3.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第一冊）

高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)第三章：圓錐曲線的方程3．1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(diǎn)(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)考點(diǎn)二：直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個關(guān)于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關(guān)系、對應(yīng)一元二次方程解的個數(shù)及Δ的取值的關(guān)系如表所示．直線與橢圓解的個數(shù)Δ的取值兩個不同的公共點(diǎn)兩解Δ>0一個公共點(diǎn)一解Δ＝0沒有公共點(diǎn)無解Δ<0重難點(diǎn)技巧：弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長．(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．【題型歸納】題型一：橢圓的焦點(diǎn)、焦距1．（2021·全國高二課時練習(xí)）以橢圓的兩個焦點(diǎn)及短軸的兩個端點(diǎn)為四個頂點(diǎn)的橢圓方程是（）A． B．C． D．2．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知F是橢圓的一個焦點(diǎn)，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為（）A．6 B．15 C．20 D．123．（2021·全國）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．題型二：橢圓的頂點(diǎn)，長短軸4．（2021·全國）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則（）A．2 B．2 C． D．45．（2021·南京市第十三中學(xué)高二開學(xué)考試）橢圓與關(guān)系為（）A．有相等的長軸 B．有相等的短軸C．有相等的焦點(diǎn) D．有相等的焦距6．（2021·內(nèi)蒙古包頭·高二期末（文））、是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的動點(diǎn)．若面積的最大值為8，則橢圓長軸長的最小值為（）A．32 B．16 C．8 D．4題型三：橢圓的范圍問題7．（2021·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高二月考（文））橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上一動點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．（2021·江蘇鼓樓·金陵中學(xué)高二期末）設(shè)橢圓，已知點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上的點(diǎn)，若的最大值為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．（2021·安徽省泗縣第一中學(xué)高二期末（理））已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，一個頂點(diǎn)為，設(shè)，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，若恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．題型四：橢圓的離心率問題10．（2021·福建省寧化第一中學(xué)高二月考）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．（2021·全國高二課時練習(xí)）橢圓的中心O與一個焦點(diǎn)F及短軸的一個端點(diǎn)B組成等腰直角三角形FBO，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．12．（2021·蒲城縣堯山中學(xué)高二月考（文））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．題型五：橢圓的中點(diǎn)弦問題13．（2021·全國高二專題練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為（）A． B．C． D．14．（2021·全國高二課前預(yù)習(xí)）直線y＝x＋1被橢圓＋＝1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B．C． D．15．（2021·南京市中華中學(xué)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，若P為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系問題16．（2021·江蘇南京·高二月考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且該橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓左焦點(diǎn)為F，過F作直線l與橢圓交于A?B兩點(diǎn)，若弦AB中點(diǎn)在直線上，求直線l的方程.17．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.18．（2021·鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校（文））已知橢圓的短軸長為，離心率為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，且，均位于第四象限，求的取值范圍.題型七：橢圓的定點(diǎn)、定值、最值問題19．（2021·綏德中學(xué)高二月考（理））已知橢圓的離心率是，一個頂點(diǎn)是.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)P，Q是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，且，求證：直線PQ恒過定點(diǎn).20．（2021·四川省新津中學(xué)高二月考（文））已知橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）①當(dāng)時，求弦長(用表示)；②已知點(diǎn)，若為定值，求面積的最大值．21．（2021·綏德中學(xué)高二月考（理））設(shè)橢圓的離心率，過點(diǎn)A（1，）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.題型八：橢圓中的向量問題22．（2021·九龍坡·重慶市育才中學(xué)高二月考）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓，其右焦點(diǎn)為，為橢圓（一象限部分）上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，，面積為．（1）求橢圓的方程；（2）過做圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，求的值．23．（2021·石門縣第六中學(xué)）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形，且橢圓C的短軸長為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.24．（2021·安徽華星學(xué)校高二期中（理））已知橢圓的焦距為4，過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，求的取值范圍．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題25．（2021·全國高二課時練習(xí)）橢圓與的關(guān)系為（）A．有相同的長軸長與短軸長 B．有相同的焦距C．有相同的焦點(diǎn) D．有相同的離心率26．