人教版八年級數學上冊整式乘法與因式分解章末重難點題型試卷

專題09整式乘法與因式分解章末重難點題型【舉一反三】

【人教版】

考點6分解因式考點1勒士運算

考點7利用因式分解求值考點2因式分解的概念

考點8利用乘法公式求值考點3幕的混合運算

考點9因式分解探究題考點4寨的逆向運算

考點10乘法治溷究題考點5整式化簡求值

續(xù)冊訴】

【考點1幕的基本運算】

【方法點撥】同底數幕的乘法法則:優(yōu)'?優(yōu)=優(yōu)'+"（"2,"都是正整數）

同底數基相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。

暴的乘方法則：=V"（八"都是正整數）

幕的乘方，底數不變，指數相乘。

積的乘方法則：（aby=anbn（〃是正整數）

積的乘方，等于各因數乘方的積。

同底數幕的除法法則：（4H0,加，〃都是正整數，且加＞〃）

同底數幕相除，底數不變，指數相減。

【例1】（2019?黔東南州期中）下列運算正確的是（）

A.j?+x3=jt5B.（-2a2）3=-8a6

C.7?x3=x6D.x6-?%2=^3

【變式1-1］（2019?蜀山區(qū)期中）下列運算中，正確的是（）

A.3X3,2X2=6X6B.（-/y）2=x4y

C.(2?)3=6*6D.金+1^=2?

2

【變式1-2](2019?淄博期中)下列運算正確的是()

A.a2*a3=a6B.(-a2)3=-a5

C.(”W0)D.(-be)44-(-be)2--廿c2

【變式1-3](2019春?成安縣期中)下列運算正確的是()

A.(-2ab)-(-3ab)3=-54a4b4

B.5，?(3/)2=15”

C.(-0.16)?(-10貶)3=-p

D.(2X10")(Lx10")=1()2"

2

【考點2因式分解的概念】

【方法點撥】因式分解：

(1)把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫把這個多項式分解因式.

(2)分解因式是對多項式而言的，且分解的結果必須是整式的積的形式.

(3)分解因式時，其結果要使每一個因式不能再分解為止

【例2】(2019春?莘縣期末)下列從左到右的變形，是因式分解的是()

A.(3-x)(3+x)=9-X2

B.(y+1)(y-3)=(3-y)(y+1)

C.4yz-2y^z+z=2y(2z-zy)+z

D.-8?+8x-2=-2(2x-1)2

【變式2-1](2019春?邢臺期末)下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.a(x-y)—ax-ayB..r3-x—x(x+1)(x-1)

C.(x+l)(x+3)=f+4x+3D.+2x+l—x(x+2)+1

【變式2-2](2019秋?西城區(qū)校級期中)下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是()

A.(67+1)(tz-1)=a2-1

B.，-4=(x+2)(x-2)

C.，-4+3x=(x+2)(x-2)+3x

D.x2-1=x(A--i-)

【變式2-3】(2019春?瑤海區(qū)期末)下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是()

A.-^―-1=(A+l)(A.-1)B.(a+b)2=cP,+2ab+b2

x2XX

C.J?-x-2=(x+1)(x-2)D.ax-ay-a=a(x-y)-1

【考點3塞的混合運算】

【方法點撥】掌握基的基本運算公式是解題的關鍵.

【例3】(2019春?銅山區(qū)期中)計算：

(1)(y2)3-?y6.y

(2)/+(y2)44-/-(-j2)2

【變式3-1](2019春?海陵區(qū)校級月考)計算

(1)丁?金-⑵,)2+3。+).

(2)(-2/)3+(-3?)2+(?)2??

【變式3-2】(2019秋?資中縣月考)計算：

(1)(m4)2+m5*mi+(-m')4'm4

(2)X6-?X3,X2+JC3,(-x)

【變式3-3](2019春?海陵區(qū)校級月考)計算

(1)(-1)20|9+(TT-3.14)(工)7.

3

(2)(-2?y)3-(-2?y)2+6%63,3+2%6^

【考點4幕的逆向運算】

【例4】(2019春?茂名期中)已知：產=4,Z=8.

(1)求的值；

(2)求產+"的值;

(3)求產"⑵的值.

【變式4-1](2019春?天寧區(qū)校級期中)根據已知求值：

(1)已知儲"=2,/=5,求a'""的值；

(2)已知32X9'"義27=321,求“？的值.

【變式4-2](2019春?丹陽市期中)已知10'=。，5、=6,求：

(1)50r的值；

(2)2*的值；

(3)20r的值.(結果用含a、匕的代數式表示)

【變式4-3](2019春?鹽都區(qū)月考)基本事實：若/'=/(a>0,且“W1,小〃都是正整數)，則機=%試

利用上述基本事實解決下面的兩個問題嗎？試試看，相信你一定行！

①如果2X8"X16'=222,求x的值；

②如果2計2+2"1=24,求x的值.

