2020-2021學年江蘇省南通市通州高級中學高一上學期期中數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年江蘇省南通市通州高級中學高一上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得，進而求得.【詳解】依題意得，又，所以.故選：B.2．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)有意義列出不等式組求解即可.【詳解】解：有意義，則得，故選：A.3．函數(shù)的最小值為（）A．9 B．6 C．5 D．2【答案】C【分析】本題可通過基本不等式求出最值.【詳解】因為，所以，則，當且僅當時取等號，故函數(shù)的最小值為.故選：C.4．已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，則m的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求m的取值集合.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當時，，函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，當時，，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點.所以的取值集合是.故選：B5．已知，則的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】求出，即得解.【詳解】令，所以，所以.故選：B6．已知，，，則的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】證明，即得解.【詳解】由題得，，，所以.故選：C7．函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖像為A． B．C． D．【答案】A【詳解】,則函數(shù)是偶函數(shù)，故排除C、D；令x=1，則,故排除B，則A正確.本題選擇A選項.8．已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，當時，.若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，再將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為自變量的大小，分參轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進而得到答案.【詳解】因為在單調(diào)遞增（增＋增），且函數(shù)是R上的奇函數(shù)，容易判斷函數(shù)在R上是增函數(shù).對任意的,問題，記，則問題因為，當且僅當時取“=”，所以.故選：D.【點睛】本題較為綜合，到這一步都是比較正常的思路，接下來注意齊次式的處理方式，，目的是為了消元（看成一個量），下一步的換元一定要注意要把分母整體換元，這樣后面的運算會簡單，最后結(jié)合基本不等式或者導數(shù)解決即可.二、多選題9．已知函數(shù)若，則實數(shù)的值（）A． B． C．2 D．【答案】AC【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類討論分別計算可得；【詳解】解：因為且，所以解得，或解得，或解得（舍去），綜上可得或故選：AC10．已知命題(e為自然對數(shù)的底數(shù))，命題，若命題p與命題q均為真命題，則實數(shù)a的可能取值為（）A．e B． C． D．4【答案】ACD【分析】化簡得命題，命題，即得解.【詳解】因為(e為自然對數(shù)的底數(shù))，所以；因為，所以.所以.故選：ACD11．下列命題正確的是（）A．B．函數(shù)與表示同一個函數(shù)C．若，則D．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為4【答案】ABD【分析】A.利用分數(shù)指數(shù)冪的互化公式計算；B.利用函數(shù)相等的定義判斷；C.利用換底公式以及對數(shù)運算公式計算；D.利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的最值判斷.【詳解】A.根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的運算公式可知正確，故A正確；B.，根據(jù)函數(shù)相等的定義，可知與表示同一個函數(shù)，故B正確；C.，故C不正確；D.首先設，函數(shù)的定義域是，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，的最大值和最小值互為相反數(shù)，即的最大值和最小值之和為0，所以的最大值和最小值的和為4，故D正確.故選：ABD12．已知，且，則下列正確的是（）A．的最大值為5B．的最大值為C．的最小值為6D．的最小值為【答案】BCD【分析】利用基本不等式對四個選項判斷即可.【詳解】因為，，則，所以，當且僅當，取等號.對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：因為，所以，故B正確；對于選項C：，當且僅當，取等號.故C正確；對于選項D：，當且僅當，取等號，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．命題“”的否定是___________.【答案】【分析】特稱命題的否定將存在改任意，只否定結(jié)論.【詳解】的否定為：故答案為：.14．已知集合，，則___________.【答案】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出集合A，再求交集.【詳解】，所以.故答案為：.15．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.【答案】【分析】將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷；【詳解】解：因為，所以函數(shù)圖象如下所示：由函數(shù)圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：16．若函數(shù)與對于任意，都有，則稱函數(shù)與是區(qū)間上的“階依附函數(shù)”.已知函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，設，研究的最小值即可．