14標(biāo)量場(chǎng)的梯度

§1.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度一、等值面1、等值面標(biāo)量場(chǎng):用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示，在直角坐標(biāo)系中表示為：標(biāo)量場(chǎng)中量值相等的點(diǎn)構(gòu)成的面，稱為標(biāo)量場(chǎng)的等值面。例如，在溫度場(chǎng)中，由溫度相同的點(diǎn)構(gòu)成等溫面；在電位場(chǎng)中，由電位相同的點(diǎn)構(gòu)成等位面。2、等值面方程

常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族，等值面族充滿整個(gè)場(chǎng)空間，且不同的等值面互不相交。二、方向?qū)?shù)1、方向?qū)?shù)的定義

考慮標(biāo)量場(chǎng)中兩個(gè)等值面標(biāo)量函數(shù)沿給定方向的變化率：稱為標(biāo)量函數(shù)在P沿方向的方向?qū)?shù)。2、方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系中的表示其中，是的方向余弦：3、方向?qū)?shù)的性質(zhì)方向?qū)?shù)是標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)P處沿方向?qū)嚯x的變化率。標(biāo)量場(chǎng)中，在給定點(diǎn)P處沿不同方向的方向?qū)?shù)不相同。二、梯度

1、梯度的定義標(biāo)量場(chǎng)的梯度：是一個(gè)矢量，其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)變化率最大的方向、大小則等于其最大變化率，即2、梯度在坐標(biāo)系下的表示記為在直角坐標(biāo)系中的表示在圓柱坐標(biāo)系中的表示在球坐標(biāo)系中的表示3、梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)處沿某方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)處的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向增加的方向。4、梯度運(yùn)算的基本公式【例題1】求證【證明】在球坐標(biāo)系下：所以【例題2】求無(wú)界空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電位的梯度?！窘狻繜o(wú)界空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電位為：所以【例題3】求數(shù)量場(chǎng)φ=(x+y)2-z通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。

【解】點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為【解】l方向的方向余弦為

【例題4】求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。

而數(shù)量場(chǎng)在l方向的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)

【例題5】設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，證明：【證】因?yàn)橥硭?/p>

【例題6】求r在M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)?！窘狻奎c(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=