【考點5整式化簡求值】

[例5](2018春?高新區(qū)校級期中)先化簡，再求值：[(2x+y)2+(2r+y)(y-2x)-6y]+2y,其中x=

【變式5-1](2018秋?南召縣期末)先化簡，再求值：當|x-2|+(y+1)2=0時，求[(3x+2y)(3x-2y)+

(2y+x)(2y-3x)]+4x的值.

【變式5-2](2019春?成都校級月考)已知將(/+3+3)(7-2x-機)乘開的結果不含小和/項.

(1)求機、n的值；

(2)當TH、〃取第(1)小題的值時，求(m-n)(n^+mn+n2)的值.

【變式5-3](2019春?青羊區(qū)校級期中)若(x2+mx,)(x2-3x+n)的積中不含*與/項.

3

(1)求加、n的值；

(2)求代數式(-2〃?2〃)2+(3/77?)'+??20|7?2018.

【考點6分解因式】

【方法點撥】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不

能再分為止！不能分解的不要死搬硬套.

【例6】(2019秋?惠民縣期末)分解因式：

(1)(3%-2)2-(2x+7)2

(2)Sab-8/?2-2a2.

【變式6-1](2019春?婁底期中)因式分解：

(1)2x(,a-b)+3yCb-a)

(2)x(x2-xy)-(4A2-4xy)

【變式6-2](2018春?臨清市期末)因式分解,

(1)3X2J-18^2+27y3

(2)/(x-2)+(2-x)

【變式6-3](2019秋?和平區(qū)期末)分解因式：

(1)I-/-%2-2ab；

（2）9a2（x-y）+4層（y-x）.

【考點7利用因式分解求值】

【例7】已知M+y2-4x+10y+26=0,求6x-Ly的值.

5

【變式7-1](2019秋?崇明縣期中)已知x+y=4,/+y=14,求/y-2/丫2+孫3的值.

【變式7-2](2019秋?西城區(qū)校級期中)已知小2=〃+2①,加+2②,其中加工".求加3-2帆”+〃3的值.

【變式7-3]利用分解因式求值.

(1)已知：x+y=l,Xy=—i-,利用因式分解求：x(x+y)(x-y)-x(x+y))的值.

(2)已知a+Z?=2,ab—2,求?^?a3b+a2b24-^ab?的值.

【考點8利用乘法公式求值】

1例8](2019春?新津縣校級月考)已知加-”=3,加〃=2,求：

(1)(ffi+n)2的值；

(2)m2-5/nn+n2的值.

【變式8-1](2019春?杭州期末)已知a-6=7,ab=-12.

(1)求的，-他2的值；

(2)求屋+廿的值；

(3)求a+b的值.

【變式8-2](2019春?邵東縣期中)已知有理數〃z,〃滿足(〃?+")2=9,("?-〃)2=1,求下列各式的值.

(1)mn；

(2)A?72+H2-mn.

【變式8-3](2019春?杭州期中)已知Ca+b)2=5,(a-b)2=3,求下列式子的值:

(1)2+1人

(2)6ab.

【考點9因式分解探究題】

【例9】(2018秋?江漢區(qū)校級月考)閱讀材料：若加2-2加+2〃2-8/16=0,求根，〃的值.

解：V/n2-2znn+2n2-8n+16=0,(nz2-2/n/?+n2)+(n2-8z?+16)=0.

2222

/.(，〃-〃)+(/?-4)2=0,(fn-n)22o,(〃-4)^0,/.Cm-n)=0,(〃-4)=0,，〃=4,

m=4.

根據你的觀察，探究下面的問題：

(1)己知：^+2xy+2y1+2y+1=0,求2x+y的值；

(2)已知：ZiABC的三邊長°,b,c都是正整數，且滿足：/+啟-[2a-163+100=0,求△ABC的最

大邊C的值；

(3)已知：a-5h+2c=20,4^+8c2+20c+125=0,直接寫出a的值.

【變式9-1](2017春?靖江市校級期中)在理解例題的基礎上，完成下列兩個問題：

例題:若nr+2mn+2n2-6n+9=0.求m和n的值.

解：因為m2+2〃?〃+2〃2-6”+9=("尸+2〃7〃+〃2)+(?2-6n+9)=(m+n)2+(w-3)2=0

所以”?+〃=0,3=0即機=-3.〃=3

問題：

(1)若/+2xy+2y2-4.V+4=0,求孫的值.

(2)若a、b、c是△ABC的長，滿足“2+房=1()4+%-41,c是AABC中最長邊的邊長，且c為偶數，

那么?？赡苁悄膸讉€數？

【變式9-2](2019春?上虞區(qū)期末)閱讀下列材料，然后解答問題：

問題：分解因式：?+3?-4.

