3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)重難點(diǎn)手冊（圓錐曲線篇人教A版2019選擇性必修第一冊）

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)知識儲備雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±xy＝±x離心率e＝，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長若將雙曲線的定義中的“差的絕對值等于常數(shù)”中的“絕對值”去掉，則點(diǎn)的集合是雙曲線的一支，具體是左支還是右支視情況而定．設(shè)雙曲線上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為2a，則0＜2a＜|F1F2|，這一條件不能忽略．①若2a＝|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；②若2a＞|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡不存在；③若2a＝0，則點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.[熟記常用結(jié)論]1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為；異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝，其中θ為∠F1PF2.5．若P是雙曲線(a＞0，b＞0)右支上不同于實軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值a.6．等軸雙曲線(1)定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．(2)性質(zhì)：①a＝b；②e＝；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項．7．共軛雙曲線(1)定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．(2)性質(zhì)：①它們有共同的漸近線；②它們的四個焦點(diǎn)共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.典例剖析eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì))[考法全析]考法(一)求雙曲線的離心率(或范圍)[例1](1)已知點(diǎn)F是雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋) D．(1,1＋)(2)設(shè)雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F，直線4x－3y＋20＝0過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，O為原點(diǎn)，|OP|＝|OF|，則雙曲線C的離心率為()A．5 B.C. D.【答案】BA【解析】(1)若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，則＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，則e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，則1＜e＜2，故選B.(2)根據(jù)直線4x－3y＋20＝0與x軸的交點(diǎn)F為(－5,0)，可知半焦距c＝5，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F2，連接PF2，根據(jù)|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2為直角三角形，如圖，過點(diǎn)O作OA垂直于直線4x－3y＋20＝0，垂足為A，則易知OA為△PFF2的中位線，又原點(diǎn)O到直線4x－3y＋20＝0的距離d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故結(jié)合雙曲線的定義可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.考法(二)求雙曲線的漸近線[例2](2020·武漢調(diào)研)已知雙曲線C：(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0【答案】A【解析】由題意知，橢圓中a2＝25，b2＝16，∴橢圓的離心率e＝＝，∴雙曲線的離心率為＝，∴，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故選A.考法(三)求雙曲線的方程[例3]已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由離心率為，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由題意知kPF＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以雙曲線的方程為.[規(guī)律探求]看個性考法(一)：求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)；考法(二)：求漸近線時，利用c2＝a2＋b2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的方程．雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系：k＝±＝±＝±＝±；考法(三)：求雙曲線的方程時，將已知條件中的雙曲線的幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2，列出未知參數(shù)的方程，解方程后即可求出雙曲線方程找共性求解雙曲線的幾何性質(zhì)問題，其通用的方法是利用方程思想解題，其思維流程是：能力檢測姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn).已知點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，，不共線，若的周長的最小值是，則雙曲線的離心率是（）A．3 B． C．5 D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)為的左焦點(diǎn)，連接，，則，，所以的周長.因為，所以的周長.因為的周長的最小值是，所以，所以，所以雙曲線的離心率是.故選D2．已知點(diǎn)為雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)到漸近線的距離是點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離的一半，則雙曲線的離心率為（）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，即.∵點(diǎn)到漸近線的距離是點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離的一半∴，即.∴，即.∴∴雙曲線的離心率為.故選B.3．已知雙曲線，其虛軸長為2，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由題可知，因為虛軸長為2，所以，所以，得，所以離心率，故選：A4．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線距離為（）A． B． C．4 D．3【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，可以求得點(diǎn)到直線的距離為，故選：B.5．當(dāng)變化時，對于雙曲線，值不變的是（）A．實軸長 B．虛軸長 C．焦距 D．離心率【答案】D【解析】由題意可得，故選：D.6．雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】由題知：，，則，所以.故選：B7．已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)M既在雙曲線上，又在拋物線上，設(shè)的左、右焦點(diǎn)分別為、，若的焦點(diǎn)為，且是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為的左、右焦點(diǎn)分別為、，的焦點(diǎn)為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，又因為是以為底邊的等腰三角形，過M作MA垂直準(zhǔn)線，如圖所示：則，所以四邊形是正方形，則是等腰直角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得.故選：A8．已知F為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與圓于A，B兩點(diǎn)（A在F，B之間），與雙曲線E在第一象限的交點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由圓的方程，得圓的半徑為．過作的垂線，則為的中點(diǎn)，又，為的中點(diǎn)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，則為三角形的中位線，可得，則，由，可得．，則，由勾股定理可得：，整理得：．解得：或（舍．故選：．9．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為雙曲線的離心率，所以，，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選B.10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)圓與三角形的邊分別切于，，，如圖所示：連接，，，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：，，，所以，，所以，由雙曲線的定義可知：，所以可得，重合，所以，所以.故選：．11．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為可化為，所以，則.故選：B.二、多選題12．曲線與的離心率分別為，，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由曲線，可得，則，可得離心率，由曲線，可得，則，可得離心率，因為，故A錯誤；因為，故B正確；因為，故C正確；因為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題13．已知雙曲線：的焦點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對稱點(diǎn)在軸上，則該雙曲線的離心率為____________．【答案】【解析】設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，其中一條漸近線方程是，設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)是，則，得：，解得：，所以，，所以雙曲線的離心率是.故答案為：.14．雙曲線的漸近線方程為_______.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的方程得則其漸近線方程為故答案為：15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線，分別交雙曲線左、右支于另一點(diǎn)，，，且，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】由題意，，，，，，，由余弦定理可得，，．故答案為：．16．己知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_______【答案】【解析】設(shè)，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以所以解得.故答案為：四、解答題17．已知命題表示雙曲線，命題表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；（1）若p且q為真命題，則p是q的什么條件？（2）若p或q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）必要而不充分條件；（2）或.【解析】（1）因為p且q為真命題，故為真命題，為真命題.所以表示雙曲線是真命題，所以．解得．又命題表示焦點(diǎn)在軸的橢圓是真命題，所以，解得．因為，所以p是q的必要而不充分條件．（2）∵p或q假命題，∴假且假．當(dāng)假時，由（1）可知，有或①，當(dāng)為假，有或②，由①②解得或.18．已知是拋物線的焦點(diǎn)，恰好又是雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線過點(diǎn)，且其離心率為．（1）求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為直徑作圓，設(shè)圓與軸交于點(diǎn)，，求的最大值．【答案】（1）拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）【解析】（1）由雙曲線過點(diǎn)，且其離心率為．，，，聯(lián)立解得：，．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．由，可得，解得．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為：．此時，．的方程為：．可得，．．②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，由題意可得：．聯(lián)立，化為：．設(shè)，，，．則，．，．設(shè)的半徑為，則．過點(diǎn)作，垂足為．在中，．，則．綜上可得：的最大值為．19．已知雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)是雙曲線的一個頂點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因為雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)是雙曲線的一個頂點(diǎn)，所以解得，所以雙曲線的方程為(2)雙曲線的右焦點(diǎn)為所以經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為．聯(lián)立得.設(shè)，則.所以.20．已知橢圓的方程為，雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為，且雙曲線的焦距為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過作直線(與軸不重合)交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)一條漸近線與軸所成的夾角為知，即，又，所以，解得，，所以橢圓的方程為.(2)由(1)知，設(shè)，，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，由得，∴，又，所以直線的斜率.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，即.綜合①②可知，直線的斜率的取值范圍是.21．已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；