（2021·全國高二課時練習(xí)）如圖所示，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，直線與BF交于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．27．（2022·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．28．（山東省2021-2022學(xué)年高二10月“山東學(xué)情”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（D））已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓的直徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．29．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．30．（2021·全國）設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．31．（2021·全國高二單元測試）若用周長為24的矩形截某圓錐，所得截線是橢圓，且與矩形的四邊相切．設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，若的離心率為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．32．（2021·廣西高三開學(xué)考試（理））已知，是橢圓C：的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，且，則（）A．1 B．2 C．4 D．33．（2021·河北張家口·高二期末）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，以為直徑的圓交直線于點(diǎn)B（不同于原點(diǎn)O），設(shè)的面積為S．若，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．34．（2022·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的長軸長為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為，當(dāng)時，則橢圓方程為（）A． B．C． D．35．（2021·九龍坡·重慶市育才中學(xué)高二月考）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最小值為（）A． B． C． D．【高分突破】一：單選題36．（2021·全國高二課時練習(xí)）過橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長是（）A． B． C． D．37．（2021·全國高二單元測試）已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．38．（2021·蒲城縣堯山中學(xué)高二月考（文））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若的周長為，則橢圓C的方程為（）A． B．C． D．39．（2021·荊州市沙市第五中學(xué)高二期中）過原點(diǎn)的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)，是橢圓上異于，的任一點(diǎn).若直線，的斜率之積為，則橢圓的方程可能為（）A． B．C． D．40．（2021·全國高二課時練習(xí)）設(shè)橢圓＝1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R＝4r時，橢圓的離心率為（）A． B． C． D．41．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知直線，若橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值之和為，則唨圓的離心率范圍是（）A． B．C． D．42．（2021·浙江高二學(xué)業(yè)考試）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在y軸上，線段交橢圓于點(diǎn)Q．若，，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．二、多選題43．（2021·全國高二課時練習(xí)）（多選）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，則（）A．當(dāng)時，滿足的點(diǎn)有2個B．當(dāng)時，滿足的點(diǎn)有4個C．的周長小于D．的面積大于等于44．（2021·全國）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率可以是（）A． B． C． D．45．（2021·全國高二期中）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A．過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為346．（2021·全國高二期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且圓上的所有點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長軸長恰與圓的直徑長相等，則下列說法正確的是（）A．橢圓的焦距為 B．橢圓的短軸長為C．的最小值為 D．過點(diǎn)的圓的切線斜率為47．（2021·湖南長沙·）已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過F2交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為8，則（）A．橢圓焦距為 B．橢圓方程為C．弦長 D．48．（2021·全國高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（）A．的最小值為B．橢圓的短軸長可能為C．橢圓的離心率的取值范圍為D．若，則橢圓的長軸長為三、填空題49．（2021·全國高二課時練習(xí)）橢圓短軸的一個端點(diǎn)與長軸兩端點(diǎn)的連線成120°角，則橢圓的離心率為________．50．（2021·江蘇廣陵·揚(yáng)州中學(xué)高二月考）橢圓（）的兩個焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且，則的最大值為___________.51．（2021·全國）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的離心率，則橢圓的方程為______．52．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率為的直線過，且與橢圓的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn)．若，則橢圓的離心率的取值范圍為______．53．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，．是圓上不同于，兩點(diǎn)的動點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)．若直線斜率的取值范圍是，則直線斜率的取值范圍是______．四、解答題54．（2020·梅河口市朝鮮族中學(xué)高二期末（理））已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.55．（2020·全國高二課時練習(xí)）設(shè)橢圓，右頂點(diǎn)是，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn))，若，求證:直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).56．（2020·揭西縣河婆中學(xué)）已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.57．（2021·廣西崇左高中（理））設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.58．（2019·安徽省懷寧中學(xué)高二月考（理））已知橢圓C：(a>b>0)的一個頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)△AMN的面積為時，求k的值．