解答：把x=l代入多項式/+3』-4,發(fā)現此多項式的值為0,由此確定多項式f+3/-4中有因式(x

-1),于是可設/+3)-4=(廠l)(f+n;x+〃),分別求出膽,〃的值，再代入f+3--4=(犬-1)(7+〃優(yōu)+〃)，

就容易分解多項式丁+37-4.這種分解因式的方法叫“試根法”.

(1)求上述式子中機,"的值；

(2)請你用“試根法”分解因式：?+?-16x-16.

【變式9-3](2018秋?雨花區(qū)校級月考)教科書中這樣寫道：“我們把多項式。2+2帥+/及J-2必+M叫做

完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出

現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決

問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題

或求代數式最大值，最小值等.

例如：分解因式7+2x-3=(7+2x+l)-4=(x+1)2-4—(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；例

如求代數式2f+4x-6的最小值.浮+氧-6=2(/+2x-3)=2(x+1)2-8.可知當x=-1時，2*+4x

-6有最小值，最小值是-8,根據閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：m2-4m-5=.

(2)當a,一為何值時,多項式2a2+3啟-4。+12b+18有最小值,并求出這個最小值.

(3)當a,。為何值時，多項式廿-4浦+5房-44+46+27有最小值，并求出這個最小值.

【考點10乘法公式探究題】

【例10】(2019春?東臺市期中)如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊

小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）.

（2）觀察圖2請你寫出（“+%）2、（?-/,）2、必之間的等量關系是；

（3）根據（2）中的結論，若x+y=5,,則x-y=；

4

（4）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式.如圖3,你有什么發(fā)現？—.

【變式10-1］（2019春?牟定縣校級期末）圖（1）是一個長為2根、寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀均

分成四個小長方形，然后按圖（2）的形狀拼成一個正方形.

（1）你認為圖（2）中陰影部分的正方形的邊長等于多少？

（2）請用兩種不同的方法求圖（2）中陰影部分面積.

方法一：;方法二：:

（3）觀察圖（2）,你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎？

代數式：Cm+n），（w-n）4mn.；

（4）根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若a+6=7,ab—5,求（a-b）2的值.

【變式10-2】（2018春?懷遠縣期末）如圖1所示，邊長為“的正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖

2中陰影部分剪裁后拼成的一個長方形.

（1）設如圖1中陰影部分面積為5i,如圖2中陰影部分面積為S2,請直接用含mb的代數式表示51,

S2；

（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式；

（3）試利用這個公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

【變式10-3】（2019春?槐蔭區(qū)期末）數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，4種紙片是邊

長為a的正方形，B種紙片是邊長為匕的正方形，C種紙片是長為人寬為6的長方形.用A種紙片-

-張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形.

（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填寫到題中橫線上）；

方法1;方法2.

（2）觀察圖2,請你直接寫出下列三個代數式：（a+6）2,“2+/，油之間的等量關系；

（3）類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證：（“+b）（”+23）=/+3而+2廿，請你將該示意

圖畫在答題卡上；

（4）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：a+b=5,a2+/?2=ll,求出?的值；

②已知（x-2018）2+（%-2020）2=34,求（%-2019）2的值.

圖1圖2

專題09整式乘法與因式分解章末重難點題型【舉一反三】

【人教版】

《豈由母點II

工空刃分沂】

【考點1塞的基本運算】

【方法點撥】同底數'幕的乘法法則：〃"?優(yōu)=優(yōu)"+"（加，〃都是正整數）

同底數嘉相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。

累的乘方法則：（加，〃都是正整數）

哥的乘方，底數不變，指數相乘。

枳的乘方法則：的=a"b"（〃是正整數）

積的乘方，等于各因數乘方的積。

同底數界的除法法則：優(yōu)"+。"=。"1"（。/0,加，〃都是正整數，且加》〃）

同底數基相除，底數不變，指數相減。

［例I］（2019?黔東南州期中）下列運算正確的是（）

A.B.（-2a2）3=_8a6

C.x^'^—x6D.

【分析】根據同類項的定義，幕的乘方以及積的乘方，同底數的基的乘法與除法法則即可作出判斷.

【答案】解：人不是同類項，不能合并，故選項錯誤；

B、正確；

C.故選項錯誤；

。、X64-X2-X4,故選項錯誤.

故選:B.

【點睛】本題考查同底數塞的除法，合并同類項，同底數毒的乘法，塞的乘方很容易混淆，一定要記準

法則才能做題.

【變式1-1］（2019?蜀山區(qū)期中）下列運算中，正確的是（）

A.3X3*2X2=6X6B.（-2=x4y

364

C.（2x2）—6XD.X54-1-X—2X

2

【分析】根據整式的除法，塞的乘方與積的乘方，以及單項式乘單項式的方法，逐項判定即可.

【答案】解：A、3”2?=63故選項錯誤；

B、（-2=x4y2,故選項錯誤；

C、Ox2）3=8X6,故選項錯誤；

D、x5-?-l-x=2x4,故選項正確.

