滬科版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿分全攻略第06講函數(shù)的概念和正比例函數(shù)(10大考點(diǎn))(原卷版+解析)

第06講函數(shù)的概念和正比例函數(shù)（10大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向函數(shù)定義：在某個變化過程中有兩個變量x和y，在變量x的允許取值范圍內(nèi)，變量y隨x的變化而變化，他們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量y叫x的函數(shù).函數(shù)記號：，表示x＝a時的函數(shù)值.設(shè)為整式，則函數(shù)的定義域：一切實(shí)數(shù)；函數(shù)的定義域：滿足的實(shí)數(shù)；函數(shù)的定義域：滿足的實(shí)數(shù).2．正比例函數(shù)的概念(1)如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的比值是一個常數(shù)（這個常數(shù)不等于零），那么就說這兩個變量成正比例，用數(shù)學(xué)式子表示兩個變量、成正比例，就是，或表示為（不等于0），是不等于零的常數(shù)．(2)解析式形如（是不等于零的常數(shù)）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中常數(shù)叫做比例系數(shù)．正比例函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)．確定了比例系數(shù)，就可以確定一個正比例函數(shù)的解析式3．正比例函數(shù)的圖象(1)一般地，正比例函數(shù)(是常數(shù),)的圖象是經(jīng)過，這兩點(diǎn)的一條直線，我們把正比例函數(shù)的圖象叫做直線；(2)圖像畫法：列表、描點(diǎn)、連線．4．正比例函數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限；自變量x的值逐漸增大時，y的值也隨著逐漸增大．(2)當(dāng)時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限；自變量x的值逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減?。键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．常量與變量（共1小題）1．（2021秋?黃浦區(qū)期中）如圖所示是關(guān)于變量x，y的程序計(jì)算，若開始輸入的x值為4，則最后輸出因變量y的值為．二．函數(shù)的概念（共1小題）2．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）下列圖象中表示y是x的函數(shù)的有幾個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個三．函數(shù)關(guān)系式（共1小題）3．（2019秋?黃浦區(qū)校級期中）A、B兩地相距50千米，小張騎自行車從A地到B地，車速為13千米/小時，騎了t小時后，小張離B地s千米，那么s關(guān)于t的函數(shù)解析式是．四．函數(shù)自變量的取值范圍（共3小題）4．（2022?長寧區(qū)模擬）函數(shù)的定義域是．5．（2021秋?松江區(qū)期末）函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋?．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）函數(shù)的定義域是．五．函數(shù)值（共3小題）7．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝2x﹣1，則f（3）＝．8．（2022春?黃浦區(qū)期中）已知f（x）＝，那么＝．9．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知函數(shù)，那么f（2）＝．六．函數(shù)的圖象（共3小題）10．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）汽車行駛的路程S（千米）與行駛的時間t（時）的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖，那么該汽車行駛的速度是．11．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油箱余油量為Q2噸，加油時間為t（分），Q1、Q2與t之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）加油之前，加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了噸油；運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量噸油；（2）這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需分鐘；（3）運(yùn)輸飛機(jī)的飛行油耗為每分鐘噸油；（4）運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，如果每分鐘油耗相同，最多能飛行小時．12．（2020秋?寶山區(qū)校級期末）上海磁懸浮列車在一次運(yùn)行中速度V（千米/小時）關(guān)于時間t（分鐘）的函數(shù)圖象如圖，回答下列問題．（1）列車共運(yùn)行了分鐘（2）列車開動后，第3分鐘的速度是千米/小時．（3）列車的速度從0千米/小時加速到300千米/小時，共用了分鐘．（4）列車從分鐘開始減速．七．動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象（共1小題）13．（2010秋?浦東新區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長是3厘米，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC、CD、DA方向運(yùn)動至點(diǎn)A停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x厘米，△ABP的面積為y平方厘米．