重點突圍：專題05 平行四邊形的判定與性質(zhì)（解析版）-人教八下期中綜合復習

八年級數(shù)學下冊期中期末綜合復習專題提優(yōu)訓練（人教版）專題05平行四邊形的判定與性質(zhì)【典型例題】1．（2022·黑龍江肇源·八年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，AB的中點，點F是CB延長線上的一點，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四邊形DEFB的周長．【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形DEFB的周長＝【解析】【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，BC＝2DE，再證DE＝BF，即可得出四邊形DEFB是平行四邊形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四邊形DEFB是平行四邊形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．【詳解】（1）證明：∵點D，E分別是AC，AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE//BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四邊形DEFB是平行四邊形；（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四邊形DEFB是平行四邊形，∴BD＝EF，∵D是AC的中點，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm），∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝10（cm），∴平行四邊形DEFB的周長＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形DEFB為平行四邊形是解題的關鍵．【專題訓練】選擇題1．（2022·山東安丘·八年級期末）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在線段BC的延長線上，若∠DCE＝128°，則∠A＝（）A．32° B．42° C．52° D．62°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的外角的度數(shù)求得其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)，然后求得其對角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠DCE=128°，∴∠DCB=180°-∠DCE=180°-128°=52°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠DCB=52°，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平角的定義，熟記平行四邊形的各種性質(zhì)是解題關鍵．平行四邊形對邊平行且相等；平行四邊形對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．2．（2022·山東龍口·八年級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，兩對角線交于點O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，則對角線BD的長為（

）A．cm B．8cm C．3cm D．cm【答案】D【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求的長，進而可求出的長．【詳解】解：的對角線與相交于點，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．3．（2021·山東·寧津縣教育和體育局教育科學研究所二模）如圖，直線EF過平行四邊形ABCD對角線的交點O，分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是平行四邊形ABCD面積的（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，證出△AOE和△COF全等，△AOB和△COD全等，得到面積相等，即可得到選項．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE＝S△COF，在△COB和△AOD中，，∴△COB≌△AOD（SAS），∴S△AOD＝S△BOC，同理S△AOB＝S△DOC∵OB＝OD，∴S△AOB＝S△DOC，∴陰影部分的面積是S△AOE+S△DOF＝S△DOC＝S平行四邊形ABCD．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解此題的關鍵是證明△AOE≌△COF．4．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，連接CE，若△CDE的周長為8，則?ABCD的周長為（

）A．8 B．10 C．16 D．20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，可得AE=CE，又由CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，繼而可得ABCD的周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥AC，∴OE是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，∵△CDE的周長為8，∴CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，∴平行四邊形ABCD的周長為2(AD+CD)=16．故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，關鍵是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進行分析．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．5．（2022·福建泉港·八年級期末）如圖，點E、F分別是?ABCD邊AD、BC的中點，G、H是對角線BD上的兩點，且BG=DH．則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．四邊形EGFH是平行四邊形C． D．【答案】D【解析】【分析】連接EF交BD于O，易證四邊形EGFH是平行四邊形，然后證明是否得出選項．【詳解】解：連接EF交BD于點O，在平行四邊形ABCD中，AD=BC，∠EDH=∠FBG，∵E、F分別是AD、BC邊的中點，∴DE=BF=BC，∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，∴△EDO≌△FBO，∴EO=FO，DO=BO，∵BG=DH，∴OH=OG，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∴GF=EH，EG=HF，故選項A、B、C正確；∵∠EHG不一定等于90°，∴EH⊥BD不正確，故選項D不正確；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△EDO≌△FBO是解題的關鍵．6．（2022·安徽廬江·九年級期末）如圖①，在?ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動，設點P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y，y是x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的a值為（）A．3 B．4 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】由圖②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通過解直角三角形，求出△CBD高，進而求解．【詳解】解：由圖②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，過點B作BH⊥DC于點H，設CH=x，則DH=8-x，則BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，解得：則：，則，故選：A．