2

故選：D.

【點睛】此題主要考查了整式的除法，募的乘方與積的乘方，以及單項式乘單項式，解答此題的關鍵是

熟練掌握整式的除法法則：(1)單項式除以單項式，把系數，同底數褰分別相除后，作為商的因式；對

于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式.(2)多項式除以單項式，先把這

個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.

【變式1-2](2019?淄博期中)下列運算正確的是()

A.a2*a3=a6B.(-a2)3=-a5

C.al0-j-?9=a(aWO)D.(-be)44-(-be)2--b^c2

【分析】根據同底數累的乘法、除法、積的乘方和暴的乘方進行計算即可.

【答案】解：A、/./=二,故4錯誤；

B、(-/)3=故8錯誤；

C、(aWO),故C正確；

Dy(-be)44-(-be)'Be1,故/)錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了同底數事的乘法、除法、積的乘方和幕的乘方，掌握運算法則是解題的關鍵.

【變式1-3](2019春?成安縣期中)下列運算正確的是()

A.(-2ab>(-3ab)3=-54aV

B.5/?(3/)2=15”

C.(-0.16)?(-10Z>2)3=-b1

D.(2X10")(AxiOrt)=1()2"

x

【分析】A、原式先利用積的乘方運算法則計算，再利用單項式乘單項式法則計算得到結果，即可做出

判斷；

8、原式先利用積的乘方運算法則計算，再利用單項式乘單項式法則計算得到結果，即可做出判斷；

C、原式先利用積的乘方運算法則計算，再利用單項式乘單項式法則計算得到結果，即可做出判斷；

。、原式利用單項式乘單項式法則計算得到結果，即可做出判斷.

【答案】解：A、(-2ab>(-3ab)3=(-2ab)<-27a3Z>3)=54aV,本選項錯誤;

B、5/?(3/)2=5/?(9/)=45x8,本選項錯誤；

C、(-0.16)?(-1000//)=160心，本選項錯誤；

D、(2X10n)("yXlO")=102",本選項正確，

故選：D.

【點睛】此題考查了單項式乘單項式，以及枳的乘方與累的乘方，熟練掌握法則是解本題的關鍵.

【考點2因式分解的概念】

【方法點撥】因式分解：

(4)把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫把這個多項式分解因式.

(5)分解因式是對多項式而言的，且分解的結果必須是整式的積的形式.

(6)分解因式時，其結果要使每一個因式不能再分解為止“

【例2】(2019春?莘縣期末)下列從左到右的變形，是因式分解的是()

A.(3-x)(3+x)=9-7

B.(y+1)(y-3)=(.3-y)(y+1)

C.4yz-2yiz+z—2y(2z-zy)+z

D.-8f+8x-2=-2(2x-1)2

【分析】分別利用因式分解的定義分析得出答案.

【答案】解：4、(3-x)(3+x)=9-?,是整式的乘法運算，故此選項錯誤；

B、(y+1)(y-3)W(3-y)(y+1),不符合因式分解的定義，故此選項錯誤；

C、4yz-2y2z+z=2y(2z-zy)+z,不符合因式分解的定義，故此選項錯誤：

。、-8?+8.r-2=-2(2x-1)2,正確.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了因式分解的定義，正確把握定義是解題關鍵.

【變式2-1](2019春?邢臺期末)下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.a(x-y)=ax-ayB.A-3-x—x(x+1)(x-1)

C.(JC+1)(JC+3)=/+4x+3D.x^+2x+1=x(x+2)+1

【分析】根據因式分解的意義即可判斷.

【答案】解：因式分解是指將一個多項式化為幾個整式的乘積，

故選：B.

【點睛】本題考查因式分解的意義，解題的關鍵是正確理解因式分解的意義，本題屬于基礎題型.

【變式2-2】(2019秋?西城區(qū)校級期中)下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是()

A.(a+1)(a-1)—a1-1

B.7-4=(x+2)(x-2)

C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x

D.7-l=x(x-—)

X

【分析】分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式.因此，要確定從左到右的變形中是否為

分解因式，只需根據定義來確定.

【答案】解：A、是整式的乘法，故A不符合題意；

B、/-4=(x+2)(x-2),故8符合題意；

C、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故C不符合題意；

。、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故。不符合題意；

故選:B.

【點睛】本題考查了因式分解的意義.這類問題的關鍵在于能否正確應用分解因式的定義來判斷；同時

還要注意變形是否正確.

【變式2-3】(2019春?瑤海區(qū)期末)下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是()

A.JL-1=(1+1)1)B.(a+6)2=/+2C2

322

C.x2-x-2—(x+1)(x-2)D.ax-ay-a=a(x-y)-1

【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案.

【答案】解：A、沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故A錯誤；

B、是整式的乘法，故B錯誤;

C、把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故C正確；

。、沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故。錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式.

