選擇性必修第一冊(cè)湘教版-第1章-單元測(cè)試卷-143699

第1章數(shù)列一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列1,3,5,7,3,11,…,2n-1,…,則21是這個(gè)數(shù)列的(A.第10項(xiàng) B.第11項(xiàng) C.第12項(xiàng) D.第21項(xiàng)2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,有下列四個(gè)等式.甲:a1=1.乙:a4=4.丙:S3=9.丁:S5=25.如果只有一個(gè)等式不成立,則該等式為()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.等比數(shù)列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的兩根,則a4等于()A.8 B.-8 C.±8 D.以上選項(xiàng)都不對(duì)4.“十二平均律”是通用的音律體系,由明代朱載堉最早發(fā)現(xiàn),十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十二個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它之前的一個(gè)單音的頻率的比都等于122,若第n個(gè)單音的頻率是第1個(gè)單音頻率的1.5倍,那么n的值為()(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.477A.5 B.6 C.7 D.85.若等比數(shù)列{an}的前5項(xiàng)的乘積為1,a6=8,則數(shù)列{an}的公比為()A.-2 B.2 C.±2 D.16.若數(shù)列{an},{bn}滿足an·bn=1,an=n2+3n+2,則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為()A.12 B.512 C.13 7.已知等差數(shù)列{an}的公差不為0,設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和,若S9=0,則集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2023}中元素的個(gè)數(shù)為()A.2022 B.2021 C.2015 D.20198.設(shè)Sn是公差d不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3=a22,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a10=(A.15 B.19 C.21 D.30二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,若a1>0,S10=S20,則 ()A.d<0 B.a16<0C.Sn≤S15 D.當(dāng)且僅當(dāng)Sn<0時(shí),n≥3210.在《算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”則下列說(shuō)法正確的是()A.此人第二天走了96里路B.此人第三天走的路程占全程的1C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.此人后三天共走了42里路11.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn,前n項(xiàng)的積為Tn,并滿足條件a1>1,a2022a2023>1,a2022-1a2023-1<0,A.S2022<S2023 B.S2021S2023-1<0C.T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值 D.數(shù)列{Tn}無(wú)最大值三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=.

13.已知等差數(shù)列{an}中,a3=7,a6=16,將此等差數(shù)列的各項(xiàng)排成如下三角形數(shù)陣:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……………則此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個(gè)數(shù)是.

14.已知數(shù)列{an}滿足nan-28an+1=n-1(n∈N+),a1+a2+a3=75,記Sn=a1a2a3+a2a3a4+a…+anan+1·an+2,則a2=,使得Sn取得最大值的n的值為.(本題第一空2分,第二空3分)

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a5=1,.若存在正整數(shù)n,使得Sn有最小值.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求Sn的最小值.從①a3=-1,②d=2,③d=-2三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件,補(bǔ)充在橫線上并作答.注:若選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.

16.(15分)已知函數(shù)f(x)=xx+1,數(shù)列{an}滿足a1=1,并且an+1=f(an(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=1n+1an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和S

17.(15分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=(12)n(1)求證:數(shù)列{a2n}與{a2n-1}都是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和為T2n,令bn=(3-T2n)n(n+1),求數(shù)列{bn}的最大項(xiàng).

18.(17分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,在等差數(shù)列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{anbn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.

19.(17分)某公司一下屬企業(yè)負(fù)責(zé)某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金的年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬(wàn)元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元.(1)用d表示a1,a2,并寫出an+1與an的關(guān)系式;(2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).