（1）當(dāng)動點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，求y關(guān)于x的解析式及其定義域；（2）當(dāng)動點(diǎn)P在DC上運(yùn)動時，求y關(guān)于x的解析式及其定義域；（3）當(dāng)x取何值時，△ABP的面積為1.5平方厘米？八．正比例函數(shù)的定義（共2小題）14．（2021秋?寶山區(qū)校級期中）下列問題中，兩個變量成正比例的是（）A．圓的面積S與它的半徑r B．三角形面積一定時，某一邊a和該邊上的高h(yuǎn) C．正方形的周長C與它的邊長a D．周長不變的長方形的長a與寬b15．（2020秋?金山區(qū)校級期中）若函數(shù)是正比例函數(shù)，且圖象在一、三象限，則m＝．九．正比例函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）16．（2021秋?普陀區(qū)期末）函數(shù)的定義域是．17．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）已知正比例函數(shù)y＝（m+1）x的圖象經(jīng)過第二、四象限，則m的值為．18．（2021秋?金山區(qū)校級期中）如果函數(shù)y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函數(shù)．則m的值是．一十．待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式（共2小題）19．（2020秋?金山區(qū)校級期中）已知點(diǎn)A（2，﹣1）在正比例函數(shù)的圖象上，則這個函數(shù)的解析式為．20．（2019秋?嘉定區(qū)期中）已知y與x成正比例，且當(dāng)x＝3時，y＝4．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x＝﹣1時，求y的值．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·上海奉教院附中八年級期末）學(xué)校升旗儀式上，徐徐上升的國旗的高度與時間的關(guān)系可以用下面的一個函數(shù)圖像近似地刻畫，這個函數(shù)圖像是（）A． B．C． D．2．（2020·上海金山區(qū)·）已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，則此函數(shù)圖像必經(jīng)過（）A． B． C． D．二、填空題3．（2021·上海普陀區(qū)·八年級期末）已知，那么_______．4．（2021·上海市康城學(xué)校八年級期末）如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的值為__________．5．（2020·上海金山區(qū)·）若函數(shù)是正比例函數(shù)，且圖像在一、三象限，則_________．6．（2021·上海奉教院附中八年級期末）已知函數(shù)，那么______．三、解答題7．（2020·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級月考）已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q(－m，m＋3)，求m的值．8．（2019·上海嘉定區(qū)·八年級期中）已知與成正比例，且當(dāng)時,.（1）求與之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時，求的值.9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（-3，2）和Q（-m，m-1），求m的值．10．（2020·上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級期末）如圖，這是一個水池存水量（萬噸）與注水或排水時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系圖象．（1）水池原有水_________；（2）向水池內(nèi)注水________小時；每小時注水_______萬噸；（3）________小時把水排空；每小時排水________萬噸．11．（2017·上海市廊下中學(xué)八年級期末）如圖，是小王和小李在一次跑步比賽中的時間和路程圖．(1)這次比賽的路程是_______米；(2)小王的平均速度是_________米/秒；(3)他們先到達(dá)終點(diǎn)的是_______；(4)小李跑步的路程(米)與時間(秒)的函數(shù)關(guān)系式是_________．12．（2020·上海市川沙中學(xué)南校八年級期末）小強(qiáng)騎車從家到學(xué)校要經(jīng)過一段先上坡后下坡的路，在這段路上小強(qiáng)騎車的距離s(千米)與騎車的時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖中信息回答下列問題：(1)小強(qiáng)去學(xué)校時下坡路長千米；(2)小強(qiáng)下坡的速度為千米/分鐘；(3)若小強(qiáng)回家時按原路返回，且上坡的速度不變，下坡的速度也不變，那么回家騎車走這段路的時間是分鐘.13．（2019·上海松江·八年級期中）已知正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過第四象限內(nèi)一點(diǎn)，求k的值.14．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）等腰三角形的周長為16cm，底邊長為xcm，腰長為ycm，寫出y關(guān)于x的函數(shù)的解析式，并求x的取值范圍．15．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，求m的值．16．（2019·上海市市西初級中學(xué)八年級期末）如圖1，某容器外形可看作由三個長方體組成，其中的底面積分別為的容積是容器容積的（容器各面的厚度忽略不計(jì)）．現(xiàn)以速度(單位:）均勻地向容器注水，直至注滿為止．圖2是注水全過程中容器的水面高度(單位：）與注水時間(單位：）的函數(shù)圖象．在注水過程中，注滿所用時間為______________，再注滿又用了______________；注滿整個容器所需時間為_____________；容器的總高度為____________．17．（2020·上海市格致初級中學(xué)）已知點(diǎn)（2，﹣4）在正比例函數(shù)y＝kx的圖象上．