4.3 利用導數求極值與最值（精講）（教師版）

4.3利用導數求極值與最值（精講）一．函數的極值1.定義滿足條件極小值點與極小值若函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，就把點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值極大值點與極大值若函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，就把點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值極值與極值點極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點2.求可導函數極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③確定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側導數值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．二．函數的最值1.一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值．函數的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．2.求函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：①求函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．一．運用導數求函數f(x)極值的一般步驟(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號；(5)求出極值．二．根據函數極值求參數1.列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．2.驗證：求解后驗證根的合理性．注意：對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．三．導數法求給定區(qū)間上函數的最值問題的一般步驟1.求函數f(x)的導數f′(x)；2.求f(x)在給定區(qū)間上的單調性和極值；3.求f(x)在給定區(qū)間上的端點值；4.將f(x)的各極值與f(x)的端點值進行比較，確定f(x)的最大值與最小值．四．恒成立問題向最值轉化的方法1.要使不等式f(x)<h在區(qū)間[m，n]上恒成立，可先在區(qū)間[m，n]上求出函數f(x)的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，則不等式f(x)<h恒成立；2.要使不等式f(x)>h在區(qū)間[m，n]上恒成立，可先在區(qū)間[m，n]上求出函數f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，則不等式f(x)>h恒成立．考法一利用導數求函數的極值或極值點【例1-1】（2023春·新疆）函數有（

）A．極小值0，極大值2 B．極小值，極大值4C．極小值，極大值3 D．極小值0，極大值4【答案】D【解析】，令，則，當時，，在內單調遞減，當時，，在內單調遞增，當時，，在內單調遞減，所以當時，函數有極小值，當時，函數有極大值.故選：D.【例1-2】（2023春·湖北武漢）設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（

）A．有三個極值點 B．為函數的極大值C．有一個極大值 D．為的極小值【答案】C【解析】，并結合其圖象，可得到如下情況，當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減；∴在取得極小值，在處取得極大值，只有兩個極值點，故A、B、D錯，C正確；故選:C.【一隅三反】1．（2023春·湖南）已知函數的圖象與軸相切于點，則的（

）A．極小值0，極大值 B．極小值，極大值0C．極小值0，極大值 D．極小值，極大值0【答案】C【解析】由函數，可得，因為函數的圖形與軸相切與點，可得，解得，即且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當，函數取得極大值，極大值為，當，函數取得極小值，極小值為.故選：C.2．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知定義在區(qū)間上的函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（

）A．在上有增也有減B．有2個極小值點C．D．有1個極大值點【答案】D【解析】由圖可得，當，時，，當時，.所以的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，所以有1個極大值點，1個極小值點.故A、B錯誤，而，C錯誤.故選：D3．（2023春·天津武清）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上單調遞增B．在區(qū)間上單調遞增C．為的極小值點D．為的極大值點【答案】D【解析】對于A，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，A錯誤；對于B，當時，，在上單調遞減，B錯誤；對于C，在上單調遞減，不是的極小值點，C錯誤；對于D，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，是的極大值點，D正確.故選：D.考法二已知極值（點）求參數【例2-1】（2023春·吉林）已知函數的圖象與軸相切于點，則的（

）A．極小值0，極大值 B．極小值，極大值0C．極小值0，極大值 D．極小值，極大值0【答案】C【解析】由函數，可得，因為函數的圖形與軸相切與點，可得，解得，即且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當，函數取得極大值，極大值為，當，函數取得極小值，極小值為.故選：C.【例2-2】（2023春·內蒙古）已知函數的圖象與軸相切于點，則的（

）A．極小值0，極大值 B．極小值，極大值0C．極小值0，極大值 D．極小值，極大值0【答案】C【解析】由函數，可得，因為函數的圖形與軸相切與點，可得，解得，即且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當，函數取得極大值，極大值為，當，函數取得極小值，極小值為.故選：C.【例2-3】．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）若函數既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【解析】函數的定義域為，求導得，因為函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD【一隅三反】1．（2023春·海南）已知函數的圖象與軸相切于點，則的（

）A．極小值0，極大值 B．極小值，極大值0C．極小值0，極大值 D．極小值，極大值0【答案】C【解析】由函數，可得，因為函數的圖形與軸相切與點，可得，解得，即且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當，函數取得極大值，極大值為，當，函數取得極小值，極小值為.故選：C.2．（2023·遼寧）已知函數的導數，若在處取到極大值，則a的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意當時不成立，當時有兩個零點與.①當時，開口向上，且，故當時，時，在處取到極大值；②當時，開口向下；當時，，無極大值；當時，在區(qū)間上，上，故在處取到極大值；當時，在區(qū)間上，上，故在處取到極小值.綜上有或.故答案為：3．（2023春·黑龍江）已知函數在處有極大值，則______.【答案】【解析】由已知，可得，令，解得或，由可得，，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，不是極大值點，舍去；由可得，，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，所以是函數的極大值點綜上．故答案為：．考法三利用導數求函數的最值【例3】（2023春·云南）函數在區(qū)間上的最小值是（