【考點3塞的混合運算】

【方法點撥】掌握幕的基本運算公式是解題的關鍵.

【例3】(2019春?銅山區(qū)期中)計算：

(1)(y2)3+)6.丫

(2)/+(y2)44-/-(-C)2

【分析】(1)先根據幕的乘方法則化簡，再根據同底數恭的乘除法法則計算即可；

(2)先根據曷的乘方與積的乘方法則化簡，再根據同底數基的除法化簡，然后合并同類項即可.

【答案】解：(1)(y2)3-i-y6*y=y6-^-y6,y=y；

(2)y4+(y2)4-i-y4-(-y2)2=y4+y8-?y4-y4=y4+y4-y4=y4.

【點睛】本題主要考查了事的運算以及整式的加減，熟練掌握幕的運算法則是解答本題的關鍵.

【變式3-1](2019春?海陵區(qū)校級月考)計算

(1)x3,%5-(2r4)2+%104-^.

(2)(-2?)3+(-3?)2+(?)

【分析】(1)根據同底數基的乘法和除法、積的乘方的法則計算即可；

(2)根據同底數暴的乘法、積的乘方的法則計算即可.

【答案】解：(I)原式=產-4?+/=-2x8

(2)原式=-816+9/+、6=25

【點睛】本題考查了同底數塞的乘法和除法、積的乘方，熟記法則是解題的關鍵.

【變式3-2](2019秋?資中縣月考)計算：

(1)(w4)2+/n5,m3+(-w)4,m4

(2)x6-i-x3,x2+x?*(-x)2.

【分析】(1)直接利用幕的乘方運算法則以及同底數幕的乘法運算法則計算得出答案；

(2)直接利用同底數幕的乘法運算法則計算得出答案.

【答案】解：(I)原式=〃產+m8+根8

=3m8；

(2)原式=4-3+2+/.7

=2v5.

【點睛】此題主要考查了塞的乘方運算以及同底數基的乘除運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

【變式3-3】(2019春?海陵區(qū)校級月考)計算

(1)(-I)2019+(TT-3.14)0-臉)「I.

(2)(-2xIy)3-(-2?y)2+6xy+2x6y2

【分析】(1)直接利用負指數基的性質、零指數'幕的性質分別化簡得出答案；

(2)直接利用積的乘方運算法則以及合并同類項法則分別計算得出答案.

【答案】解：(1)原式=-1+1-3

=-3；

(2)原式=_8xy_4x6)2+6x6y3+2x6y2

=-2x6y3-2x6y2.

【點睛】此題主要考查了實數運算以及積的乘方運算，正確化簡各式是解題關鍵.

【考點4基的逆向運算】

【例4】(2019春?茂名期中)已知：口=4,L=8.

(1)求，”的值；

(2)求/什”的值；

(3)求丁團⑵的值.

【分析】(1)直接利用事的乘方運算法則計算得出答案；

(2)直接利用同底數箱的乘法運算法則計算得出答案：

(3)直接利用累的乘方運算法則以及同底數鬲的除法運算法則計算得出答案.

【答案】解:(1)；”=4,/=8,

(Z1)』16；

(2)vyn=4,/=8,

，"+"=/、/=4X8=32：

(3)-4,父=8,

.?./，"-2"=(yn)3+(/)2

=43-?82

=1.

【點睛】此題主要考查了整式的乘除運算，正確將原式變形是解題關鍵.

【變式4-1](2019春?天寧區(qū)校級期中)根據已知求值：

(1)已知a、=2,-=5,求的值;

(2)已知32X9"$27=321,求m的值.

【分析】(1)根據同底數塞的乘法法則解答即可；

(2)根據某的乘方可得9'”=32q27=33,再根據同底數哥的乘法法則解答即可.

【答案】解：⑴'：am=2,an=5,

m+nmn

：.a=a>a=2X5=\0i

（2）V32X9H,X27=321.

即32X2raX33=321,

2+2,〃+3=21?

解得zn=8.

【點睛】本題主要考查了塞的乘方與積的乘方以及同底數幕的乘法，熟練掌握幕的運算法則是解答本題

的關鍵.

【變式4-2］（2019春?丹陽市期中）已知l，=a,5x=b,求：

（1）50V的值；

（2）2、的值；

（3）2（/的值.（結果用含a、b的代數式表示）

【分析】（1）根據積的乘方的法則計算；

（2）根據積的乘方（商的乘方）的法則計算；

（3）根據積的乘方的法則計算.

txx

【答案】解：（1）50=10X5=a*;

（2）2'=±=xy=-；=$；

【點睛】本題考查了積的乘方，解題的關鍵是能夠熟練的運用積的乘方的法則.

【變式4-3］（2019春?鹽都區(qū)月考）基本事實：若（。＞0,且。#1,辦〃都是正整數），則機=〃.試

利用上述基本事實解決下面的兩個問題嗎？試試看，相信你一定行！

①如果2X8"X16'=222,求x的值；

②如果2^2+2^1=24,求x的值.