（1）求k的值；（2）若點(diǎn)（﹣1，m）也在此函數(shù)y＝kx的圖象上，試求m的值．18.在直角三角形ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，在CD上取一點(diǎn)P（不與C、D重合），設(shè)三角形APB的面積是y，CP的長為x，求y和x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．19.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD=5，AD=7，BC=13，，P是一動點(diǎn)，沿AD、DC由A經(jīng)D點(diǎn)向C點(diǎn)移動，設(shè)P點(diǎn)移動的路程是x．（1）當(dāng)P在AD上運(yùn)動的時候，設(shè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及定義域，并畫出函數(shù)圖像；（2）當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)沿DC向C移動時，設(shè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．20.已知正比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)Q在第二象限，（1）化簡的值； （2）若a的值是整數(shù)，求正比例函數(shù)的解析式，并判斷點(diǎn)在不在函數(shù)圖像上．21.已知正比例函數(shù)過點(diǎn)A（4，-2），點(diǎn)P在正比例函數(shù)圖像上，B（0，4）且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．第06講函數(shù)的概念和正比例函數(shù)（10大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向函數(shù)定義：在某個變化過程中有兩個變量x和y，在變量x的允許取值范圍內(nèi)，變量y隨x的變化而變化，他們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量y叫x的函數(shù).函數(shù)記號：，表示x＝a時的函數(shù)值.設(shè)為整式，則函數(shù)的定義域：一切實(shí)數(shù)；函數(shù)的定義域：滿足的實(shí)數(shù)；函數(shù)的定義域：滿足的實(shí)數(shù).2．正比例函數(shù)的概念(1)如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的比值是一個常數(shù)（這個常數(shù)不等于零），那么就說這兩個變量成正比例，用數(shù)學(xué)式子表示兩個變量、成正比例，就是，或表示為（不等于0），是不等于零的常數(shù)．(2)解析式形如（是不等于零的常數(shù)）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中常數(shù)叫做比例系數(shù)．正比例函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)．確定了比例系數(shù)，就可以確定一個正比例函數(shù)的解析式3．正比例函數(shù)的圖象(1)一般地，正比例函數(shù)(是常數(shù),)的圖象是經(jīng)過，這兩點(diǎn)的一條直線，我們把正比例函數(shù)的圖象叫做直線；(2)圖像畫法：列表、描點(diǎn)、連線．4．正比例函數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限；自變量x的值逐漸增大時，y的值也隨著逐漸增大．(2)當(dāng)時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限；自變量x的值逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．常量與變量（共1小題）1．（2021秋?黃浦區(qū)期中）如圖所示是關(guān)于變量x，y的程序計(jì)算，若開始輸入的x值為4，則最后輸出因變量y的值為20．【分析】將x＝4代入關(guān)系式x（x+1），進(jìn)而解決此題．【解答】解：當(dāng)x＝4，則x（x+1）＝4×5＝20＞15．∴輸出因變量y＝20．故答案為：20．【點(diǎn)評】本題主要考查求因變量的值，熟練掌握自變量對應(yīng)的因變量的值的求法是解決本題的關(guān)鍵．二．函數(shù)的概念（共1小題）2．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）下列圖象中表示y是x的函數(shù)的有幾個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，對應(yīng)x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)判斷即可．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的概念，可知：圖1和圖4不能表示y是x的函數(shù)，圖2和圖3能表示y是x的函數(shù)，∴上列圖象中表示y是x的函數(shù)的有2個，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念，對應(yīng)x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)是解題的關(guān)鍵．三．函數(shù)關(guān)系式（共1小題）3．（2019秋?黃浦區(qū)校級期中）A、B兩地相距50千米，小張騎自行車從A地到B地，車速為13千米/小時，騎了t小時后，小張離B地s千米，那么s關(guān)于t的函數(shù)解析式是s＝50﹣13t．【分析】直接利用總路程﹣行駛路程＝離B地距離，進(jìn)而得出關(guān)系式．【解答】解：由題意可得：s＝50﹣13t．故答案為：s＝50﹣13t．【點(diǎn)評】此題主要考查了函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意得出等式是解題關(guān)鍵．四．函數(shù)自變量的取值范圍（共3小題）4．（2022?長寧區(qū)模擬）函數(shù)的定義域是x≥﹣3．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案為：x≥﹣3．