2）解：設(shè)直線的解析式為，把點代入得，，解得，∴直線的解析式為，當時，（分鐘），所以，兩人在補給站相遇；（3）解：由圖象得，，設(shè)所在直線函數(shù)解析式為，把代入得，，解得，，∴所在直線函數(shù)解析式為，當時，，所以，當乙抵達終點時，甲距離終點的距離為：（千米），因此，當乙抵達終點時，甲距離終點的距離還有1千米9．如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，點C在直線上，坐標為，直線過點C且與y軸交于點D（D在B點上方），與x軸交于點E．的面積是5．(1)求m的值；(2)求直線的表達式；(3)求的面積．【答案】(1)(2)的表達式為(3)【分析】本題考查一次函數(shù)幾何問題；（1）把點C代入直線即可求解；（2）由（1）可得點C，根據(jù)的面積可求出點D坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；（3）由，即可求出點A，E坐標，即可求解．【詳解】（1）解：∵點C在直線上，坐標為，∴，解得：；（2）解：由（1）得：∴，∵直線與y軸分別交于B點，令，∴，∴，∴∵的面積是5．∴，解得：，∴，設(shè)的表達式為，把，代入得：，解得，∴的表達式為；（3）解：由（2）得：的表達式為令，解得：，∴，∵直線令，∴，∴，∴，∵，∴10．小王經(jīng)營著一家手機店，代理銷售一款A(yù)型號的手機，這款手機今年的售價與去年的售價相比，每部手機降價了500元．已知這款手機今年的銷量與去年的銷量相同，去年這款手機的銷售額為8萬元，今年這款手機的銷售額為6萬元．(1)每部A型號手機今年的售價是多少元？(2)為了提高利潤，小王計劃明年同時購進B型號的手機進行銷售．預(yù)計明年A型號手機的進價為每部1000元，B型號手機的進價為每部800元，小王打算購進這兩款手機共20部，總進價不多于18400元，但也不少于17600元，那么小王有多少種進貨方案？(3)小王明年的銷售策略是：A型號手機繼續(xù)按今年的售價銷售，而B型號手機的售價定為每部1400元，且B型號手機每售出一部，則返還顧客現(xiàn)金元．假設(shè)所購進的手