【分析】①根據事的乘方和同底數幕的乘法法則把原式變形為21+7X=222,得出I+7X=22,求解即可；

②把2*+2+2+變形為2*Q2+2）,得出2'=4,求解即可.

【答案】解：（7）,.,2X8AX16A=2X23XX24x=21+3-^4x=21+7f=222,

；.l+7x=22,

.*.x=3；

(2)V2V+2+2%+I=24,

：.2X(22+2)=24,

；.2*=4,

***x=2.

【點睛】此題考查了基的乘方與積的乘方、同底數基的乘法，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵.

【考點5整式化簡求值】

[例5](2018春?高新區(qū)校級期中)先化簡，再求值：[⑵+y)2+(2x+y)(y-2x)-6y]^2y,其中尸

-，y=3.

【分析】根據完全平方公式、平方差公式、多項式除單項式的法則把原式化簡，代入計算即司二

【答案】解：[(2x+y)2+(2x+y)(y-2x)-6y]-?2y

=(4/+40+)2+)2-4/_6)，)+2y

=(4xy+2y2-6y)4~2y

=2x+y-3,

jEx=-,y=3代入得：原式=2X(-.)+3-3=-1.

【點睛】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵.

【變式5-1](2018秋?南召縣期末)先化簡，再求值：當,-2|+(y+1)2=0時，求[(3x+2y)(3x-2y)+

(2y+x)(2y-3x)]+4x的值.

【分析】根據k-2|+(y+1)2=?？梢云鸬膞、),的值，然后將題目中所求式子化簡，再將x、)，的值代入

化簡后的式子即可解答本題.

【答案】解：；|x-2|+(y+1)2=0,

>\x-2=0,y+\=0,

解得，x=2,y=-1,

?*.[(3x+2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)]4-4x

=(97-4)2+4y2--3/)-r4x

=(6X2-4xy)+4x

=1.5x-y

=1.5X2-(-1)

=3+1

=4.

【點睛】本題考查整式的化簡求值、非負數的性質，解答本題的關鍵是明確整式化筒求值的方法，利用

非負數的性質解答.

【變式5-2](2019春?成都校級月考)己知將(，+〃x+3)(7-2x-M乘開的結果不含/和/項.

(1)求辦n的值；

(2)當m、〃取第(1)小題的值時,求(〃?-〃)(in^+mn+n2)的值.

【分析】(1)原式利用多項式乘以多項式法則計算，合并后根據乘開的結果不含丁和，項，求出“與〃

的值即可；

(2)原式利用多項式乘以多項式法則計算，把山與〃的值代入計算即可求出值.

【答案】解：(1)原式=x"-2X3-/MA^+nx3-2nx2-mnx+ix1-6x-3ni=x4+(〃-2)x3+(3-m-2n)/+

(/H/?+6)x-3mf

由乘開的結果不含丁和小項，得至U"-2=0,3-m-2n=O,

解得：m=-1,n=2；

(2)當m=-1,n=2時，原式=??+”?2〃+加”2--〃3=加3_“3=_1-8=-9.

【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【變式5-3](2019春?青羊區(qū)校級期中)若的積中不含x與小項.

(1)求/?、n的值；

(2)求代數式(-2,〃2〃)2+(3/777?)1+/?12<)17?2()18.

【分析】(1)原式利用多項式乘以多項式法則計算，整理后根據積中不含X和丁項，求出加與〃的值；

(2)原式利用哥的乘方與積的乘方，負整數指數基法則變形，將各自的值代入計算即可求出值.

【答案】解：(1)(，"-3)1+(-3/?+〃-')/+(〃7〃+1)x-n,

由積中不含X和十項，得到"7-3=0,皿7+1=0,

解得：加=3,〃=-口，

ptfaiw1

(2)原式=46%2++(加)2O1/.J?

=36.

【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，以及負整數指數暴，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【考點6分解因式】

【方法點撥】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不

能再分為止！不能分解的不要死搬硬套.

【例6】(2019秋?惠民縣期末)分解因式：

(1)(3x-2)2-⑵+7)2

(2)Sab-Sb2-2a2.

【分析】(1)原式利用平方差公式分解即可；

(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【答案】解：(1)原式=[(3x-2)+(2x+7)1[(3x-2)-(2r+7)]

=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7)

=(5x+5)(x-9)

=5(x+1)(x-9)；

(2)原式=-2(?2-4血4/)=-2(a-2b)2.

【點睛】此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

【變式6-1](2019春?婁底期中)因式分解：

(1)2x(a-h)+3yCh-a)

(2)x(W-肛)-(4X2-4xy)

【分析】(1)原式變形后，提取公因式即可得到結果；

(2)原式提取公因式即可得到結果.