【點(diǎn)評】考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．5．（2021秋?松江區(qū)期末）函數(shù)y＝的定義域?yàn)閤≥﹣1且x≠1．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x+1≥0，1﹣x≠0，解得：x≥﹣1且x≠1，故答案為：x≥﹣1且x≠1．【點(diǎn)評】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）函數(shù)的定義域是x≥﹣1．【分析】根據(jù)完全平方公式得到x+10﹣6≥0，再根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：x+10﹣6＝x+1﹣6+9＝（﹣3）2≥0，∴當(dāng)x+1≥0時，函數(shù)有意義，即x≥﹣1，故答案為：x≥﹣1．【點(diǎn)評】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．五．函數(shù)值（共3小題）7．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝2x﹣1，則f（3）＝5．【分析】將x＝3代入f（x）＝2x﹣1，求出f（3）的值．【解答】解：∵f（x）＝2x﹣1，∴f（3）＝2×3﹣1＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的值，直接將x的值代入求解即可．8．（2022春?黃浦區(qū)期中）已知f（x）＝，那么＝．【分析】把x＝代入函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：f（）＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值，把自變量x的值代入函數(shù)關(guān)系式，按照代數(shù)式提供的運(yùn)算順序和計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是常用的方法．9．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知函數(shù)，那么f（2）＝．【分析】把x＝2代入函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：把x＝2代入中得：f（2）＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)值，把x＝2代入函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．六．函數(shù)的圖象（共3小題）10．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）汽車行駛的路程S（千米）與行駛的時間t（時）的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖，那么該汽車行駛的速度是60km/h．【分析】根據(jù)圖象和速度＝解答即可．【解答】解：由圖象可得，路程＝180千米，時間＝3小時，∴速度＝＝60（km/h），故答案為：60km/h．【點(diǎn)評】此題考查函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是根據(jù)圖象和速度＝解答．11．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油箱余油量為Q2噸，加油時間為t（分），Q1、Q2與t之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）加油之前，加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油；運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量40噸油；（2）這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需10分鐘；（3）運(yùn)輸飛機(jī)的飛行油耗為每分鐘0.1噸油；（4）運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，如果每分鐘油耗相同，最多能飛行11.5小時．【分析】（1）通過觀察線段Q1，Q2段圖象，不難得到加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油，運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量為40噸油．（2）將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)中需10分鐘．（3）首先根據(jù)運(yùn)輸飛機(jī)在10分鐘時間內(nèi)，加油29噸，但加油飛機(jī)消耗了30噸，求出每小時耗油量．（4）根據(jù)（3）中的耗油量，可直接得出最多飛行時間．【解答】解：（1）由題意及圖象得加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油，運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量為40噸油．故答案為：30；40．（2）將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)中需10分鐘；故答案為：10；（3）∵運(yùn)輸飛機(jī)在10分鐘時間內(nèi)，加油29噸，但加油飛機(jī)消耗了30噸，所以說10分鐘內(nèi)運(yùn)輸飛機(jī)耗油量為1噸，∴運(yùn)輸飛機(jī)每分鐘耗油量為0.1噸；故答案為：0.1；（4）由（3）知運(yùn)輸飛機(jī)每小時耗油量為＝6（噸），∴69÷6＝11.5（小時），故答案為：11.5．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象．解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖象，其中尤其注意運(yùn)輸飛機(jī)每小時耗油量這個隱含條件的確定．12．（2020秋?寶山區(qū)校級期末）上海磁懸浮列車在一次運(yùn)行中速度V（千米/小時）關(guān)于時間t（分鐘）的函數(shù)圖象如圖，回答下列問題．（1）列車共運(yùn)行了8分鐘（2）列車開動后，第3分鐘的速度是300千米/小時．