【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解．二、填空題7．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC，與AD交于點E，BC＝5，DE＝2，則AB的長為___．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，結(jié)合圖形，利用線段間的數(shù)量關系可得，由平行線及角平分線可得，，得出，根據(jù)等角對等邊即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，BE平分，∴，，∴，∴，故答案為：3．【點睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)，利用角平分線計算及平行線的性質(zhì)，等角對等邊求邊長等，理解題意，結(jié)合圖形，綜合運用這些知識點是解題關鍵．8．（2022·全國·八年級課前預習）四邊形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四邊形，需要增加條件________（只需填一個條件即可）．【答案】AD=BC【解析】略9．（2022·山東萊蕪·八年級期末）如圖，已知?ABCD的周長為38，對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，△DOE的周長為16，則BD的長為_____．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知O為BD的中點，即可判斷OE是△DBC的中位線，即OE=BC，從而得出△BCD的周長是△DOE的周長的二倍，再根據(jù)BC+CD是平行四邊形周長的一半求出BD的長即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且周長為38，∴O是BD的中點，BC+CD=38×=19，∵點E是CD的中點，∴OE是△DBC的中位線，∴△BCD的周長是△DOE的周長的2倍，即BD+BC+DC=2（OD+OE+ED）=2×16，∴BD+19=32，解得：BD=13，故答案為：13．【點睛】本題主要考查三角形的中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)是解題的關鍵．10．（2021·廣東陽東·一模）在探索數(shù)學名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC是?ABCD的對角線，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，則∠BAC＝___．【答案】24°【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180°?∠ABC＝180°?108°，∴∠BAC＝24°，故答案為：24°．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．11．（2021·山東任城·七年級期中）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分線AE、DF分別交BC于點E、F．若EF＝2，AB＝5，則AD的長為_______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)題意由平行線的性質(zhì)得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，則∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案為：8．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，解答本題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．12．（2022·山東·濟寧學院附屬中學八年級期末）在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一點，且BM=4cm，點E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運動，點F從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t，當t的值為_____時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．【答案】4s或s【解析】【分析】分兩種情況：①當點F在線段BM上，即0≤t＜2，②當F在線段CM上，即2≤t≤5，列方程求解．【詳解】解：①當點F在線段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝4﹣2t，解得t＝，②當F在線段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝2t﹣4，解得t＝4，綜上所述，t＝4或，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，故答案為：4s或s．【點睛】此題考查了動點問題，一元一次方程與動點問題，平行四邊形的定義，熟記平行四邊形的定義是解題的關鍵．三、解答題13．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．(1)求證：BE＝CD；(2)連接BF，若BFAE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD∥BE，再證∠BAE=∠E得到AB=BE，即可得出BE=CD；（2）先證△ABE為等邊三角形得到AE=2，且AF=EF=1，則根據(jù)勾股定理得BF=，易證△ADF≌△ECF，得出平行四邊形ABCD的面積等于△ABE的面積．【小題1】解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；【小題2】解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=AB=2，∵BF⊥AE，∴AF=EF=1，∴BF=，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面積=△ECF的面積，∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AE?BF==．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．14．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于О點，于E點，于F．(1)求證：四邊形DEBF為平行四邊形；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)33【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，從而可得，結(jié)合可得，然后根據(jù)線段的和差、勾股定理可得，最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．(1)證明：，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，又，四邊形為平行四邊形；(2)解：四邊形是平行四邊形，，，，，即，，即，①，又②，聯(lián)立①、②得：，，則的面積為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．15．（2022·全國·八年級）已知，在中，E是AD邊的中點，連接BE．（1）如圖①，若BC=2，求AE的長；（2）如圖②，延長BE交CD的延長線于點F，求證：FD=AB．【答案】（1）AE=1；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對邊相等求解即可；（2）用“AAS”△ABE≌△DFE即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=2，∵E是AD邊的中點，∴AE=1，（2）證明：∵E為AD中點，∴AE=DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠ABE=∠F∵∠BEA=∠FED，∴△ABE≌△DFE(AAS)∴FD=AB.