【答案】解：(1)原式=2x(〃-。)-3y(a-h)=(〃-。)(2r-3y)；

(2)原式=7(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x-4).

【點睛】此題考查了因式分解■提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關鍵.

【變式6-2](2018春?臨清市期末)因式分解:

(1)3/)，-18^2+27/

(2)x2(x-2)+(2-x)

【分析】(1)直接提取公因式3y,進而運用完全平方公式分解因式得出答案；

(2)直接提取公因式(x-2),進而運用平方差公式分解因式得出答案.

【答案】解：(1)3?y18xv2+27y3

=3y(x2-6孫+9)2)

=3yCx-3y)2；

(2)x2(x-2)+(2-x)

=(x-2)(x2-1)

=(x-2)(jt+l)(x-1).

【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用公式是解題關鍵.

【變式6-3](2019秋?和平區(qū)期末)分解因式:

(1)1--2ab；

(2)9a之(x-y)+4標(y-x).

【分析】(1)原式后三項提取-1,利用完全平方公式及平方差公式分解即可；

(2)原式變形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

2

【答案】解：(1)原式=1-(a+b)=(1+a+b)(1-a-b);

(2)原式=9。2(x-y)-4tr(x-y)=(x-y)(9a2-4b1)=(x-y)(3a+2Z>)*(3a-2b).

【點睛】此題考查了因式分解-分組分解法，以及提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解

的方法是解本題的關鍵.

【考點7利用因式分解求值】

【例7】已知4f+/-4x+10y+26=0,求6x-y的值.

【分析】已知等式利用完全平方公式變形，利用非負數的性質求出x與y的值，代入原式計算即可求出

值.

【答案】解：：4x2+y2-4x+10.y+26=4(x-1)2+(>'+5)2=0,

3)尸-5,

則原式=3+1=4.

【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

【變式7-1](2019秋?崇明縣期中)已知x+y=4,x2+y2=14,求%3y-Zx2/+孫3的值.

【分析】首先由x+y=4,得到(x+y)2=16,然后利用完全平方公式得到7+)?+與=16,而$+)2=14,

由此可以求出刈的值，再把/y-kV+xy3提取公因式xy,最后代入已知數據計算即可求解.

【答案】解：：x+y=4,

(x+y)2=16,

.,.x2+y^+2xy—16,

而x2+y2—l4,

??xy=1f

.\xiy-2的2+城

=xy(x2-2xy+y2)

=14-2

=12.

【點睛】此題主要考查了因式分解的運用，有公因式時，要先考慮提取公因式；注意運用整體代入法求

解.

【變式7-2](2019秋?西城區(qū)校級期中)已知加2=〃+2①，川二"+2②，其中m求“3-2加〃+〃3的值.

【分析】根據因式分解的方法即可求出答案.

【答案】解：①-②得：譚-n2=n-m

/.(m+n)(/〃-〃)=n-m,

.??/〃+〃=-1

?,?原式="?(n?2-n)+〃(M-tn)

=2/77+277

=-2

【點睛】本題考查因式分解，解題的關鍵是熟練運用因式分解法，本題屬于基礎題型.

【變式7-3]利用分解因式求值.

||5I

(1)已知：x+y=1,I,利用因式分解求：x(x+y)(x-y)-x(x+y)之的值.

(2)已知〃+/?=2,ab=2,求的值.

【分析】(1)所求式子提取公因式x+y后變形，將x+y與孫的值代入計算即可求出值；

(2)所求式子提取公因式后，利用完全平方公式分解因式，將"人與時的值代入計算即可求出值.

【答案】解：(1)%(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2xy(x+y),

當x+y=l,xy=-□時，原式=-2X(-|^|)Xl=l；

(2)原式=口而(〃+。)，

當a+b=2,帥=2時，原式=j|x2X4=4.

【點睛】此題考查了因式分解的應用，將所求式子進行適當的變形是解本題的關鍵.

【考點8利用乘法公式求值】

【例8】(2019春?新津縣校級月考)已知m-〃=3,m九=2,求：

(1)(加+〃)2的值;

(2)m2-5mn+n2的值.

【分析】(1)根據完全平方公式得到(m+n)2=,“2+〃2+2,"“=(〃?-〃)2+4〃?”即可解題：

(2)根據完全平方公式得到-5"?〃+〃2=(〃?+")2-7,“〃即可解題.

【答案】解：，〃"=2,

(1)(m+n)2=m2+n2+2/nn=(m-n)2+4mn=9+8=17；

(2)m2-5zn〃+"2=(m+n)2-7mn=9-14=-5.

【點睛】本題考查了完全平方公式的運用，解題的關鍵是正確運用(罐-〃)2="2+〃2-2m”.

【變式8-1](2019春?杭州期末)已知4-6=7,ab=-12.

(1)求crh-a區(qū)的值；

(2)求J+廿的值；

(3)求a+b的值.