（3）列車的速度從0千米/小時加速到300千米/小時，共用了2分鐘．（4）列車從5分鐘開始減速．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的坐標(biāo)，解答即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的坐標(biāo)，解答即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的坐標(biāo)，解答即可；（4）根據(jù)函數(shù)圖象的坐標(biāo)，解答即可．【解答】解：（1）列車共運(yùn)行了8分鐘；故答案為：8；（2）列車開動后，第3分鐘的速度是300千米/小時；故答案為：300；（3）列車的速度從0千米/小時加速到300千米/小時，共用了2分鐘；故答案為：2；（4）列車從5分鐘開始減速．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象獲得有效信息是解題關(guān)鍵．七．動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象（共1小題）13．（2010秋?浦東新區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長是3厘米，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC、CD、DA方向運(yùn)動至點(diǎn)A停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x厘米，△ABP的面積為y平方厘米．（1）當(dāng)動點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，求y關(guān)于x的解析式及其定義域；（2）當(dāng)動點(diǎn)P在DC上運(yùn)動時，求y關(guān)于x的解析式及其定義域；（3）當(dāng)x取何值時，△ABP的面積為1.5平方厘米？【分析】（1）利用當(dāng)動點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，利用三角形面積求法得出即可；（2）利用當(dāng)動點(diǎn)P在DC上運(yùn)動時，結(jié)合圖象得出三角形面積是定值；（3）分別利用△ABP的面積為1.5平方厘米，當(dāng)P在BC上時，以及當(dāng)P在AD上時，求出即可．【解答】解：（1）∵當(dāng)動點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，正方形ABCD的邊長是3厘米，∴△ABP的面積為：y＝×AB×BP＝×3x即（0＜x≤3）；（2）∵當(dāng)動點(diǎn)P在DC上運(yùn)動時，∴△ABP的面積為：×3×3＝，即，（3≤x≤6）；（3）如圖所示：△ABP的面積為1.5平方厘米，當(dāng)P在BC上時，則y＝x＝1.5，解得：x＝1，當(dāng)P在AD上時，則y＝×AP×AB＝（9﹣x）＝1.5，解得：x＝8，綜上所述：x＝1或x＝8時，△ABP的面積為1.5平方厘米．【點(diǎn)評】此題主要考查了動點(diǎn)函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及三角形面積求出是解題關(guān)鍵．八．正比例函數(shù)的定義（共2小題）14．（2021秋?寶山區(qū)校級期中）下列問題中，兩個變量成正比例的是（）A．圓的面積S與它的半徑r B．三角形面積一定時，某一邊a和該邊上的高h(yuǎn) C．正方形的周長C與它的邊長a D．周長不變的長方形的長a與寬b【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義計(jì)算．【解答】解：A、圓的面積＝π×半徑2，不是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、三角形面積S一定時，它的底邊a和底邊上的高h(yuǎn)的關(guān)系S＝ah，不是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、正方形的周長C＝邊長×4＝4a，是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；D、設(shè)周長為C，則依題意得C＝2（a+b），則a與b不是正比例關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查正比例函數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義：一般地，兩個變量x，y之間的關(guān)系式可以表示成形如y＝kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)．15．（2020秋?金山區(qū)校級期中）若函數(shù)是正比例函數(shù)，且圖象在一、三象限，則m＝2．【分析】由正比例函數(shù)的定義，以及圖象的位置進(jìn)行取舍，可求得m的值．【解答】解：∵y＝（m+1）為正比例函數(shù)，∴m2﹣3＝1，且m+1≠0，解得m＝±2，∵圖象在一、三象限，∴m+1＞0，∴m＞﹣1，∴m＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，由正比例函數(shù)的性質(zhì)求得m的值是解題的關(guān)鍵，注意利用圖象的位置進(jìn)行取舍．九．正比例函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）16．（2021秋?普陀區(qū)期末）函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)．【分析】函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，所以函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)．【解答】解：∵函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)．故答案為：一切實(shí)數(shù)．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．17．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）已知正比例函數(shù)y＝（m+1）x的圖象經(jīng)過第二、四象限，則m的值為﹣．