59．（2020·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校高二月考（理））已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，問軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.60．（2020·蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，該橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)）且，求證：直線過定點(diǎn)；并求出斜率的取值范圍.【答案詳解】1．B【詳解】橢圓的兩個焦點(diǎn)，短軸的兩個端點(diǎn)，則以點(diǎn)及為四個頂點(diǎn)的橢圓長軸長，短軸長，其焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，方程為，所以所求的橢圓方程是：.故選：B2．D【詳解】顯然直線AB不垂直y軸，橢圓中心為原點(diǎn)O，設(shè)直線AB的方程為：x=my，由消去y得：，設(shè)，由橢圓對稱性，不妨令，焦點(diǎn)，△ABF的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以△ABF面積的最大值為12.故選：D3．B【詳解】橢圓可化為，知焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可設(shè)所求橢圓的方程為，則．又，即，∴，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B4．C【詳解】將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，所以，解得，故選：C．5．D【詳解】解：橢圓的長軸為10，短軸為6，焦距為8，焦點(diǎn)分別為，橢圓的長軸為，短軸為，焦距為8，焦點(diǎn)分別為，所以兩橢圓的焦距相同，故選：D6．C【詳解】由題意可知，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即橢圓長軸長的最小值為，故選：C.7．C【詳解】設(shè)，由題意可得,因?yàn)槭氢g角，所以，所以，所以，所以，得，所以，故選：C8．A【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，可得，，因?yàn)榈淖畲笾禐?，則關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值為.因?yàn)椋瑒t二次函數(shù)的圖象開口向下.①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，合乎題意；②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)，解得（舍去）.綜上所述，.故選：A.9．B【詳解】由已知條件可得，，則，橢圓的方程為.設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，因?yàn)?，所?①當(dāng)時，即當(dāng)時，可得，此時；②當(dāng)時，即當(dāng)時，可得，而，故，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.10．A【詳解】取橢圓的右焦點(diǎn)，連接，由橢圓的對稱性以及直線經(jīng)過原點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，又因?yàn)?，則，而，因此，由于，則，在中結(jié)合余弦定理可得，故，即，所以，因此，故選：A.11．D【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，因橢圓的中心O與一個焦點(diǎn)F及短軸的一個端點(diǎn)B組成等腰直角三角形FBO，則有b=c，而，于是得，所以橢圓的離心率是.故選：D12．B【詳解】由題設(shè)知是直角三角形，，，，，．又由橢圓的定義，得，，故．故選：B．13．C【詳解】設(shè)點(diǎn)、，由已知可得，因?yàn)辄c(diǎn)、都在橢圓上，則，兩式作差可得，即，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：C.14．C解析聯(lián)立消去y，得3x2＋4x－2＝0，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，故AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0＝＝－.縱坐標(biāo)y0＝x0＋1＝－＋1＝.15．D【詳解】直線過點(diǎn)，令則，所以，即.設(shè)，則，兩式相減并化簡得，所以，，所以橢圓的方程為.故選：D16．（1）；（2）或.（1）方法一：由題意，橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為：，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，可得，又由及，解得，，所以橢圓的方程為.方法二：由題意，橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)為，所以，得所以所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線與x軸重合時不滿足題意；當(dāng)直線與x軸不重合時，設(shè)直線方程為，由消化簡得設(shè)，得，因?yàn)橄抑悬c(diǎn)在直線，所以解得，所以直線的方程為或.17．（1）；（2）.【詳解】（1）由題意可知，，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立，消去，得.因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，所以，所以，.則，，，，，所以，，則.∴，即.設(shè)，是的兩根，∴.當(dāng)直線斜率不存在時，聯(lián)立，得.不妨設(shè)，，則，，.此時為定值，不存在最大值與最小值.綜上所述：.18．（1）；（2）【詳解】（1）由題意可得，又，，解得，所以橢圓方程為.（2）設(shè)直線方程為，則，消可得，因?yàn)橹本€交于，兩點(diǎn)，且，均位于第四象限，如圖：則，且，解得，所以，綜上所述，的取值范圍為19．（1）橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，所以橢圓方程為.（2）依題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去并化簡得，則①，，即.因?yàn)?，且直線的斜率均存在，所以，整理得②，因?yàn)?，所以，，代入②整理得：，將①代入上式并化簡得，解得或（舍去），使成?所以直線恒過定點(diǎn).20．（1）；（2），．解：（1）設(shè)，∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，∴，又橢圓的離心率為，得，于是有，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，直線的方程為，由，整理可得，所以，，①當(dāng)時，；②，，所以，要使為定值，則，解得或(舍)，所以點(diǎn)到直線的距離，∴的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故面積的最大值為．21．（1）；（2）為定值.解：（1）因?yàn)椋寓?，將A（1，）代入得②，又③，由①②③解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，直線得方程為，聯(lián)立，得，則，由B、E、M三點(diǎn)共線，可知，即，同理可得：，則，，所以.所以為定值.22．（1）；（2）．（1）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則，又，則，又，則，則，故，則橢圓方程為．（2），則，代入橢圓得，故，，又過做圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，則，設(shè)，，23．（1）；（2）存在，.【詳解】（1）由題意得：，解得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，不符合題意當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，由消整理得：，解得或，∴∵∴解得，滿足所以存在符合題意的直線，其方程為.