2025屆新高考數(shù)學熱點沖刺復習利用導數(shù)研究不等式恒能成立問題

2025屆新高考數(shù)學熱點沖刺復習

利用導數(shù)研究不等式恒(能)成立問題掌握利用導數(shù)解決不等式恒(能)成立問題，提高學生分析問題、解決問題的能力．關鍵能力·題型剖析題型一分離參數(shù)法求參數(shù)范圍例1[2024·河南鄭州模擬]已知函數(shù)f(x)＝x3(lnx－a)(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(2)若f(x)＋ax3＋1≥ax，求實數(shù)a的取值范圍．

題后師說1.分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式．第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導函數(shù)或基本不等式進行求解．第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結論．2．a(chǎn)≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.鞏固訓練1已知f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍．

題型二等價轉化法求參數(shù)范圍例2[2024·遼寧沈陽模擬]已知函數(shù)f(x)＝ex(x2＋2x＋1)，x∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；

解析：因為f′(x)＝ex(x2＋2x＋1＋2x＋2)＝ex(x2＋4x＋3)＝ex(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，解得x<－3或x>－1，令f′(x)<0，解得－3<x<－1，所以f(x)在(－∞，－3)上單調遞增，在(－3，－1)上單調遞減，在(－1，＋∞)上單調遞增．(2)當x>0時，f(x)>ax2＋ax＋1，求a的取值范圍．解析：設g(x)＝f(x)－(ax2＋ax＋1)，注意到g(0)＝0.有g′(x)＝ex(x2＋4x＋3)－(2ax＋a)，注意到g′(0)＝3－a.設h(x)＝g′(x)＝ex(x2＋4x＋3)－(2ax＋a)，有h′(x)＝ex(x2＋6x＋7)－2a.①當a≤3時，對于x>0，有h′(x)>h′(0)＝7－2a>0，所以g′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增，所以對于x>0，有g′(x)>g′(0)≥0，從而g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增，故對于x>0，有g(x)>g(0)＝0.符合題意．②當a>3時，因為g′(0)＝3－a<0，所以存在x0>0，使得對于x∈(0，x0)，有g′(x)<0.從而g(x)在區(qū)間(0，x0)上單調遞減，故對于x∈(0，x0)，有g(x)<g(0)＝0.不符合題意．綜上a的取值范圍是(－∞，3].題后師說“等價轉化法”解決不等式恒成立問題在不等式恒成立問題中，如果不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后的函數(shù)的最值比較難求，可以把含參不等式整理成f(x，a)＞0或f(x，a)≥0的形式，然后從研究函數(shù)的性質入手，通過討論函數(shù)的單調性和極值，直接用參數(shù)表達函數(shù)的最值，然后根據(jù)題意，建立關于參數(shù)的不等式，解不等式即得參數(shù)的取值范圍．(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，則f(x，a)＞0恒成立?g(a)＞0，f(x，a)≥0恒成立?g(a)≥0.(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，則f(x，a)＜0恒成立?g(a)＜0，f(x，a)≤0恒成立?g(a)≤0.鞏固訓練2[2024·山東臨沂模擬]已知函數(shù)f(x)＝x－alnx，a∈R.(1)討論f(x)的單調性；

鞏固訓練3

[2024·河北石家莊模擬]設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x3－3x2＋a，g(x)＝x2(2lnx－3)．(1)若函數(shù)f(x)與x軸有三個不同交點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)對于?x1∈[－1，2]，?x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，試求實數(shù)a的取值范圍．解析：對于?x1∈[－1，2]，?x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，則f(x1)min≥g(x2)min，由(1)知函數(shù)f(x)在[－1，0)上單調遞增，在(0，1]上單調遞減，在(1，2]上單調遞增，又f(－1)＝a－5，f(1)＝a－1，故當x∈[－1，2]時f(x)min＝f(－1)＝a－5，因為g(x)＝x2(2lnx－3)，且x∈[1，e]，則g′(x)＝4x(lnx－1)≤4