【分析】由正比例函數(shù)的定義可求得m的值，再由圖象的位置進(jìn)行取舍，可求得m的值．【解答】解：∵y＝（m+1）x為正比例函數(shù)，∴m2﹣1＝1，解得m＝±，∵圖象經(jīng)過第二、四象限，∴m+1＜0，∴m＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，由正比例函數(shù)的性質(zhì)求得m的值是解題的關(guān)鍵，注意利用圖象的位置進(jìn)行取舍．18．（2021秋?金山區(qū)校級期中）如果函數(shù)y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函數(shù)．則m的值是1．【分析】由正比例函數(shù)的定義：可得m2﹣1＝0，且m+1≠0，然后解關(guān)于m的一元二次方程即可．【解答】解：由正比例函數(shù)的定義可得：m2﹣1＝0，且m+1≠0，解得，m＝1；故答案為：1．【點(diǎn)評】此題主要考查了正比例函數(shù)的定義．解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件：正比例函數(shù)y＝kx的定義條件是：k為常數(shù)且k≠0，自變量次數(shù)為1．一十．待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式（共2小題）19．（2020秋?金山區(qū)校級期中）已知點(diǎn)A（2，﹣1）在正比例函數(shù)的圖象上，則這個函數(shù)的解析式為y＝﹣x．【分析】本題可設(shè)這個正比例函數(shù)的解析式是y＝kx，因?yàn)辄c(diǎn)A（2，﹣1）在該正比例函數(shù)的圖象上，所以有﹣1＝2k，從而可求出k的值，進(jìn)而解決問題．【解答】解：設(shè)這個正比例函數(shù)的解析式是y＝kx，∵點(diǎn)A（2，﹣1）在該正比例函數(shù)的圖象上，∴﹣1＝2k，即k＝﹣，∴這個正比例函數(shù)的解析式是：y＝﹣x．故答案為：y＝﹣x．【點(diǎn)評】此類題目需靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，利用方程解決問題．20．（2019秋?嘉定區(qū)期中）已知y與x成正比例，且當(dāng)x＝3時，y＝4．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x＝﹣1時，求y的值．【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)的定義可設(shè)y＝kx，然后把x＝3時，y＝4代入可計(jì)算出k，從而可確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）把x＝﹣1代入（1）的解析式中解方程得出對應(yīng)的x值．【解答】解：（1）∵y與x成正比例，∴設(shè)y＝kx，∵當(dāng)x＝3時，y＝4，∴4＝3k，解得k＝，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝x；（2）把x＝﹣1代入y＝x得y＝﹣；【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·上海奉教院附中八年級期末）學(xué)校升旗儀式上，徐徐上升的國旗的高度與時間的關(guān)系可以用下面的一個函數(shù)圖像近似地刻畫，這個函數(shù)圖像是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)國旗上升的高度隨著時間的增長而逐漸變大可得出答案．【詳解】國旗上升的高度隨著時間的增長而逐漸變大，可知圖象如B選項(xiàng)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，掌握生活常識是關(guān)鍵．2．（2020·上海金山區(qū)·）已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，則此函數(shù)圖像必經(jīng)過（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正比例函數(shù)的解析式為，通過待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)的解析式，然后逐一代入驗(yàn)證即可．【詳解】設(shè)正比例函數(shù)的解析式為，∵正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，，，∴正比例函數(shù)的解析式為，A中，當(dāng)時，，∴函數(shù)圖象過點(diǎn)，故該選項(xiàng)正確；B中，當(dāng)時，，∴函數(shù)圖象不過點(diǎn)，故該選項(xiàng)錯誤；C中，當(dāng)時，，∴函數(shù)圖象不過點(diǎn)，故該選項(xiàng)錯誤；D中，當(dāng)時，，∴函數(shù)圖象不過點(diǎn)，故該選項(xiàng)錯誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2021·上海普陀區(qū)·八年級期末）已知，那么_______．【答案】【分析】直接將x=代入計(jì)算即可【詳解】當(dāng)x=時，f（）=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)值，涉及了二次根式直接代入求值，是基礎(chǔ)題4．（2021·上海市康城學(xué)校八年級期末）如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)自變量的次數(shù)為1，系數(shù)不等于0求解即可；【詳解】解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴m2-1=1，且，解得m=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，正比例函數(shù)的定義是形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．5．（2020·上海金山區(qū)·）若函數(shù)是正比例函數(shù)，且圖像在一、三象限，則_________．【答案】2【分析】根據(jù)自變量的次數(shù)等于1，系數(shù)大于0列式求解即可．