第1章數(shù)列1.B經(jīng)觀察可知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1(事實(shí)上,根號(hào)內(nèi)的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列),令21=2n-1,解得n=2.B若a1=1,a4=4同時(shí)成立,則d=1,此時(shí)S3=1+2+3=6,S5=1+2+3+4+5=15≠25與題意不符,故甲乙不可能同時(shí)成立,丙丁一定成立,所以3a1+3d=9,5a1+103.A∵a2+a6=34,a2a6=64,∴a42=64,且a2>0,a6>0,∴a4=a2q2>0(q為公比),∴a4=4.D設(shè)第n個(gè)單音的頻率為fn,n∈N+,由題意可得,fn=f1(122)n-1,fn=1.5f1,所以(122)n-1=1.5,所以lg(122)n-1=lg1所以n≈0.4771?0.3010.301×12+1≈8.故選D5.B設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由題意得a1a2a3a4a5=a35=1,所以a3所以q3=a6a3=8,解得q6.B∵an=n2+3n+2,an·bn=1,∴bn=1(n+1)(n+2)∴{bn}的前10項(xiàng)和為S10=12-13+13-14+…+111-112=7.D∵S9=0,∴S9=9a1+8×92d=9a1+36d=即a1=-4d,且d≠0,∴Sk=ka1+k(k-1)d2=-4kd+k(k-1)d2=k2-9k2d=d2[(k-92根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知S1=S8,S2=S7,S3=S6,S4=S5,故集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2023}中元素個(gè)數(shù)為2023-4=2019.故選D.8.B由S3=a22得3a2=a22,解得a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比數(shù)列可得S22=又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化簡(jiǎn)得3d2=2a2d,又d≠0,∴a2=3,d=2,a1=1,∴an=1+2(n-1)=2n-1,∴a10=19.9.ABC由題意得,S10=S20,a11+a12+…+a20=0,即a15+a16=0,也即2a1+29d=0(d為公差),因?yàn)閍1>0,所以d<0,所以a16<0,Sn≤S15.所以A,B,C正確.由于S2n=n(an+an+1),S2n-1=(2n-1)an,S30=15(a15+a16)=0,S31=31a16<0,所以D不正確.10.ACD設(shè)第n天走的路程為an(單位:里)(1≤n≤6,n∈N+),{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{an}是公比q=12的等比數(shù)列,由題意知S6=378,即S6=a1(1-126)1?12=378,解得a1=192,故an=192×12n-1對(duì)于A,令n=2得,a2=3844=96,即此人第二天走了96里路,故A正確對(duì)于B,令n=3得,a3=3848=48,故此人第三天走的路程占全程的48378=863,故對(duì)于C,由a1=192知,S6-a1=378-192=186,故此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-186=6(里),故C正確;對(duì)于D,易知S6-S3=378-(192+96+48)=42,即此人后三天共走了42里路,故D正確.11.AC∵a1>1,a2022a2023>1,a2022-1∴a2022>1,0<a2023<1,0<q<1.根據(jù)a1>1,0<q<1,可知等比數(shù)列{an}為每一項(xiàng)都為正數(shù)的遞減數(shù)列,即a1>a2>…>a2022>1>a2023>…>0.∵S2023-S2022=a2023>0,∴S2022<S2023,故選項(xiàng)A正確.∵S2021>1,S2023>1,∴S2021·S2023>1,即S2021S2023-1>0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.根據(jù)a1>a2>…>a2022>1>a2023>…>0,可知T2022是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng),故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.12.-6S8=8×(a1+a8)2=4(a3+a6),由于S8=4a3,所以a6=0.又a7=-2,所以a8=2a7-a613.598第1行有1項(xiàng),第2行有2項(xiàng),第3行有3項(xiàng),故前19行共有19×1+19×182×1=190(項(xiàng)則第20行第10項(xiàng)為數(shù)列{an}中的第200項(xiàng).又a3=7,a6=16,∴公差d=a6-a36?3=16?73=3,∴an=a3+(n-3)·d=7+3(n-3)=3n-2,∴a200=3×14.2510因?yàn)閚∈N+,所以取n=1,則a1-28=0,可得a1=28,取n=2,可得2a2即a3=2a2-28,又a1+a2+a3=75,可得a2=25,a3=22.當(dāng)n≥2時(shí),由nan-28an+1=n-1,得可令cn=an+1n,則cn-cn-1=28(1n-1由cn=c1+(c2-c1)+…+(cn-cn-1)=c1+28×(12-1+13-12+…+1可得cn=c1+28(1n-1)=a2+28(1n則an+1=ncn=na2+28(1-n)=28+n(a2-28),故an+1=28-3n(n≥2),所以an=31-3n(n≥3),又a1=28,a2=25,也符合上式,所以an=31-3n.設(shè)bn=anan+1an+2=(31-3n)(28-3n)(25-3n),令bn≥0,則可得(31-3n)(28-3n)(25-3n)≥0,解得1≤n≤8(n∈N+)或n=10,又b9=-8,b10=10,所以n=10時(shí),Sn取得最大值.15.當(dāng)選條件①a3=-1時(shí),根據(jù)題意得a5-a3=2d,即1-(-1)=2d,解得d=1.(1)an=a5+(n-5)d=1+(n-5)×1=n-4.(2)a1=a3-2d=-3,所以Sn=na1+n(n-1)d2=n×(-3)+n所以當(dāng)n=3或4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-6.當(dāng)選條件②d=2時(shí),根據(jù)題意得a1=a5-4d=1-4×2=-7.(1)an=a1+(n-1)d=-7+(n-1)×2=2n-9.(2)Sn=na1+n(n-1)d2=n×(-7)+n(n所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.當(dāng)選條件③d=-2時(shí),根據(jù)題意得a1=a5-4d=1-4×(-2)=9.(1)an=a1+(n-1)d=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.(2)Sn=na1+n(n-1)d2=n×9+n(n-1)2×(-2)=-n2+(本題可以選擇條件①或②并進(jìn)行作答)16.(1)易知an≠0.由題意得an+1=anan+1,∴1an+1=an+1an=1+1an,即1an+1-1an=1,∴數(shù)列{1an(2)由(1)得bn=1n+1an=1n(n∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=17.(1)數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=(12)n∴an+1an+2=(12)n+1,∴an+2∵a1=1,∴a2=12,故數(shù)列{a2n-1}是以1為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列,數(shù)列{a2n}是以12為首項(xiàng),(2)由(1)得T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=1?12n1?12+∴bn=(3-T2n)n(n+1)=3n(n+1)(12)n∴bn+1-bn=3(n+1)(12)n(n+22-n)=3(n+1)(12)n+1(2-n),∴b3=b2>b1,且b3>b4>b5>…,故{bn}的最大項(xiàng)是b2=b18.(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差數(shù)列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,即b2=5.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,∵a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列,∴(1+5