2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)情境試題創(chuàng)新練三數(shù)列理含解析新人教A版

PAGE情境試題創(chuàng)新練(三)數(shù)列1．1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問(wèn)余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2020這2020個(gè)數(shù)中，能被2除余1，且被5除余1的數(shù)按從小到大的依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則a20＝()A．181 B．191 C．201 D．211【解析】選B.由題意可知an－1既是2的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，即an－1是10的倍數(shù)，則an－1＝10(n－1)(n∈N*)，故a20＝10×(20－1)＋1＝191.2.“貪吃蛇”的嬉戲中，設(shè)定貪吃蛇從原點(diǎn)動(dòng)身，沿著如圖所示的逆時(shí)針?lè)较蚵菪角斑M(jìn)，不停地吞食沿途的每一個(gè)格點(diǎn)(不包括原點(diǎn)).已知貪吃蛇的初始長(zhǎng)為0，并且每吞食一個(gè)格點(diǎn)，長(zhǎng)度就增加1個(gè)單位，如它頭部到達(dá)點(diǎn)P2(2，2)，其長(zhǎng)度增加到12，則當(dāng)它頭部到達(dá)點(diǎn)P9(9，9)時(shí)，它的長(zhǎng)度增加到()A．186B．306C．360D．720【解析】選B.依據(jù)題意，設(shè)貪吃蛇的頭部到達(dá)點(diǎn)(n，n)時(shí)的長(zhǎng)度為an，則a1＝2，a2＝a1＋10，即a2－a1＝10，a3＝a2＋18，即a3－a2＝18，…以此類推：an－an－1＝8n－6，則有an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝4n2－2n，當(dāng)n＝9時(shí)，有a9＝306.3．我國(guó)古代用一首詩(shī)歌形式提出的數(shù)列問(wèn)題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增．共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)塔頂幾盞燈？()A．5B．4C．3D．2【解析】選C.依據(jù)題意，從上到下，每層塔燈的數(shù)目成等比數(shù)列，且其公比為2，設(shè)塔頂有a盞燈，則有S7＝eq\f(a（1－27）,1－2)＝381，解可得：a＝3，即塔頂有3盞燈．4．我國(guó)古代學(xué)者莊子在《莊子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，指一尺長(zhǎng)的木棒，今日取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，恒久也取不盡，現(xiàn)有1尺長(zhǎng)的線段，每天取走它的eq\f(1,2)，m天后剩下的線段長(zhǎng)度不超過(guò)0.001尺，則m的最小值為()A．8B．9C．10D．11【解析】選C.由題意可知，m天后剩下的線段的長(zhǎng)度為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)≤0.001，解得m≥10，所以m的最小值為10.5．有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為3個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和110個(gè)這樣的病毒，問(wèn)細(xì)菌將病毒全部殺死至少須要()A．4秒鐘B．5秒鐘C．6秒鐘D．7秒鐘【解析】選B.1＋3＋32＋33＋…＋3n－1≥110，所以eq\f(1－3n,1－3)≥110，所以3n≥221，解得n≥5.即至少需5秒細(xì)菌將病毒全部殺死．6．在一次電子郵件傳播病毒的事例中，已知第一輪感染的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)是6臺(tái)，并且從第一輪起先，以后各輪的每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都會(huì)感染下一輪的10臺(tái)，那么到第6輪后，被感染的計(jì)算機(jī)的臺(tái)數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答).【解析】設(shè)每輪感染的計(jì)算機(jī)的臺(tái)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，由題知其構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝6，公比q＝10，其前六項(xiàng)之和為T6＝eq\f(6（1－106）,1－10)＝666666.答案：6666667．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從其次個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于，若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為_(kāi)_______．【解析】設(shè)第n個(gè)單音的頻率為an，因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以eq\f(an,an－1)＝(n≥2，n∈N*)，又a1＝f，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，則a8＝a1q7＝f()7＝.答案：8．如圖，一個(gè)粒子從原點(diǎn)動(dòng)身，在第一象限和兩坐標(biāo)軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒時(shí)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(0，1)，接著它按圖所示在x軸、y軸的垂直方向上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么，在2018秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置在點(diǎn)________．【解析】如圖，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到A1，A2，…，An時(shí)所用的時(shí)間分別為a1，a2，…，an，則a1＝2，a2＝6，a3＝12，a4＝20，…，an－an－1＝2n，將a2－a1＝2×2，a3－a2＝2×3，a4－a3＝2×4，…，an－an－1＝2n相加得：an－a1＝2(2＋3＋4＋…＋n)＝n2＋n－2，則an＝n(n＋1)，由44×45＝1980，故運(yùn)動(dòng)了1980秒時(shí)它到點(diǎn)A44(44，44)，又由運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：A1，A2，…，An中，奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng)，故粒子到達(dá)A44(44，44)時(shí)向左運(yùn)動(dòng)38秒，即運(yùn)動(dòng)了2018秒到達(dá)點(diǎn)(6，44)，則所求點(diǎn)應(yīng)為(6，44).答案：(6，44)9．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹了比例安排問(wèn)題，“衰分”是按比例遞減安排的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”．如：已知A，B，C三人安排獎(jiǎng)金的衰分比為10%，若A分得獎(jiǎng)金1000元，則B，C所分得獎(jiǎng)金分別為900元和810元．某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)勝利，共獲得獎(jiǎng)金59040元，若甲、乙、丙、丁依據(jù)肯定的“衰分比”安排獎(jiǎng)金，且甲與丙共獲得獎(jiǎng)金32800元，求“衰分比”與丙所獲得的獎(jiǎng)金．【解析】由題意，可知甲、乙、丙、丁安排的獎(jiǎng)金構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)此等比數(shù)列為{an}，且公比為q，設(shè)甲、乙、丙、丁依據(jù)的“衰分比”的值為x，則x＝1－q.依題意，a1＋a2＋a3＋a4＝59040，a1＋a3＝32800，則a2＋a4＝59040－32800＝26240，所以q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝eq\f(26240,32800)＝0.8，所以“衰分比”的值x＝1－0.