【詳解】解：由題意得m+1>0，m2-3=1，解得m=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于y=kx（k為常數(shù)，k≠0），當(dāng)k＞0時，y=kx的圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y=kx的圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?．（2021·上海奉教院附中八年級期末）已知函數(shù)，那么______．【答案】【分析】把x=5代入計(jì)算即可．【詳解】解：把x=5代入，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值，以及分母有理化，分母有理化的方法則是把分子、分母同乘以分母的有理化因式，因此分母有理化的關(guān)鍵是找分母的有理化因式．三、解答題7．（2020·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級月考）已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q(－m，m＋3)，求m的值．【答案】m＝3.【分析】首先利用待定系數(shù)法求得正比例函數(shù)的解析式為y=﹣2x．然后將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入該函數(shù)的解析式，列出關(guān)于m的方程，通過解方程來求m的值．【詳解】設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx（k≠0）．∵它圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，2），∴2=﹣k，即k=﹣2，∴正比例函數(shù)的解析式為y=﹣2x．又∵它圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（﹣m，m+3），∴m+3=2m，∴m=3．【點(diǎn)睛】本題考查了靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，然后將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入解析式，利用方程解決問題．8．（2019·上海嘉定區(qū)·八年級期中）已知與成正比例，且當(dāng)時,.（1）求與之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)y與x的解析式是，把，代入求出k，即得到正比例函數(shù)的解析式；（2）把代入(1)中的解析式即可求出．【詳解】（1）設(shè)，把，代入得：，解得：，函數(shù)的解析式為：；（2）把代入得：，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，解一元一次方程等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出正比例函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（-3，2）和Q（-m，m-1），求m的值．【答案】3【分析】圖象經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)符合圖象解析式，據(jù)此解題，先用待定系數(shù)法設(shè)正比例函數(shù)解析式，再代入點(diǎn)坐標(biāo)求m的值即可．【詳解】設(shè)正比例函數(shù)解析式為，因?yàn)檎壤瘮?shù)的圖像過點(diǎn)P（-3，2），將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得，再代入點(diǎn)Q坐標(biāo)，即把x=-m，y=m-1代入左右兩邊，解得m=3．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)圖象性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，是典型考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（2020·上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級期末）如圖，這是一個水池存水量（萬噸）與注水或排水時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系圖象．（1）水池原有水_________；（2）向水池內(nèi)注水________小時；每小時注水_______萬噸；（3）________小時把水排空；每小時排水________萬噸．【答案】（1）100萬噸；（2）3，50；（3）5，50．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象直接可以得到水池原有水的質(zhì)量；（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接可以得到向水池內(nèi)注水3小時，注水150萬噸，然后求出每小時注水的噸數(shù)即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象直接可以得到經(jīng)過5小時將水池排空，排水250萬噸，然后求出每小時排水的噸數(shù)即可．【詳解】解：（1）根據(jù)函數(shù)圖象直接可以得到水池原有水的100萬噸故答案為100萬噸；（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接可以得到向水池內(nèi)注水3小時，注水150萬噸，然后求出每小時注水150÷3=50萬噸故答案為3，50；（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接可以得經(jīng)過5小時將水池排空，排水250萬噸，然后求出每小時排水250÷5=50萬噸故答案為5，50．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的應(yīng)用，從函數(shù)圖象上獲取所需的信息成為解答本題的關(guān)鍵．11．（2017·上海市廊下中學(xué)八年級期末）如圖，是小王和小李在一次跑步比賽中的時間和路程圖．(1)這次比賽的路程是_______米；(2)小王的平均速度是_________米/秒；(3)他們先到達(dá)終點(diǎn)的是_______；(4)小李跑步的路程(米)與時間(秒)的函數(shù)關(guān)系式是_________．