廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一期末檢測數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A.{2} B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交并補(bǔ)運(yùn)算的定義即可求解.【詳解】由題意可得或，故，故選：B2.已知向量，若，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，由，得，所以.故選：B3.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，得出答案.【詳解】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可知.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.從到內(nèi)特殊角的三角函數(shù)值需要熟練記憶.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用排除法，結(jié)合奇偶性定義判斷奇偶性，由解析式判斷的符號(hào)，即可確定圖象.【詳解】由且定義域?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)，排除A、C；又，排除B.故選：D.5.以斜邊長為2的等腰直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為2個(gè)共底面，且底面半徑為1，母線長為的圓錐拼接而成，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：等腰直角三角形斜邊的高為1，腰長為，該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為2個(gè)共底面，且底面半徑為1，母線長為圓錐拼接而成，所以所得幾何體的表面積為.故選：B.6.已知為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同平面，則下列說法正確的是（）A.若直線與平面所成角相等，則B.若平面上有三個(gè)不同點(diǎn)到平面的距離相等，則C.若上有兩個(gè)不同點(diǎn)到平面的距離相等，則D.若，且直線異面，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】對于A,比如在正方體中，直線與平面所成角均為，但相交，A錯(cuò)誤；對于B，直線上的點(diǎn)到平面的距離相等，故平面上有三個(gè)不同點(diǎn)到平面的距離相等，但平面與平面相交，B錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)到平面的距離相等，但直線與平面相交，故C錯(cuò)誤；對于D，若，，故過可作一平面，使得，則，由于，異面，，所以，相交，否則，進(jìn)而可得，這與，異面矛盾，所以，相交，結(jié)合，，，，所以則，D正確．故選：D．7.一艘船以4km/h的速度與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過h，則船實(shí)際航程為()A.2km B.6km C.2km D.8km【答案】B【解析】【分析】可先求船速與水速的合速度，再計(jì)算實(shí)際航程．【詳解】設(shè)船的速度為，水的速度為，則船的實(shí)際航行速度為，于是有==12=船實(shí)際航程為=6．答案B．【點(diǎn)睛】本題考查向量在實(shí)際生活中的應(yīng)用，此問題含有明顯的物理意義，理解其物理含義并用向量進(jìn)行表示是解題的關(guān)鍵．通常學(xué)科含義與數(shù)學(xué)的結(jié)合是解決跨學(xué)科問題關(guān)鍵，重點(diǎn)在于考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與創(chuàng)新能力．8.如圖，某工程隊(duì)將從A到D修建一條隧道，工程隊(duì)從A出發(fā)向正東行到達(dá)B，然后從B向南偏西方向行了一段距離到達(dá)C，再從C向北偏西方向行了到達(dá)D.已知C在A南偏東方向上，則A到D修建隧道的距離為（）km.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得．【詳解】連接AC，可得，，，在中，由正弦定理得，即，則，在中，由余弦定理得，則．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)B.復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.復(fù)數(shù)z及其共軛復(fù)數(shù)滿足，則D.復(fù)數(shù)與分分別對應(yīng)向量與則向量表示復(fù)數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可判定A，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法化簡即可得對應(yīng)的點(diǎn)求解B，根據(jù)待定系數(shù)法求解復(fù)數(shù)，即可判定C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量的減法運(yùn)算即可求解D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)，故A正確；對于B，，對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，，，則，由得，即，解得，故，故C正確；對于D，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)為，故D正確．故選：ACD．10.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).則（）A.B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.不等式的解集為【答案】AC【解析】【分析】對于A：代入運(yùn)算求解即可；對于B：整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解；對于C：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解；對于D：結(jié)合選項(xiàng)B中的值域分析判斷.【詳解】由題意可得：，因?yàn)椋獾?，故A正確；則，因?yàn)?，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；由選項(xiàng)B可知：當(dāng)，即時(shí)，，所以不等式的解集不為空集，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.已知點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，作，垂足為D，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.設(shè)四邊形OABP有可能是平行四邊形C.將繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量則的坐標(biāo)為D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)向量模長公式運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量相等運(yùn)算求解即可；對于C：根據(jù)三角函數(shù)值的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解；對于D：結(jié)合向量投影運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，對于選項(xiàng)A：可得，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋羲倪呅蜲ABP是平行四邊形，則，可得，解得，所以四邊形OABP有可能是平行四邊形，故B正確；對于選項(xiàng)C：設(shè)，則，即，可知，則，，所以的坐標(biāo)為，故C正確；對于選項(xiàng)D：由題意可知：在方向上的投影為，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則=________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：，所以考點(diǎn)：復(fù)數(shù)模的概念與復(fù)數(shù)的運(yùn)算.13.若且則______，______【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合同角三角關(guān)系可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，且，則，可得，所以；.故答案為：2；.14.