【詳解】解：因為函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，所以在上恒成立，又在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，即在上恒成立，，令，，設，易知在上單調(diào)遞增，所以，所以，故答案為：．四、解答題17．在①充分不必要；②必要不充分；③充要這三個條件中任選一個，補充到下面的橫線中，求解下列問題：已知集合，.（1）若，求；（2）是否存在實數(shù)a，使得是的條件.若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由.(注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分)【答案】（1）；（2）選①；選②；選③不存在，理由見解析.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，，再求即可.（2）若選①，得到，再解不等式組即可；若選②得到，再解不等式組即可；若選③，得到，再解方程組即可.【詳解】（1），，所以.（2）若選①，是的充分不必要條件，所以.若選②，是的必要不充分條件，所以.若選③，是的充要條件，所以，無解.18．已知函數(shù).（1）若函數(shù)定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，若的定義域為R，則恒成立，即可求實數(shù)a的取值范圍（2）當a＝1時，利用復合函數(shù)單調(diào)性和值域的關系即可求的值域．【詳解】解：（1）若的定義域為R，則恒成立，若a＝0，則不等式等價為3＞0，滿足條件．若a≠0，則不等式滿足，即，解得，綜上．（2）當a＝1時，，設，則，∴，故的值域為．19．（1）判斷并證明函數(shù)在定義域上的奇偶性；（2）已知奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見解析；（2）.【分析】（1）本題可根據(jù)證得函數(shù)是偶函數(shù)；（2）本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)單調(diào)性得出，最后分為、兩種情況進行計算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù).（2）因為奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則，即，，，若，即，則，無解；若，即，則，解得，實數(shù)的取值范圍為，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.20．中國南通江海英才創(chuàng)業(yè)周暨園區(qū)人才發(fā)展大會在南通國際會議中心啟幕，年以來，江海英才創(chuàng)業(yè)周已成功舉辦九屆，先后吸引來自世界各地超萬名高端人才、上千家名優(yōu)企業(yè)、數(shù)百家創(chuàng)投機構參會參賽，多個人才項目落戶南通，在本屆活動上，南通某企業(yè)與某跨國公司簽訂合作協(xié)議，計劃從年與公司合作生產(chǎn)高科技產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品預計全年需投入固定成本萬元，每生產(chǎn)千臺該產(chǎn)品，需另投入資金萬元，且，經(jīng)測算生產(chǎn)千臺該產(chǎn)品另投入的資金為萬元，企業(yè)規(guī)定每千臺產(chǎn)品售價為萬元，假設當年內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品當年全部售完.（1）求年的企業(yè)利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)關系式；（2）當年產(chǎn)量為多少（千臺）時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大年利潤是多少？（注：利潤銷售額成本）【答案】（1）；（2）當年產(chǎn)量為千臺時，企業(yè)所獲得的利潤最大，最大年利潤是萬元.【分析】（1）本題首先可根據(jù)生產(chǎn)千臺該產(chǎn)品另投入的資金為萬元求出，然后根據(jù)“利潤銷售額成本”即可得出；（2）本題可分為、兩種情況進行討論，然后根據(jù)配方法以及基本不等式法求出最值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為生產(chǎn)千臺該產(chǎn)品另投入的資金為萬元，所以，解得，，當時，；當時，，綜上所述，.（2）當時，，則當時，，當時，，因為，所以，當且僅當時等號成立，則，，因為，所以當年產(chǎn)量為千臺時，企業(yè)所獲得的利潤最大，最大年利潤是萬元.21．已知定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足(且)，且.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）判斷并證明函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（3）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.【答案】（1）和；（2）增函數(shù)，證明見解析；（3）.【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的定義列出方程組求解即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)證明即可；（3）通過代換轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問題進行求解【詳解】（1）由(且)，可得，又是偶函數(shù)和是奇函數(shù)，故(且)，由解得，由，解得（2）在上遞增，證明如下：設，則在上是增函數(shù)（3）令，則令，，若，則，則，若，則，則，22．已知二次函數(shù).（1）若的解集為，求的值；（2）若，且函數(shù)的值域為，求的最小值；（3）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）的解集為，則為函數(shù)的兩根，利用韋達定理求得結(jié)果；（2）函數(shù)的值域為，則，即，將用替換后利用柯西不等