）A．4 B．5 C．3 D．1【答案】A【解析】,當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以在區(qū)間上的最小值是.故選：A【一隅三反】1．（2023·上海普陀·上海市宜川中學校考模擬預測）函數的最大值為__________．【答案】/【解析】，設，，令，得或，所以當時，，即在和上單調遞減，當時，，即在上，單調遞增，又因為，，所以的最大值為，故答案為：．2．（2023春·湖北）已知函數的圖象與直線相切.(1)求的值；(2)求函數在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）依題意設與相切于點，又，∴，①，②將①②聯(lián)立得，又，∴代入①得；（2）由（1）知：，且，又在上單調遞增，∴，，則單調遞減，∴時，，則單調遞增，而，∴.3．（2023春·重慶永川）設(1)求函數的單調遞增區(qū)間；(2)若函數的極大值為，求函數在上的最小值．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為和；(2).【解析】（1），由得或，所以的單調遞增區(qū)間為和；（2）由Ⅰ知函數在處取得極大值，即，得，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，，所以在上的最小值為．考法四已知最值求函數的參數【例4-1】（2023春·吉林長春）若函數在上有最小值，則實數的取值范圍是_____.【答案】【解析】，令得，時，時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，若函數在上有最小值，則其最小值必為，則必有且，解得，故答案為：.【例4-2】（2023春·新疆）已知是奇函數，當時，，當時，的最小值為1，則a的值等于（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由奇函數性質知，當時，的最大值為.令.當0<x<時，，在遞增；當時，，在遞減.∴.故選：D【例4-3】（2023·甘肅金昌）已知函數在上單調遞增，且在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】1.因為，則，若在上單調遞增，則在上恒成立，即恒成立，則，解得；2.因為，則，①當時，對任意恒成立，所以在上單調遞增，此時只有最大值，沒有最小值不滿足題意；②當時，對任意恒成立，所以在上單調遞減，此時只有最小值，沒有最大值不滿足題意；③當時，令，解得；令，解得；則在單調遞增，在單調遞減，所以為最小值，若在上既有最大值，又有最小值，則且，解得：；綜上所述：．故選：B.【一隅三反】1．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數在時取得最值，則圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，當時定義域上單調，無最值；當時，不合題設；所以，對于為單調函數，函數值有正有負，要使時取得最值，只需，則，所以，經檢驗滿足題設，故，，所以，，故處的切線方程為，即.故選：B2．（2023春·山東聊城·高二山東省聊城第三中學?？计谥校┤艉瘮翟趨^(qū)間(,)內存在最小值，則實數的取值范圍是（

）A．[－5,1) B．(－5,1)C．[－2,1) D．(－2,1)【答案】C【解析】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得極小值，令，解得或，若函數在(,)內存在最小值，則，得．故選：C3．（2023·陜西寶雞·?？寄M預測）當時，函數取得最大值，則（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因為函數定義域為，所以依題可知，，而，所以，即，所以，因此當時，,故函數在遞增；時，,故函數在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有；故選：C．考法五極值最值綜合運用【例5-1】（2023春·上海松江）函數的導函數的圖像如圖所示，給出下列命題：①是函數的極小值點；②是函數的最小值點；③在區(qū)間上嚴格增；④在處切線的斜率小于零.以上所有正確命題的序號是__________.【答案】①③【解析】有圖像可知，的左側導數值為負，右側為正，故是函數的極小值點；的左右兩側導數值均為正，故不是函數的最值點；在區(qū)間導數值為正，故在區(qū)間上嚴格增；，故在處切線的斜率大于零.故正確命題的序號是①③.故答案為：①③.【例5-2】（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃ǘ噙x）已知函數，為的導函數，則（

）A．的最小值為2 B．在單調遞增C．直線與曲線相切 D．直線與曲線相切【答案】ABD【解析】對于A，，當且僅當即時，等號成立，故A正確；對于B，，令，，故在單調遞增，即在單調遞增，故B正確；對于C，設，，在R上單調遞增，，，又，所以，所以存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；又，，，所以，使得，所以方程有兩個實數根和，所以與函數有兩個交點，.又，，，所以函數在與交點處的切線斜率都不為.故C錯誤.對于D，設切點為，由，，故，所以，解得，則切點為，曲線的切線方程為，故D正確；故選：ABD.【例5-3】（2023春·吉林）已知函數(1)當時，求的極值；(2)討論的單調性；(3)若，求在區(qū)間的最小值.【答案】(1)，【解析】（1）當時定義域為R，且，所以當或時，當時，所以在處取得極大值，在處取得極小值，即，；（2）函數定義域為R，則，令，解得或，①當時，則當或時，，當時，，所以的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為；②當時，恒成立，所以在R上單調遞增；③當時，當或時，，當時，，所以的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，綜上可得當時的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為；當時在R上單調遞增；當時的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；（3）因為，由（2）可得的單調增區(qū)間