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是熟練運用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定進行證明推理．16．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校九年級期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，，且分別交對角線于點E、F，連接ED、BF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AE＝EF，請直接寫出圖2中面積等于四邊形ABCD的面積的的所有三角形．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先證明再證明可得從而有于是可得結(jié)論；（2）先證明再證明，從而可得結(jié)論.【詳解】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形BEDF是平行四邊形.（2）由（1）得：四邊形BEDF是平行四邊形,四邊形ABCD是平行四邊形，，【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練的運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是證明的關鍵，第（2）問先確定面積為平行四邊形ABCD的的三角形是解題的關鍵.17．（2021·全國·八年級課時練習）如圖，的對角線與相交于點O，E，F(xiàn)是上的兩點．（1）當滿足什么條件時，四邊形是平行四邊形？請說明理由；（2）當與滿足什么條件時，四邊形是平行四邊形？請說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，則，，由即可得到，進而根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判定四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形，進而可得，，結(jié)合，證明進而可得，，根據(jù)等角的補角相等可得，進而得到，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊即可得證．【詳解】解：（1），理由如下，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形；（2），理由如下，四邊形是平行四邊形又四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上性質(zhì)定理是解題的關鍵．18．（2021·江蘇射陽·九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD長．【答案】（1）見詳解；（2）AD=3【解析】【分析】（1）由題意易得AD∥EC，進而根據(jù)平行四邊形的判定定理可求解；（2）由題意易得EF=3，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得EC=EF=3，進而問題可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥EC，∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，∴BF＝4，∵EF⊥AB，∴由勾股定理可得：，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，∴EC=EF=3，∵四邊形AECD是平行四邊形，∴EC=AD=3．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定、勾股定理及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握平行四邊形的判定、勾股定理及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．19．（2022·湖南·長沙市湘一立信實驗學校八年級期末）如圖，△ABC中，D是AB邊上任意一點，F(xiàn)是AC中點，過點C作CEAB交DF的延長線于點E，連接AE，CD．(1)求證：四邊形ADCE是平行四邊形；(2)若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CE，于是得到四邊形ADCE是平行四邊形；（2）過點C作CG⊥AB于點G．根據(jù)勾股定理得到CG＝AG＝，由∠B＝30°得到．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到，即可得到結(jié)論．(1)證明：∵ABCE，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．∵F是AC中點，∴AF＝CF．在△AFD與△CFE中，，∴△AFD≌△CFE（AAS），∴DF＝EF，∴四邊形ADCE是平行四邊形；(2)解：過點C作CG⊥AB于點G，∵∠CAB＝45°，∴，在△ACG中，∠AGC＝90°，∴，∵，∴CG＝AG＝，∵∠B＝30°,∴,∴,在Rt△BCG中，，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．20．（2022·山東萊蕪·八年級期末）點E是?ABCD的邊CD上的一點，連接EA并延長，使EA＝AM，連接EB并延長，使EB＝BN，連接MN，F(xiàn)為MN的中點，連接CF，DM．(1)求證：四邊形DMFC是平行四邊形；(2)連接EF，交AB于點O，若OF＝2，求EF的長．【答案】(1)證明見解析(2)EF＝4【解析】【分析】（1）由題意知，，，AB為△EMN的中位線，有，，得到，，進而可證明四邊形MFCD為平行四邊形；（2）如圖，連接AF，BF，則AF是△MNE的中位線，由AF∥EB，AF＝EB，可證四邊形AFBE是平行四邊形，故有OF＝OE＝2，進而可求EF的長．(1)證明：由題意知，，，AB為△EMN的中位線∴，∴∴，∴四邊形MFCD為平行四邊形；(2)解：如圖，連接AF，BF，則AF是△MNE的中位線∴AF∥EB，AF＝EB∴四邊形AFBE是平行四邊形∴OF＝OE＝2∴EF＝4．【點睛】本題考查了中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵在于熟練掌握中位線的性質(zhì)．21．（2021·浙江拱墅·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)，線段BE，CF相交于點G．（1）問：線段BE與CF的位置關系，并說明理由；（2）若AB＝3，CF＝4，求BE的長．【答案】（1）BE⊥FC；見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別平行可得∠ABC＋∠BCD＝180°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EBC＋∠FCB＝∠ABC＋∠DCB＝90°，進而可得BE⊥CF；（2）過A作AMFC，首先證明△ABE是等腰三角形，進而得到BO＝EO，再利用勾股定理計算出EO的長，進而可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC、∠BCD的平分線BE、CF分別與AD相交于點E、F，∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，∴EB⊥FC；（2）解：如圖，過A作AMFC，∵AM//FC，∴∠AOB＝∠FGB，∵EB⊥FC，∴∠FGB＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵AD//BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，∵AO⊥BE，∴BO＝EO，在△AOE和△MOB中，，∴△AOE≌△MOB（ASA），∴AO＝MO，∵AF//CM，AM//FC，∴四邊形AMCF是平行四邊形，∴AM＝FC＝4，∴AO＝2，∴EO＝＝，∴BE＝2．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關鍵是證明AO＝MO．22．（2022·黑龍江·大慶市第四十四中學校八年級期末）如圖，的對角線與相交于點，點，分別在和上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，．且，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，證明，得到