（Ⅰ）；（Ⅱ）解：(Ⅰ)橢圓的焦距是，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是，由題可得，橢圓過點(diǎn)，橢圓的方程是(Ⅱ)由題易得，左焦點(diǎn)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為若直線垂直于軸，則點(diǎn)若直線不垂直于軸，可設(shè)的方程為設(shè)點(diǎn)將直線的方程代入橢圓的方程得到則.，的取值范圍是25．D解：將橢圓與變形為與，由可得，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為；由可得，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為；故選：D.26．B【詳解】解：設(shè)左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)則直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，故選：B．27．C在橢圓的長軸端點(diǎn)處向圓引兩條切線，，若橢圓上存在點(diǎn)，使過的兩條切線互相垂直，則只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故選：C28．B圓方程可整理為：，圓的半徑為，，解得：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B29．C連接A，B與左右焦點(diǎn)F，的連線，由，由橢圓及直線的對稱性知：四邊形為平行四邊形，且，在△中，，∴，可得，即，則，∴橢圓的離心率，故選：C．30．C當(dāng)時，，由條件知，解得；當(dāng)時，，由條件知，解得，綜上知C正確．故選：C．31．A【詳解】解：由已知得，即①，由及，得②，聯(lián)立①②，解得，，所以橢圓的方程為，故選：A．32．B【詳解】由可設(shè)，則，由橢圓的定義得，，，從而，所以，故，所以.故選：B.33．D【詳解】依題意，得，∴點(diǎn)A到直線的距離，在中，∵，，∴，∵，∴，其中，∴，∴，即，得，∴或（舍）∴離心率為.故選：D.34．D由長軸長為4得，解得，設(shè)，直線l方程為，，，則，，由得，，即，所以①，又P在橢圓上，所以，即，代入①式得，即，因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以該式恒成立與無關(guān)，所以，解得，所以所求橢圓方程為．故選：D．35．D【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，得，圓的圓心，半徑為，則，令，對稱軸為，所以當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：D36．A顯然過橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，由消去x并整理得：，設(shè)直線l與橢圓交于點(diǎn)，則有，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，于是，當(dāng)，即直線l垂直于x軸時，，所以過橢圓的焦點(diǎn)的最短弦是與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦，最短弦長是.故選：A37．A【詳解】由題意，橢圓，可得，，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因?yàn)?，所?故選：A.38．B【詳解】由題知：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B39．B【詳解】設(shè)，，則，所以，所以即.故選：B.40．B【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），|F1F2|＝2c，根據(jù)正弦定理可得2R＝＝＝，∴R＝，r＝R＝．設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，∴mn＝，∴＝mnsin＝，又＝(m+n+2c)?r＝，∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，解得：e＝或e＝﹣1（舍）．故選：B．41．A【詳解】解：聯(lián)立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，因?yàn)橹本€l與橢圓C相離或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，∴1<a2≤3，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，sinθ），則點(diǎn)到直線l的距離，其中，d的最小值?最大值分別為：，，滿足最大值與最小值之和為，∴1<a2≤3，.故選：A.42．D解：由題意得，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，化簡得，，因?yàn)?，所以，，得，解得或（舍去）故選：D43．ABC對于選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時，最大，且當(dāng)時，，易知選項(xiàng)A和B正確；對于選項(xiàng)C，的周長為，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，的面積為，故選項(xiàng)D錯誤．故選：ABC.44．CD由橢圓的定義，可得．又，所以，．①當(dāng)點(diǎn)與，不共線時，在中，，即，所以．②當(dāng)點(diǎn)與，共線時，分析知，，所以，即，所以．綜上，橢圓的離心率的取值范圍是，故選：CD．45．ABD【詳解】對于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD．46．AD【詳解】對于A：因?yàn)闄E圓的長軸長與圓的直徑長相等，所以，即，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，所以，所以，解得或，因?yàn)?，所以，即橢圓的焦距為，故A正確；對于B：由，所以橢圓的短軸長為，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，則直線方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意.設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，則，解得，故D正確.故選：AD.47．BC【詳解】因?yàn)榈闹荛L為8，所以，得，因?yàn)檫^右焦點(diǎn)F2，所以，所以，所以橢圓焦距為，故A錯誤；所以橢圓方程為，故B正確；設(shè)，由得，解得，，故C正確；原點(diǎn)到直線的距離為，所以，故D錯誤.故選：BC.48．AD【詳解】由可得，因?yàn)?，所以軸，對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時取到最小值為，故選項(xiàng)A正確；對于B：因?yàn)樵跈E圓內(nèi)所以，所以短軸長，故選項(xiàng)B不正確；對于C：因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以長軸長，所以離心率，所以，故選項(xiàng)C不正確；對于D：因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，而，，，所以，所以長軸長，故選項(xiàng)D正確；故選：AD.49．【詳解】依題意，設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，方程為，橢圓的端點(diǎn)為，，于是得是等腰三角形，，，而，則有，離心率，所以橢圓的離心率為.故答案為：50．【詳解】由橢圓的定義可得，又，可得，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以的最大值為.故答案為：.51．【詳解】由，得，化簡得．又，所以，所以，所以橢圓的方程為．故答案為：．52．【詳解】設(shè)直線的方程為，則，．又在橢圓上，∴，即，變形得，于是，∴，解得．又，∴，從而得，故橢圓的離心率的取值范圍為．故答案為：53．由題可知，，設(shè)，則，，所以．因?yàn)椋?，即①因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以．②