如圖，在正方體中，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，記過點(diǎn)與AM垂直的平面為，平面將正方體分成兩部分，體積較大的記為V大，另一部分的體積為，則_______.【答案】##【解析】【分析】做輔助線，根據(jù)垂直關(guān)系可證平面，可知平面即為平面，進(jìn)而結(jié)合三棱臺(tái)的體積公式分析求解.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，則∥，且∥，，可知為平行四邊形，則∥，可得∥，即四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)?，即，可知，可得，且，平面，可得平面，由平面，可得，連接，因?yàn)闉檎叫?，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，可得平面，由平面，可得，且，平面，可得平面，可知平面即為平面，設(shè)正方體的棱長為2，則正方體的體積為，三棱臺(tái)的體積為，可知，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于利用垂直關(guān)系分析可知平面即為平面，進(jìn)而分析體積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)的三個(gè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，即可得結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，再結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，即，且，所以.【小問2詳解】由余弦定理可得：，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.16.數(shù)學(xué)家波利亞說：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理.例如:如圖甲，在中，D為BC的中點(diǎn)，則在中，有，在中，有，兩式相加得，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，于是如圖乙，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn).（1）如圖乙，請用“算兩次”的方法證明：；（2）如圖乙，若與的夾角為，求與的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合向量加法分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）可求，進(jìn)而結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，且E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則，所以.【小問2詳解】由題意可知：，由（1）可知：，即，則，，即，所以與的夾角的余弦值.17.如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面（2）求證：平面平面（3）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，由中位線定理可得，，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，再由線面平行的判定定理，即可得出答案．（2）由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得答案．（3）取的中點(diǎn)，連接，線找到二面角的平面角為，再計(jì)算余弦值，即可得出答案．【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，，又，，為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】證明：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，【小?詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，又直三棱柱的幾何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角為，因?yàn)椋?，，在中，，所以，所以二面角的余弦值為?8.已知函數(shù)的最大值為1，其圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為．若將的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有2025個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與n的值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由最大值得A，則周期得，寫出變換的函數(shù)解析式，由對稱性得，得函數(shù)解析式；（2）首先確定，即，這樣零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為，求得函數(shù)的最大值和最小值，然后討論方程解的個(gè)數(shù)，分類討論求得．【小問1詳解】依題意可知：，可得，，即，且，可得，則，將的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到的函數(shù)為，因?yàn)閳D象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則有，．且，，所以．【小問2詳解】由題意可知：當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，因?yàn)樵趦?nèi)恰有2025個(gè)零點(diǎn)，為奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故，由，可得，設(shè)，則，可知在和上遞減，且，，①若，由得或，則（n為奇數(shù)）或（n為偶數(shù)），解得n不是整數(shù)，舍去；②若，由得或，則由（n為奇數(shù)），解得n不是整數(shù)，舍去；或，解得；③若且，在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)；④或，在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)．綜上所述：，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是把方程進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化為能利用正弦函數(shù)的周期性確定解的個(gè)數(shù)，同時(shí)注意分離參數(shù)法的應(yīng)用．19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱I為的一個(gè)“Ω區(qū)間”.性質(zhì)1:對任意，有；性質(zhì)2:對任意，有.（1）分別判斷區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“Ω區(qū)間”，并說明理由；①②（2）若是函數(shù)的“Ω區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且只能滿足性質(zhì)2.求證:函數(shù)在R上存在唯一的零點(diǎn).【答案】（1）區(qū)間是函數(shù)①的“Ω區(qū)間”，區(qū)間不是函數(shù)②的“Ω區(qū)間”理由見解析；（2）（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)利用給定定義逐步檢驗(yàn)即可；(2)先確定函數(shù)滿足那條性質(zhì)，然后在對進(jìn)行討論，確定的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)以及其取值范圍；(3)設(shè)新函數(shù)，確定的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可得證.【小問1詳解】對于①，由一次函數(shù)的性質(zhì)得它在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故區(qū)間是“Ω區(qū)間”，對于②，由反比例函數(shù)的性質(zhì)得它在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足，也不滿足，故區(qū)間不是的“Ω區(qū)間”；【小問2詳解】由題意知是函數(shù)的“Ω區(qū)間”，，所以滿足性質(zhì)1，所以，則，①若時(shí)，且，，可知在上單調(diào)遞減，所以解之得不存在故舍之；②若時(shí),在時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在時(shí)，，則在上單調(diào)遞