微專題02平面向量的最值與范圍問題（原卷版）

微專題02平面向量的最值與范圍問題題型1向量數(shù)量積的最值范圍題型2向量夾角的最值范圍題型3向量模長的最值范圍題型4系數(shù)關(guān)系的最值范圍一、平面向量求最值范圍的常用方法1.定義法：先利用數(shù)量積的概念及其運(yùn)算律轉(zhuǎn)化所求問題，再運(yùn)用基本不等式或二次函數(shù)性質(zhì)求其最值問題2.基底法：利用基底轉(zhuǎn)化向量，然后根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)，接著運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論3.坐標(biāo)法：先根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，然后運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解4.數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)，然后利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點的軌跡，結(jié)合圖形,確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍。二、平面向量數(shù)量積的最值問題求解策略平面向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性,求解平面向量數(shù)量積的最值問題可以從代數(shù)角度和幾何角度去尋找解題思路,代數(shù)化、坐標(biāo)化和幾何化都是最常見的解題策略。求解平面向量數(shù)量積的最值問題,最基本的思路就是結(jié)合數(shù)量積定義與向量運(yùn)算公式,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽⑵矫嫦蛄繑?shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。這類問題一般有以下幾種轉(zhuǎn)化方向:利用數(shù)量積的定義,借助平面幾何知識,轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個變量的函數(shù),思路1：利用向量運(yùn)算(三角形法則)和平面圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)為關(guān)于某個變量的函數(shù),思路2：利用向量極化恒等式:a?思路3：建立平面直角坐標(biāo)系,把問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,思路4：設(shè)角度,把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題后,換元求最值問題,建立目標(biāo)函數(shù)后求最值,需具體問題具體分析，求最值問題一般有兩種方法:一是利用幾何意義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解。三、與模有關(guān)的最值(范圍)問題求向量模的最值(范圍)的方法通常有兩種.(1)代數(shù)法.把所求的模表示成某個變量的函數(shù),或通過建立平面直角坐標(biāo)系,借助向量的坐標(biāo)表示;需要構(gòu)造不等式,利用基本不等式、三角函數(shù),再用求最值的方法求解.(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法).弄清所求的模表示的幾何意義,注意題目中所給的垂直、平行,以及其他數(shù)量關(guān)系,合理的轉(zhuǎn)化,使得過程更加簡單;結(jié)合動點表示的圖形求解.與夾角有關(guān)的最值(范圍)問題求夾角的最值(范圍)問題時,往往要選取對應(yīng)夾角的三角函數(shù)值,以選取夾角余弦值為主,通過余弦值的三角函數(shù)表達(dá)式,利用關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.五、與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)問題解此類問題一般分兩步走.第一步,利用平面向量的運(yùn)算、性質(zhì)等將問題中的系數(shù)等相關(guān)信息轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系;第二步,運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.平面向量中的最值(范圍)問題,是高考對平面向量比較常見的考查形式之一,也是常考常新的基本考點之一,主要考查的知識點涉及平面向量的模、坐標(biāo)、夾角、數(shù)量積以及相關(guān)的參數(shù)等.在實際解答與應(yīng)用時,挖掘題目內(nèi)涵,結(jié)合題意,從平面向量的本質(zhì)出發(fā),選取函數(shù)法、三角法、不等式法、圖形法等行之有效的基本方法來解決,進(jìn)而達(dá)到解決相關(guān)的最值(范圍)問題的目的.題型1向量數(shù)量積的最值范圍1.中，，，，點C是線段上的動點，點D是的中點，則的最小值為（）A．B．C．D．22.如圖，是等邊三角形，邊長為是平面上任意一點．則的最小值為．

3.在中，，，點為的中點，點為的中點，若，求的最大值；4.已知點是邊長為2的正內(nèi)一點，且，若，則的最小值為（

）.A． B． C． D．5.等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P為腰AD所在直線上任意一點，則的最小值是（）A．B．1C．D．6.如圖，等腰梯形ABCD中，，，點E是線段BD上的動點，則的最小值為（

）

A． B． C． D．7.在四邊形ABCD中，，，，且，若M，N是線段BC上的動點，且，求的最小值；題型2向量模長的最值范圍8.已知為的重心，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．9.已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（

）A． B． C． D．10.已知平面向量，，其中，，的夾角是，若為任意實數(shù)，則的最小值為（）A．1B．C．D．211.已知向量，滿足，在方向上的投影向量為，則的最小值為.12.邊長為8的等邊所在平面內(nèi)一點O，滿足，若M為邊上的點，點P滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．13.如圖，在等腰梯形中，.點在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．14.在中，已知，，，點滿足（），其中，則的最小值為（）A．B．C．D．15.已知平面向量，，滿足，，，則的最小值是．題型3向量夾角的最值范圍16.已知，，則的最小值為（）A．B．C．D．117.已知非零且不垂直的平面向量滿足，若在方向上的投影與在方向上的投影之和等于，則夾角的余弦值的最小值為（）A．B．C．D．18.已知單位向量，，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（）A．B．C．D．19.已知，，且關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍是（）A．B．C．D．20.已知非零向量，滿足，，若的取值范圍為，則向量，的夾角的取值范圍為（）A．B．C．D．21.已知為△邊上的中線，點滿足且，則的最小值為.題型4系數(shù)關(guān)系的最值范圍22.在直角中，，，為邊上的點，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．23.如圖，在中，，過點的直線交射線于點，交于點，若，則的最小值為（）A．3B．C．D．24.△ABC中，D為AB上一點且滿足，若P為線段CD上一點，且滿足（，為正實數(shù)），則的最小值為（）A．3B．4C．5D．625.在△ABC中，G滿足，過G的直線與AB，AC分別交于M，N兩點．若，則的最小值為（）A．B．C．D．26.已知點為的重心，分別為，邊上一點，，，三點共線，為的中點，若，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．627.在中，點是線段上的兩個動點，且，則的最小值為（

）．A． B． C．2 D．828.如圖扇形所在圓的圓心角大小為，是弧上任意一點，若，那么的最小值是（）A．B