【分析】(1)直接提取公因式岫，進而分解因式得出答案；

(2)直接利用完全平方公式進而求出答案；

(3)直接利用(2)中所求，結合完全平方公式求出答案.

【答案】解：(1)，：a-b=7,ab=-12,

：.a1b-ab1=ab(a-b)=-12X7=-84；

(2),：a-h=l,ah=-12,

(?-b)2=49,

'.c^+b2-2必=49,

.'.a2+b2=25；

(3),：a2+b2=25,

：.(a+b)2=25+2ab=25-24=l,

:.a+b=±1.

【點睛】此題主要考查了完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正確應用完全平方公式是解題關鍵.

【變式8-2](2019春?邵東縣期中)已知有理數〃?，〃滿足(m+〃)2=9,(膽-〃)2=1,求下列各式的值.

(1)mn；

(2)川+M-nin.

【分析】(1)已知等式利用完全平方公式化簡，相減即可求出〃?〃的值;

(2)已知等式利用完全平方公式化簡，相加即可求出"P+J的值.

【答案】解:(m+")2=,"2+〃2+2,"〃=9①，(優(yōu)-2=〃/+"2_2/"〃=[②，

(1)①-②得：4〃"1=8,

貝ijtnn=2；

(2)①+②得：2(//+/)=]o,

則nr+n2=5.

所以m2+n2-mn=5-2=3.

【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

[變式8-3](2019春?杭州期中)已知(。+〃)2=5,(a-b)2=3,求下列式子的值：

(1)a2+b2；

(2)6ab.

【分析】(I)直接利用完全平方公式將原式展開，進而求出J+廿的值；

(2)直接利用(I)中所求，進而得出時的值，求出答案即可.

【答案】解：(1)(a+b)2=5,(a-b)2=3,

：.(^+2ab+b2-=5,a2-2ab+層=3,

：.2(d+廬)=8,

解得：a2+b2=4；

22

(2)V?+/?=4,

：.4+2ab=5,

解得:

?**6ab=3.

【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確應用完全平方公式是解題關鍵.

【考點9因式分解探究題】

【例9】(2018秋?江漢區(qū)校級月考)閱讀材料：若,爐-2"皿+2〃2-8〃+16=0,求相，〃的值.

解：m2-2nin+2n2-8n+16=0,/.(m2-2mn+n2)+(n2-8/1+16)=0.

(.in-n)2+(n-4)2=0,'/Cm-n)2^0,(n-4)2^0,/.(m-n)2=0,(n-4)2=0,；.”=4,

/M=4.

根據你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知：jc2+2xy+2y2+2y+l=0,求2x+y的值；

(2)已知：ZVLBC的三邊長小b,c都是正整數，且滿足：/+廿一］2a-168+100=0,求△ABC的最

大邊c的值；

(3)已知：a-5ft+2c=20,4?fe+8c2+20c+125=0,直接寫出“的值.

【分析】(1)把已知條件變形為(x+y)2+(>1)2=0,利用非負數性質得出x,y的值，即可求得2x+y

的值；

(2))先把(^+序-12a-166+100=0變形為(a-6)2+(6-8)2=0,得出。=6,匕=8,再根據組成三

角形的條件得出c的范圍，然后根據c是正整數就可以確定aABC的最大邊c的值；

(3)由a-5H2c=20,Wa=5b-2c+20,代入4M+8(?+200+125=0再配方求得〃，c的值，進而得出

〃的值.

【答案】解：(1),.?/+、+2y2+2)+1=0,

/.(/+2x_y+y2)+(y2+2)s-l)=0,

(x+y)2+(y+1)2=0,

，x+y=0,y+l=0,

/.x=Ly=-1,

：.2x+y=2-1=1,

即2x+y的值是1.

(2)VaW-\2a-16Z?+100=0,

A(a2-12a+36)+(層-16b+64)=0,

(a-6)2+(Z?-8)2=0,

?56=0,6-8=0,

，a=6,0=8,

V8-6<c<8+6,c28,c為正整數,

；.8WcV14,

.1△ABC的最大邊c的值可能是8、9、10、11、12、13.

(3),：a-5b+2c=20,

.,.a=5h-2c+20,

：4"+8c2+20c+125=0,

A4(56-2c+20)ZH-8C2+20C+125=0,

.?.20序_8*c+80*+8c2+20e+125=0,

，⑵-2c)2+(4^+10)2+(2c+5)2=0,

."=12.5.

【點睛】(1)此題主要考查了因式分解方法的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：用因式分

解的方法將式子變形時，根據已知條件，變形的可以是整個代數式，也可以是其中的一部分.

(2)此題還考查了三角形的三條邊之間的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：任意兩邊之和

大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊.

【變式9-1](2017春?靖江市校級期中)在理解例題的基礎上，完成下列兩個問題：

例題:若nr+2mn+2n2-6〃+9=0.求