【答案】(1)；(2)；(3)小李；(4)．試題分析：（1）觀察一次函數(shù)圖象易得到甲乙都跑了100米；（2）由速度=路程÷時間即可得到結(jié)論；（3）這次賽跑中先到達(dá)終點(diǎn)的是用時較少的；（4）先根據(jù)圖象得出小李跑100米用了10秒，再根據(jù)速度=路程÷時間，計(jì)算出小李的速度，即可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）根據(jù)圖象可以得到路程s的最大值是100米，因而這次賽跑的賽程為100米；（2）從圖象可知，小王跑完全程用時12秒，所以小王的速度為：100÷12=；（3）從圖象可知，小李跑完全程用時10秒，小王跑完全程用時12秒，所以先到達(dá)終點(diǎn)的是小李；（4）∵小李跑100米用了10秒，∴小李的速度=100÷10=10（米/秒）；∴S=10t．點(diǎn)睛：本題主要考查了觀察一次函數(shù)圖象，從中獲取信息的能力，以及路程、速度與時間的關(guān)系．12．（2020·上海市川沙中學(xué)南校八年級期末）小強(qiáng)騎車從家到學(xué)校要經(jīng)過一段先上坡后下坡的路，在這段路上小強(qiáng)騎車的距離s(千米)與騎車的時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖中信息回答下列問題：(1)小強(qiáng)去學(xué)校時下坡路長千米；(2)小強(qiáng)下坡的速度為千米/分鐘；(3)若小強(qiáng)回家時按原路返回，且上坡的速度不變，下坡的速度也不變，那么回家騎車走這段路的時間是分鐘.【答案】（1）2（2）0.5（3）14【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以得到下坡路的長度；（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求的小強(qiáng)下坡的速度；（3）根據(jù)題意可以求得小強(qiáng)上坡的速度，進(jìn)而求得小強(qiáng)返回時需要的時間．【詳解】（1）由題意和圖象可得：小強(qiáng)去學(xué)校時下坡路為：3﹣1=2（千米）．故答案為：2；（2）小強(qiáng)下坡的速度為：2÷（10﹣6）=0.5千米/分鐘．故答案為：0.5；（3）小強(qiáng)上坡時的速度為：1÷6=千米/分鐘，故小強(qiáng)回家騎車走這段路的時間是：=14（分鐘）．故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．13．（2019·上海松江·八年級期中）已知正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過第四象限內(nèi)一點(diǎn)，求k的值.【答案】k=-1.【分析】把x=k+2，y=7k+6代入正比例函數(shù)y=kx解答即可．【詳解】解：把x=k+2，y=7k+6代入正比例函數(shù)的y=kx，可得：7k+6=k（k+2），解得：k1＝6，k2=-1.因?yàn)檎壤瘮?shù)的y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過二，四象限，所以k＜0，所以k=-1.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式．正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該函數(shù)的解析式．14．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）等腰三角形的周長為16cm，底邊長為xcm，腰長為ycm，寫出y關(guān)于x的函數(shù)的解析式，并求x的取值范圍．【答案】，x的取值范圍是0<x<8【分析】結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可列出等腰三角形周長公式，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，從而計(jì)算得到答案．【詳解】∵等腰三角形兩邊腰長相等∴等腰三角形的周長公式：∴∵三角形兩邊之和大于第三邊∴∴∵∴∴，x的取值范圍是0<x<8．【點(diǎn)睛】本題考察了三角形、等腰三角形和一次函數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握三角形和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合一次函數(shù)，從而完成求解．15．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，求m的值．【答案】2【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義和圖象經(jīng)過象限得到關(guān)于m的方程和m的取值范圍，即可求解．【詳解】解：∵函數(shù)函數(shù)為正比例函數(shù)，∴，∴，又∵正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限，∴m＞0，∴【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，注意正比例函數(shù)是一次函數(shù)，自變量次數(shù)為1，熟知正比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2019·上海市市西初級中學(xué)八年級期末）如圖1，某容器外形可看作由三個長方體組成，其中的底面積分別為的容積是容器容積的（容器各面的厚度忽略不計(jì)）．現(xiàn)以速度(單位:）均勻地向容器注水，直至注滿為止．圖2是注水全過程中容器的水面高度(單位：）與注水時間(單位：）的函數(shù)圖象．在注水過程中，注滿所用時間為______________，再注滿又用了______________；注滿整個容器所需時間為_____________；容器的總高度為____________．【答案】（1）10，8；（2）24；（3）24【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可直接得出答案；（2）設(shè)容器A的高度為hAcm，注水速度為vcm3/s，根據(jù)題意和函數(shù)圖象可列出一個含有hA及v的二元一次方程組，求出v后即可求出C的容積，進(jìn)一步即可求出注滿C的時間，從而可得答案；（3）根據(jù)B、C的容積可求出B、C的高度，進(jìn)一步即可求出容器的高度．【詳解】解